人教版高中数学选修1-2直接证明与间接证明.ppt

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1、直接证明与间接证明中学数理化演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现,主要靠合主要靠合情推理情推理.推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）例例:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a

2、02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有

3、的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:例：在例：在中，三个内角、对应中，三个内角、对应的边分别为的边分别为a a、b b、c c，且、成等差数，且、成等差数列，列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边为等边三角形三角形例：在锐角三角形例：在锐角三角形中，中，求证求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCsinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC例：设抛物线例：设抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点为，经过点的直线交抛物线于为，经过点的直线

4、交抛物线于、两点，点在抛物线的准线、两点，点在抛物线的准线上，且上，且xx轴（如图），证明轴（如图），证明直线经过原点直线经过原点42-2-4-65B BA AC CO OF F作业：作业：组，组组，组经过证明经过证明的结论的结论 一般地，从要证明的结论出发，逐步一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做

5、分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因.用框图表示分析法用框图表示分析法得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论复习复习思考题思考题:甲、乙、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384个个,先先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个所放个数分别为乙、丙箱内原有个数数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同方法同前前.结果三箱内的小球数恰好相等结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、求甲、乙、丙三箱原有小球数

6、丙三箱原有小球数甲甲:208:208个个,乙乙:112:112个个,丙丙:64:64个个思考？思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定必定是在撒谎，为什么？是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎,则则C真真.-那么那么A假且假且B假假;由由A A假假,知知B B真真.这与这与B B假矛盾假矛盾.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.反证法：反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的假设命题结论的反面成立，经过正确的推

7、理推理,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误,从而从而证明原命题成立证明原命题成立,这样的的证明方法叫反这样的的证明方法叫反证法。证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结-论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2

8、2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形：(1)(1)直接证明困难直接证明困难;(2)(2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多有无穷多个个”-类命题；类命题；（4 4）结论为结论为“唯一唯一”类命题；类命题；例例1 1：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么例例2 2 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。P P例例3 3：证明：圆的两条不全是直径的相交：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分弦不能互相平分.已知：在已知：在OO中中,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全是直径不全是直径 求证：求证：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO O 例例4 4 求证：求证：是无理数。是无理数。作业作业