信号与系统z变换教学.ppt

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1、第第1010章章 z z变换变换u掌握掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。变换。u 掌握求解信号掌握求解信号Z 变换变换(包括正变换和反变换包括正变换和反变换)的基本方法。的基本方法。u掌握运用掌握运用Z 变换分析变换分析LTI 系统的方法。系统的方法。u 掌握系统函数掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性收敛域与系统因果稳定性的关系：定性分析方法。分析方法。u掌握系统的典型表示方法：掌握系统的典型表示方法：H(z)、hn、差分方程、模拟、差分方程、模拟框图、信号流图、框图、信号流图、零极点零极点+收敛域图，以及它们之间

2、的转收敛域图，以及它们之间的转换。换。10.0 引言引言n前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变变换，从变换的基本性质和基本作用来看，换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，变换和拉氏变换是相似的，而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。在

3、本章的学习中，读者可氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可以借助拉氏变换的知识来理解以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应变换的基本概念，同时也应通过两者之间的不同来领会通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。变换的主要特点。一、离散时间特征函数一、离散时间特征函数设一个离散系统的输入为设一个离散系统的输入为xn=zn就是就是hn的的z变换。变换。10.1 z 变换定义变换定义二、离散时间信号的离散时间信号的z变换变换离散时间信号的离散时间信号的z变换定义为：变换定义为：记作记作：为了理解为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系变换和离散傅立叶变换之间的关系z=r

4、ejw则：因此，Re(z)Im(z)1wz-planer三、三、z变换的几何解释和收敛域变换的几何解释和收敛域Z变换和变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨信号傅立叶变换之间关系的讨论和对论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但信号的讨论几乎并行进行的，但是一些重要的不同。是一些重要的不同。在在z变换中当变量变换中当变量z的模为的模为1，即，即z=ej时，时，z变换退化成变换退化成DTFT。傅立叶变换就是在复数傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为平面中，半径为1的圆上的的圆上的z变换。变换。如果如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！收敛问题收敛问题为了使为了使z

5、变换收敛，等同于要求变换收敛，等同于要求xnr-n的傅立叶变的傅立叶变换收敛。换收敛。总的来说，对某一序列总的来说，对某一序列xn的的z变换，存在着某一个变换，存在着某一个z值的范围，在该范围内的值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。收敛。由这些使由这些使X(z)收敛的收敛的z值所组成的范围，就是值所组成的范围，就是收敛域收敛域(ROC)(ROC)。例例 指数函数的指数函数的z变换变换考虑信号考虑信号xn=anun其其z变换为：变换为：X(z)要收敛，要求：要收敛，要求：收敛域为：收敛域为：当当 a=1Z变换的结果变换的结果 X(z)=z/(z-a)是一有理函数，因此，可是一有理函数，因此，

6、可用它的零点和极点来表示。用它的零点和极点来表示。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例例考虑信号考虑信号xn=-anu-n-1什么情况下，上式收敛呢？什么情况下，上式收敛呢？当当|a-1z|1，即，即|z|1/2。10.2 z变换的收敛域变换的收敛域性质性质1：X(z)的的ROC是在是在z平面内以圆点为中心的圆环。平面内以圆点为中心的圆环。Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)性质性质2：ROC内不包括任何极点。内不包括任何极点。在极点处，在极点处，X(z)为无穷大。为无穷大。Re(z)Im(z)性质性质3：如果：如果xn是有限长序列，那么是有限长序列，那么R

7、OC就是整个就是整个z平面，可能去除平面，可能去除z=0和和/或或z=。例：分别求以下信号的例：分别求以下信号的z变换变换解：解：整个整个z平面平面 性质性质4：如果：如果xn是一个右边序列，并且是一个右边序列，并且|z|=r0的圆位于的圆位于ROC内，那么内，那么|z|r0 的全部有限的全部有限z值都一定在这个值都一定在这个ROC内。内。nRe(z)Im(z)N1 性质性质5：如果：如果xn是一个左边序列，并且是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于的圆位于ROC内，那么内，那么0|z|0，求出，求出Z变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。解：解：例：例

8、：求其求其z变换变换 解：而：当b1 时其收敛域 由以上收敛域，可知只有当由以上收敛域，可知只有当b1时双边指数序列的收敛域时双边指数序列的收敛域才有公共的收敛域，而当才有公共的收敛域，而当bR1，则则xn必必然然为为一一右右边边序序列列，此此时时N(z)和和D(z)按按z的的降降幂幂次次序序进进行行排排列列。若若X(z)的的收收敛敛域域为为|z|R2，则则xn必必然然为为一一左左边边序序列列，此此时时N(z)和和D(z)按按z的的升升幂幂次次序序进进行行排排列列。然然后后利利用用长长除除法法，将将X(z)展开为幂级数，得到展开为幂级数，得到xn。例例 考虑一个考虑一个z变换变换X(z)为为利

9、用长除法展开利用长除法展开长除法的局限性：长除法的局限性：长除法只适用于有理形式的长除法只适用于有理形式的z z变换，且收敛域限于某个圆变换，且收敛域限于某个圆周的内部或外部，对于收敛域为有限圆环的有理像函数，周的内部或外部，对于收敛域为有限圆环的有理像函数，其其z z反变换为两边序列，就无法用长处法。反变换为两边序列，就无法用长处法。利用长除法要归纳出序列表达式，也不是那么容易的！利用长除法要归纳出序列表达式，也不是那么容易的！10.5 z变换性质变换性质一、线性一、线性则则若若但有时候会扩大但有时候会扩大二、时移性质二、时移性质若若则则重要应用：差分方程的重要应用：差分方程的z变换！变换！

10、例例由于由于所以所以三、三、z域尺度变换域尺度变换若若则则四、时间反转四、时间反转若若则则五、时间扩展五、时间扩展若若则则六、共轭六、共轭若若则则注：若注：若xn为实函数，如果为实函数，如果X(z)有一个极点或零点有一个极点或零点为复数在为复数在z=z0处，那么处，那么X(z)也一定有一个复数共轭也一定有一个复数共轭的的 极点或零点，且对于极点或零点，且对于X(z)的部分分式展开的部分分式展开式中的系数也互为共轭。式中的系数也互为共轭。七、卷积性质七、卷积性质若若则则ROC=R1ROC=R2ROC R1 R2八八.Z域微分域微分IfROC=RROC=RThenxn=0 n0(xnxn=0 n0

11、(xn为因果序列）为因果序列）九九.初值、终值定理初值、终值定理终值定理：终值定理：初值定理：初值定理：收敛域包括单收敛域包括单位圆位圆 10.6 常用变换对常用变换对表表 10.2 10.7 利用利用Z 变换分析和表征变换分析和表征LTI系统系统一、因果性一、因果性 一个具有有理系统函数一个具有有理系统函数H(z)的的LTI系统要是因果的系统要是因果的,当且仅当当且仅当:(a)ROC位于最外层极点外边某一个圆的外边位于最外层极点外边某一个圆的外边(b)若若H(z)表示成表示成z的多项式之比的多项式之比,其分子的阶次不能大于分其分子的阶次不能大于分母的阶次母的阶次。二、稳定性二、稳定性 一个一

12、个LTI系统当且仅当它的系统函数系统当且仅当它的系统函数H(z)的的ROC包括单位圆（包括单位圆（|z|=1）时）时,该系统就是稳定的。该系统就是稳定的。一个具有有理系统函数的因果一个具有有理系统函数的因果LTI系统系统,当且当且仅当仅当H(z)的全部极点都位于单位圆内时的全部极点都位于单位圆内时,也即全也即全部极点其模值都小于部极点其模值都小于1时时,系统就是稳定的。系统就是稳定的。三三.频率响应的几何确定法频率响应的几何确定法 若系统函数的收敛域包括单位圆，则其存在傅立叶变换，若系统函数的收敛域包括单位圆，则其存在傅立叶变换，而且可以直接根据系统函数：而且可以直接根据系统函数：这里设这里设

13、N=M，则可以直接得出其频率响应：，则可以直接得出其频率响应：其幅频特性：其幅频特性：相频特性为：相频特性为：四、四、由线性常系数差分方程表征的由线性常系数差分方程表征的LTI系统系统例：考虑一因果的例：考虑一因果的LTI系统，其输入系统，其输入xn和输出和输出yn满足如下线满足如下线性常系数差分方程：性常系数差分方程：(1)求系统函数求系统函数H(z)，画零极点图、收敛域，并判断系统的，画零极点图、收敛域，并判断系统的稳定性；稳定性；(2)求系统的单位冲激响应求系统的单位冲激响应hn(3)若有一输入信号为：若有一输入信号为：求响应求响应yn解：解：（1）方程两边同时进行）方程两边同时进行z变

14、换，则：变换，则：（2）（3）五、系统特性与系统函数的关系举例五、系统特性与系统函数的关系举例例：假设对于一个例：假设对于一个LTI系统给出下列信息：系统给出下列信息：（1）若系统的输入是）若系统的输入是 则其输出为：则其输出为：（2）则则求出系统函数求出系统函数H(z)，并说明系统是否是稳定的、因果的；，并说明系统是否是稳定的、因果的；10.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示10.8.1 LTI系统互联的系统函数系统互联的系统函数(1)级联级联(串联串联)(2)并联并联(3)反馈联反馈联10.8.2 由差分方程和有理系统函数描述由差分方程和有理系统函数描述 的因

15、果的因果LTI系统的方框图、信流图表示系统的方框图、信流图表示对于连续系统，一般通过加法器、乘法器和积分器对其对于连续系统，一般通过加法器、乘法器和积分器对其进行模拟。而对于离散系统，一般则通过加法器、乘法器以进行模拟。而对于离散系统，一般则通过加法器、乘法器以及单位延迟器对其进行模拟。及单位延迟器对其进行模拟。例：已知一因果系统的一阶差分方程为：例：已知一因果系统的一阶差分方程为：求：求：（1）系统函数）系统函数H(z)，画零极点图，判断系统稳定性，画零极点图，判断系统稳定性（3）求系统信流图、方框图）求系统信流图、方框图（4）若系统的输入信号为）若系统的输入信号为（2）求系统的单位冲激响应

16、）求系统的单位冲激响应求响应求响应yn解：解：（1）（2）收敛域包括单位圆，收敛域包括单位圆，稳定稳定(3)方框图方框图信号流程图信号流程图（4）10.9 单边单边Z变换变换定义定义:单边单边z变换与双边变换与双边z变换的差别在于，求和仅在变换的差别在于，求和仅在n的非负值上进的非负值上进行，而不管行，而不管n0时，时，xn是否为是否为0。因此。因此xn的单边的单边z变换就能变换就能看作是看作是xnun的双边变换。的双边变换。10.9.2 单边单边z变换的性质变换的性质单边单边z变换的大多数性质都与双边变换的大多数性质都与双边z变换相同，只是有几个不同变换相同，只是有几个不同时移特性时移特性左

17、移：左移：右移：右移：u利用单边利用单边z变换求解差分方程变换求解差分方程例：某离散时间稳定线性时不变系统的系统函数的零极例：某离散时间稳定线性时不变系统的系统函数的零极点图如图所示，且点图如图所示，且H(1)=2（1）确定该系统的系统函数，指出收敛域。）确定该系统的系统函数，指出收敛域。（2）判断该系统的因果性。）判断该系统的因果性。（3）求系统的单位冲激响应。）求系统的单位冲激响应。（4）写出表征该系统的常系数线性差分方程。）写出表征该系统的常系数线性差分方程。（5）画出该系统的方框图以及信流图。）画出该系统的方框图以及信流图。解解（1）根据零极点图根据零极点图带入：带入：H(1)=2，得：，得：A=-2故：故：又因为该系统是稳定的，故其收敛域需要包括单位圆，故：又因为该系统是稳定的，故其收敛域需要包括单位圆，故：（2）由于该系统的收敛域位于最里面极点的里面，故其不是因果的。由于该系统的收敛域位于最里面极点的里面，故其不是因果的。（3）该系统的单位冲激响应是：）该系统的单位冲激响应是：（4）差分方程为：）差分方程为：则：则：(5)方框图以及信号流程图为：方框图以及信号流程图为：