数的发展和演变.pptx

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1、数是个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。你知道数是如何发展称为今天这个模样的吗？第1页/共19页有理数的发展大概可以分为以下几个阶段：有理数的发展大概可以分为以下几个阶段：远古时期远古时期罗马数字罗马数字0的引进和阿拉伯数字的引进和阿拉伯数字筹算筹算第2页/共19页远古时期远古时期远古时期的人类在远古时期的人类在生活中遇到了许多生活中遇到了许多无法解决的困难：无法解决的困难：如何表示一棵树、如何表示一棵树、两只羊等等。而在两只羊等等。而在当时并没有符号或当时并没有符号或数字表示具体的数数字表示具体的数量，所以他们主要量，所以他们主要以

2、结绳记事或在石以结绳记事或在石头上刻痕迹的方法头上刻痕迹的方法计数。计数。第3页/共19页罗马数字罗马数字罗马数字想必大家很熟悉不过了。这些数字常在钟罗马数字想必大家很熟悉不过了。这些数字常在钟表里出现，想想看，你见过它们吗？表里出现，想想看，你见过它们吗？I I（代表（代表1 1）、）、V V（代表（代表5 5）、）、X X（代表（代表1010）、）、L L（代表（代表5050）、）、C C代代表表100100）、）、DD（代表（代表500500）、）、MM（代表（代表10001000）。如）。如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”0”。其实在公

3、元。其实在公元5 5世纪时，世纪时，“0”0”已经传入罗马，但罗已经传入罗马，但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用00。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用00的一的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握笔写字。再也不能握笔写字。第4页/共19页筹算筹算我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记

4、数和进按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。同样的数字。从算筹数码中没有从算筹数码中没有“10”10”这个数可这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。制。9 9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。但筹算数码中开始没

5、有算法在当时是很先进的。但筹算数码中开始没有“零零”，遇到，遇到“零零”就空位。比如就空位。比如“6708”6708”，就，就可以表示为可以表示为“”。数字中没有。数字中没有“零零”，是，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错。位上，以免弄错。第5页/共19页0 0的引进和阿拉伯数字的引进和阿拉伯数字0 0这个数是公元六世纪的印度人发明的，他们用这个数是公元六世纪的印度人发明的，他们用黑点黑点“”表示，最终演变成现在我们熟悉的表示，最终演变成现在我们熟悉的“0”0”。当然，阿拉伯数字也是印度人创造的，。当然，阿拉伯数字也是印度人创造

6、的，之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发明，故称之为明，故称之为“阿拉伯数字阿拉伯数字”。由于它们便于。由于它们便于书写，被沿用至今。书写，被沿用至今。第6页/共19页发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字都是自然数。出现分数以后，又解决了人们都是自然数。出现分数以后，又解决了人们许多难题。但是，在生活中我们还见到过不许多难题。但是，在生活中我们还见到过不少具有相反意义的量：前进和后退，向上和少具有相反意义的量：前进和后退，向上和向下等等。这些又怎么表示呢？于是，人类向下等等。这些又怎么表示呢？于是，人类又将这些

7、具有相反意义的数称为又将这些具有相反意义的数称为“负数负数”。第7页/共19页又有学者发现了一些无法用自然又有学者发现了一些无法用自然数和负数表示的数。有这样一个数和负数表示的数。有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边长为了一个边长为1 1的正方形，设对的正方形，设对角线为角线为x x，根据勾股定理，根据勾股定理x x2 2=1=12 2+1+12 2=2=2，可见对角线的长度，可见对角线的长度是存在的，可它是多少？又该怎是存在的，可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从不得其解，最后认定这是一个

8、从未见过的新数。其实，这就是后未见过的新数。其实，这就是后来人们发现的来人们发现的“无理数无理数”，这些，这些数无法用准确的数字表示出来，数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小数，所以就它们是无限不循环小数，所以就用用“根（根（）”来表示。下面我来表示。下面我们就来讲一讲无理数。们就来讲一讲无理数。第8页/共19页 在古希腊，有一个很了不起的数学家，在古希腊，有一个很了不起的数学家，叫做毕达哥拉斯，他开了一间学校，教了叫做毕达哥拉斯，他开了一间学校，教了很多学生，他的学校的名字叫很多学生，他的学校的名字叫“毕达哥拉毕达哥拉斯学园斯学园”。别的人也给它起了个名字，叫。别的人也给它起了个名

9、字，叫“毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派”，他们认为，数是世，他们认为，数是世界的法则，是主宰生死的力量，他们就像界的法则，是主宰生死的力量，他们就像崇拜天神一样崇拜数崇拜天神一样崇拜数。毕达哥拉斯和他的毕达哥拉斯和他的学生们在学园里研究数学，做出了好多的学生们在学园里研究数学，做出了好多的数学发现，比如数学发现，比如“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”就是就是这么发现的。这个定理，在我们中国叫这么发现的。这个定理，在我们中国叫“勾股定理勾股定理”。背景故事背景故事第9页/共19页 毕达哥拉斯认为，世界上只存着整数和分数，除此毕达哥拉斯认为，世界上只存着整数和分数，除此之外，就再也没有什么别的数了，可

10、是，他有一个学之外，就再也没有什么别的数了，可是，他有一个学生，叫希伯索斯，就发现了这样的一种数，比如，一生，叫希伯索斯，就发现了这样的一种数，比如，一个边长是个边长是1 1的正方形，从一个角到对着它的一个角之间的正方形，从一个角到对着它的一个角之间的线段长度是多少呢？的线段长度是多少呢？毕达哥拉斯知道了学生的这个发现，大惊失色，毕达哥拉斯知道了学生的这个发现，大惊失色，因为如果承认了这个发现，那他们学派的基础就没有因为如果承认了这个发现，那他们学派的基础就没有了，毕达哥拉斯这位伟大的数学家，在这上面的表现了，毕达哥拉斯这位伟大的数学家，在这上面的表现却很不光彩；他禁止希伯索斯把这个发现传出去

11、，否却很不光彩；他禁止希伯索斯把这个发现传出去，否则就要用学园的戒律来处置他则就要用学园的戒律来处置他活埋。活埋。毕达哥拉斯兴师问罪，然而希伯索斯事先已经得知了毕达哥拉斯兴师问罪，然而希伯索斯事先已经得知了消息，他抢先一步逃走了。毕达哥拉斯学派是不会放消息，他抢先一步逃走了。毕达哥拉斯学派是不会放过他的，他们在一条海船上发现了他，把希伯索斯装过他的，他们在一条海船上发现了他，把希伯索斯装进了口袋，扔进了大海，希伯索斯就这样被害死了！进了口袋，扔进了大海，希伯索斯就这样被害死了！”。希伯索斯虽然被害死了，但是他发现的。希伯索斯虽然被害死了，但是他发现的“新数新数”却还存在着，后来，人们从他的发现

12、中知道了除去整却还存在着，后来，人们从他的发现中知道了除去整数和分数之外，世界上还存还着一种数和分数之外，世界上还存还着一种“新数新数”。第10页/共19页 这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的导致了当时认识上的“危机危机”，从而产生了第，从而产生了第一次数学危机。一次数学危机。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整

13、数的权威地之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命。思想上的一次巨大革命。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为

14、“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。第11页/共19页假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。对于任一分割,必有3种可能,其中有且只有1种成立:A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有1的有理数，B是所有1的有理数。B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有1的有理数。B是所有1的有理数。A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数

15、。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。前面2种情况中，分割是有理数。这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。第12页/共19页16世纪意大利米兰学者卡当（15011576）在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，

16、尽管他认为 这个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺。第13页/共19页 由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,-1，-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”第14页/共19页继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现 在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。第15页/共19页数字是个神秘的领域，它们的家庭也在日益壮大着即使是简单的数字的组合，也会带给我们神奇的美感。第16页/共19页美丽的数第17页/共19页fin第18页/共19页感谢您的观看。第19页/共19页