专题09圆中的范围与最值问题（知识梳理专题过关）（解析版）.docx

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1、专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如=上二的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. x-a（2）形如，= + b的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如2 = （X ）2+（y 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（/b）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（I）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1:斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1:斜率型（2021 .江西.高二期中（理

2、）已知圆C:/+（y_i）2=i,点43,0）在直线/上，过直线/上的任一点P引圆C的两条切线，若切线长的最小值为2,则直线/的斜率2=（）A. 2B. JC. 一2或;D. 2 或一，222【答案】C【解析】圆C：%2+（y_l）2=l的圆心为C心 半径为1,因为切线长的最小值为2,所以PC%广万石=6，16. （2021天津市新华中学高二期中）若点P（x）在圆d + y24尸1 = 0上，则2x+V+1的最小值【答案】8-2V15【解析】由Y + V4），+ 1 = 0,得f+（y 2=3,则圆的圆心为（。,2）,半径为6，因为/_2%+丁2+1 =。一1）2 + 丁2表示圆上的点夕（乐,

3、）到点（1,0）的距离的平方，所以 X? 2x+ 2 +1 的最小值为（Jf +2。-6）=8 2/15 ,故答案为：8-2V1517. （2021福建厦门双十中学高二期中）已知演满足（x-l+（y-l）2=l,则9 +产的最小值为*【答案】3-22【解析】设圆（x-l+（y-1=1的圆心为半径为 =1,r +尸表示圆上的点与原点。（0,0）的距离的平方，连接 OM,可得 OM= J（l_0y+（l_0）2 =血,线段OW与圆的交点到原点的距离最小，所以f+ y2的最小值为（|0加|_7）2=（0一）2=3一20.故答案为：3-272 .18. （多选题）（2021 广东.新会陈经纶中学高二期

4、中）已知圆心为。的圆/ +4x + 6y + ll =。与点A（0,-5）,则（）A.圆。的半径为2B.点A在圆。外C.点A与圆。上任一点距离的最大值为3亚D.点A与圆。上任一点距离的最小值为近【答案】BCD【解析】依题意，圆。：（x-2）2+（y + 3）2=2,则圆心。（2厂3）,半径=0，A不正确；因点A(0,5),则|AC| = 20乙点A在圆C外,B正确；因点A在圆。外，在圆c上任取点尸，则|FWpc|+|C4| = +|C4卜36，当且仅当点p, a a共线，且 P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆。上任取点M,则4121c4|-|MC|=|C4|-及，当且仅当点c, M,

5、 A共线，且M在线段C4上时 取f C正确.故选：BCD(2021湖南雅礼中学高二期中)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ().A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】设圆心C(x,y),则J(x-3)2+(y 4=1,化简得(x-3)2+(丁一4)2=1,所以圆心。的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|。|+12|。”|=户不=5,所以I。25 1 = 4,当且仅当。在线段OM上时取得等号，故选：A.19. (2021 .四川双流中学高二期中(理)已知实数工、V满足方程d + 丁4% + 1 =。，则f +最小值为 ()A. 7-473B

6、. 7 + 4百C. 2 + 百D. 2一6【答案】A【解析】圆的标准方程为(x-2 + y2=3,圆心为C(2,0),半径长为百，-/(0-2)2+023,所以，原点在圆(x2+ 丁=3外.工2 +的几何意义为坐标原点0到圆上一点距离的平方，卜2 +2)讪=(|04 6=(2 6了=7 46. 故选：A.20. (2021 福建永安市第一中学高二期中)若直线/：依+力+ 1 = 0始终平分圆加:/ + /+41+ 2),+ 1 = 0的周长，贝IJ(a 2y+S 2)2的最小值为()A. V5B. 5C. 275D, 10【答案】A【解析】由题意直线/过已知圆的圆心,圆心为（一2,-1）,，

7、一2。一+1 = 0,即2+4-1 = 0,点（a在直线2%+。-1 =。上,&2+3）2表示直线2x + y -1 =。的点3打到点（2,2）的距离，.最小值为lX212T|=6故选：A.21. （2021 北京八中高二期中）点在圆f + y2=2上，点n在直线/: =1-3上，贝的最小值是 （）A. 0B. C. -D. 122【答案】B【解析】由题意可知，圆心”（0,0）,所以圆心（0,0）到/：y = x3的距离为所以圆心（0,0）到/：y = x3的距离为H_ 3及V2 2所以即I的最小值为乎-=乎-必当.故选：B.22. （2021 内蒙古包头市田家炳中学高二期中）已知为直线y =

8、 x + l上的动点，N为圆f + y2+2x + 4y + 4 = 0上的动点，则|MN|的最小值是（）A.桓B. 2-72C. 1D. 72-1【答案】D【解析】由圆 + y2+2x + 4y + 4 = 0,得（x + iy+（y + 2=l,可得圆心坐标为（-1,-2）,半径为1,圆心到直线- y + 1 = 0的距离d =|-1 + 2 + 1|而M为直线y = x + l上的动点，N为圆Y + y2 +2x + 4y + 4 = 0上的动点,则|MN|的最小值是啦1.故选：D24. （2021 黑龙江哈九中高二期中（文）设曲线f+（y l）2=8上的点到直线x-y-2 =。的距离的

9、最大值为最小值为乩则。-办的值为（）A.叵B. 4夜2【答案】C7722D. 2【解析】由题意，圆/+（）, =8的圆心坐标为（0），半径为厂=2血,、|0 1 2|32可得圆心M（。）至lj直线x-y-2 =。的星巨离为d = / r = f所以 Q = d + r= 3 拒 + 22 = 7 后, b = 0, 所以。一/?=. 222故选：C.考点4：周长面积型25. （2021 江苏淮阴中学高二期中）已知圆C经过点A（2,-1）,且与直线x+y = l相切，圆心。在直线 y = -2x 上.（1）求圆。的方程；（2）点P在直线2x-y + l =。上，过P点作圆C的两条切线，分别与圆切

10、于V、N两点，求四边形 PMCN周长的最小值.【解析】（1）因为圆心。在直线y = -2x上，所以可设。（-2），半径为厂0）,则圆。的方程为（x-Q）2+（y + 2=，；又圆。经过点A（2,-1）,且与直线x+y = l相切,(2-+(-1 + 2)2 =产所以,，解得/=- = rI V1 + 1所以圆C的方程为（x-if + （y+2）2 = 2.（2）由题意：四边形PMQV周长c = RW + RV + 2r,其中R0 = RV = 而，即PC取最小值时，此时周长最小，又因P在直线2x-y + l =。上，即圆心。到直线2x-y + l =。的距离时，PC的最小值为尸C= I：2+!

11、=6,Vl2+22所以周长cN2后工+ 2血=26 + 2后,故四边形PMCN周长的最小值为2V3 + 2V2.26. （2021 云南.宣威市第五中学高二期中（文）已知直线3x+4y-12 = 0与光轴，y轴相交于A, B两点,点。在圆/+产-10妻-12+52=0上移动，则A3C面积的最大值和最小值之差为.【答案】15【解析】令丁 =。得x = 4,令x = 0得y = 3,所以A (4, 0),点8 (0, 3),：.AB = 5,由/+产10片12了+52=0得(x 5)2+(y 6)2 =9,所以圆的半径为3,圆心为(5,6),7 |3x5 + 4x6-12| 27圆心(5,6)到直

12、线AB的距离d =彳,V32+4-527122742所以点C到直线AB的距离的最小值为(-3 =(，最大值为3 + 3 =葭，142112所以臬树的最大值为：x5x卷= 21,最小值为3x5x( = 6,所以A3C面积的最大值和最小值之差为21-6 = 15.故答案为：15(2021福建福州高二期中)设P为直线3x 4y + 13 = 0上的动点，、P5为圆C:(工-2)2+(y-1了 = 1的两条切线，A、B为切点,则四边形AP8C面积的最小值为.【答案】2V2【解析】圆C：(龙-2)2+(y-1)2 = 1的圆心C(2,l),半径一=1,连接 4C, BC, PC,可得尸八，AC, PBL

13、BC, PA=PB9 AC= BC|=1,S四边形.=2SC =2BCPB=BC-PC2 -BC2 = J| PC-1 ,16-4 + 131I PCI的最小值是圆心(2,1)至IJ直线3x 4y + 13 = 0的距离d = = 3,19 + 16所以四边形APBC面积的最小值为-I = 272.故答案为：2夜.27. (2021 广东潮州市湘桥区南春中学高二期中)已知尸为圆(工+1)2 + 丁=1上任意一点，4，8为直线3x+4y 7 =。上的两个动点，且|A3|=2,则Q48面积的最大值是.【答案】31-3 + 0-71【解析】根据圆的方程，圆心(一1,。)到直线3x+4y 7 =。的距

14、离管/匕2,3- +4一所以圆上的点P到直线的最大距离或皿=2 +1 = 3 ,此时最大面积Spab = x3x2 = 3.故答案为：3.28. （2021 江苏南通高二期中）过直线3x + 4y + 12 =。上一点P作圆C：/十产一2% =。的切线，切点为A, B,则四边形PAC8的面积的最小值为（）A. V6B. 272C. 3D. 273【答案】B【解析】由圆的方程可得：（x-1+ 丁=1,则圆心为：C（l,0）,半径一1又 S四边形PAC8 = S5AC + Spbc又 S四边形PAC8 = S5AC + Spbc= -PAr-PBrPAPB为圆的切线，则=又24 = V产当四边形的

15、面积的取最小值时，PC最小又PC垂直于直线3x + 4y + 12 = 0时，PC最小四边形PACB面积的最小值为：月工=2正故选：B（2021陕西安康高二期中（文）直线x+y + 3 = 0分另1与元轴， 轴交于A, 8两点，点P在圆 （x-3y + y2 =2上，则A3P面积的最小值为（）A. 6B. 672C. 12D. 1272【答案】A【解析】43,0）, m-3）,. A5 = 7?77 = 3/，圆（% 3）2 + y2=2的圆心到直线x+y + 3 = 0的距离1=/. P到距离的最小值为2及，AA3P面积的最小值为x 3血x 2亚=6 ,2故选：A.考点5：长度型（2021

16、北京市昌平区第二中学高二期中）已知A3分别是OG：。-1 + （）-3）2=1,。2：。+ 5）2+0-1）2=4上的两个动点，点“是直线工-丁 = 0上的一个动点，则|加4| + |8|的最小值为【答案】5【解析】如图，圆。3是圆G关于直线x-y = o的对称圆，所以圆G的方程为（ 3+（y 1）2=1,圆心为G（3,l）,且由图知，.。2,aMAC五点共线时，+ 有最小值,此时,（|MA| + |M同% = GGT 2 = JG+O-3 = 5所以+的最小值为5.故答案为：5.30. （2021 广东湛江二H一中高二期中）已知P是直线3x + 4y + 13 = （）上的动点，M, PB是

17、圆 （工-1）2+（-1）2=1的切线，4B是切点，C是圆心，那么四边形现C3面积的最小值是【答案】V15【解析】由题意知，A, 8是切点，是圆心C（L1）,且圆的半径为1所以 PB = PA = Jpc2-12，四边形B4C3面积为：S = 2xLpB.r = dPC2-E 2所以当PC取最小值时，S取最小值由点。在直线上运动可知，当PC与直线3x+4y + 13 = o垂直时PC取最小值此时PC为圆心。到直线3x+4y + 13 =。的距离|3xl + 4xl + 13|即 PC =J,= 4故四边形雨最小面积为：s = 2-F =拒故答案为：V15.31. （2021 安徽滁州高二期中）

18、已知亡（2,1）,点尸在直线+y + 3 = 0上，点。在圆C： f+ /_2%一14丁 + 25 = 0上，则|尸川+|。|的最小值是.【答案】8【解析】因为圆C Y + y22x i4y + 25 = 0,故圆。是以c(l,7)为圆心，半径厂二5的圆,则圆心到直线为+丁 + 3 =。的距离4=羽5,故直线和圆相离, 点 A 坐标满足 22+12-2x2-14 + 25 = 12(), A 在圆外,设点4(2,1)关于直线x+y + 3 = 0的对称点为4(根7),2 + 222 + 220=1 m-2I 2 = 4，解得5,故双9,则 | AC|= J(-4 1)2+(5 7下=13 ,连

19、接4c交圆。于Q,交直线x+y + 3 =。于上 由对称性可知:|%+归。|=|48+。|习4。=|4。 = 135 = 8,当且仅当A,P,C共线时，取等号,故答案为：8(2021 ,广东,湛江二十一中高二期中)已知圆 G：(x 2)2+(y 3=1,圆 G：Q 3)2+(y 4尸=16,N分别是圆上的动点，P为X轴上的动点，则|PM| + |PN|的最小值为()A. 572-4B. 717-1C. 6 + 2近D. 5夜5【答案】D【解析】如图所示，圆G关于x轴对称的圆的圆心坐标为4(2,-3),半径为1, 圆J的圆心坐标为3 4),半径为4.设为点”关于x轴对称的点，由图象可知，当人 “

20、，N三点共线时，M+|pn|=|p|+|pn|取得最小值, 且|PM| + |/W|的最小值为圆A与圆G的连心线的长减去两个圆的半径之和， BP|AC2|-4-l = J(3-2)2+(4 + 3)2 5 = 5旅一5 .故选：D.32. (2021 吉林长春外国语学校高二期中)已知直线/：x-y + 4 = 0与x轴相交于点A,过直线/上的动点P作圆/ + 丁=4的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是CO的中点，则的最小值为()A. 272B. 372C. V17D. 3【答案】A+(什44【解析】设点P(A什4), C(/yJ,。伍，M)，因为P。，PC是圆的切线，所以OD_LP2OC_

21、LPC,( z Y (,+42所以C,。在以OP为直径的圆上，其圆的方程为X- + y- I 2； C 2 J又G。在圆/ + 丁=4上，则将两个圆的方程作差得直线CO的方程：比+(什4)y-4 = 0,即 ，(x+y)+4(y1) = 0,所以直线CD恒过定点。(-U),又因为OM_LCD, M, Q, C。四点共线，所以即M在以OQ为直径的圆X+L + y- 上，其圆心为O ,半径为厂2)2)212 2；2所以恒篇=|4。 = -，+ 41+-变=20,所以|4徵的最小值为2近，2 J 2J2故选：A.36. (2021 重庆市江津中学校高二期中)已知幺+产4x+2my + 2田一2m+l

22、 = 0(mR)表示圆C的方程.求实数z的取值范围；当圆。的面积最大时，求过点A(4,-4)圆的切线方程.P为圆上任意一点，已知川6,0),在 的条件下，求|PA+|尸肝的最小值.【解析】由题可知：(“一2)一+(产附2=3 + 2”-加，该方程表示圆，则3 + 2租-加0,即4-22-3(),解得-1m2,则点“在圆C外面，所以 PM . = CM -2 = 710-2, min2则(|PA+归却 2) =2(Vio-2)10 = 28-8710 + 10 = 38-8710.则可知|PA+|尸3的最小值为38-8西.所以圆心C到直线/的距离为石，所以直线必有斜率，设/:y = &X-3）,

23、即京7-3& = 0,所以圆心CQ1）到直线丘-丁-34=0的距离为所以圆心CQ1）到直线丘-丁-34=0的距离为10 1 3攵 | |3% + 1|I3Z + 1I1所以一=整理得2公+3左一2 = 0,解得4=上或左=2.7匕 +12故选：C2.（2021 .山东泰安高二期中）设点P（x,y）是曲线y = -J”（x-Ip上的任意一点,则三的取值范围是X ()A.A.B.2 125ryC. 0,2D.P2【答案】B【解析】曲线y = -口（二1尸表示以（1）为圆心，2为半径的下半圆，如图所示:口可表示点P（x, y）与点0（4,2）连线斜率kA I当直线尸。与圆相切时：设直线方程为y-2

24、= M%-4）,即h-y-4Z + 2 = 0圆心到直线距离J1 +产12解得攵=（或左=0,12又y-3 = Zr（x-1）与曲线c：y = 7T恰有两个不同公共点，则实数攵的取值范围是OA.4 ,+0013B.4 3392C.5D.【答案】B【解析】直线/：y 3 =（X 1）过定点（1,3）,曲线C:y = Vl 为以。）为圆心，1为半径，且位于y轴上半部分的半圆，如图所示当直线/过点（T。）时，直线/与曲线有两个不同的交点，此时0 = Tt + 3-3解得2.当直线/和曲线C相切时，直线和半圆有一个交点，圆心（。,。）到直线，：y-3 = %（x-1）的距离3-k4d = -y = l

25、,解得攵=彳J1 +攵 2343结合图像可知，当彳攵彳时，直线/和曲线。恰有两个交点 32故选：B4 .（多选题）（2021 湖北宜昌高二期中）实数天儿 满足2+9+2% = 0,则下列关于二二的判断正确的是 x-1（）A. T的最大值为百B.义的最小值为X-X-1C. 的最大值为无D. 一的最小值为一立x-13x-13【答案】CD【解析】由题意可得方程/+/+2%=0为圆心是半径为1的圆，则名为圆上的点与定点，1，。）的斜率的值，设过尸（1,0）点的直线为y = MX+l）,即丘-y+Z = 0,则圆心到到直线依-y+Z =。的距离d = r,即/工=1,整理可得女2 = 1,解得女=,J1

26、 +公3所以 一，即7的最大值为乌 最小值为-在.x-1 3 3 J x-133故选：CD.5 .（2021广东兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x, y满足方程f + V + 1 = 0,求：上的最大值； xf +J的最小值.【解析】*+ V-4x+l = 0n（x-2）2 + y2=3,圆心（2,0）,半径厂=打。上表示（%,V）与（0,0）构成的斜率。X设直线y =依，则（2,0）到直线丘-y = 0的距离为百,d = /= 6 ,解得 k = 3 ,所以max =，即)的最大值为a/3 oX(2)? +y表示(y)与(0,0)距离的平方。如图所不：则r + )2的最小值为=(2 百=7

27、4百. (2021 广东湛江二H一中高二期中)已知圆。的圆心坐标为(2, 7),直线/:尤- + 9 = 0是圆。的一条 切线，且点。(一2, 3)为圆外的一点.(1)求圆C的标准方程；若点M为圆上的任一点，求|国的最大值和最小值；若点P(%,y)在圆。上运动，求匕1的最大值和最小值.【解析】(1)因为圆C的圆心坐标为(2, 7),直线/：x-y + 9 = o是圆c的一条切线，所以圆C到直线 /:% y + 9 = 0的距离等于半径，即r = d =上浮1 = 2近，所以圆。的标准方程(4-2y+(y 7=8；(2)因为圆心坐标。(2,7), 2逝，|CQ| = J(2 + 2+(7_3=4

28、,所以M2L =|。+ = 4逝 + 2血=6621mhi =|CQ|= 40-20 = 2亿(3)设过点。(-2,3)的直线方程为：y-3 = k(x+2),即丘- + 2Z + 3 = 0,易知直线与圆相切时,% = 二有最值，由隆-：+ 2： + 3|=20,解得攵=2土石，所以二的最大值是2 + 6,最小值是x + 2，1 + 攵2x + 2 2-73.(2021 河北唐山高二期中)(1)已知点P(x, y)在圆C x2+y2-6x-6y+14=0 ,求f+V+z九+3 的最大值与最小值.(2)已知实数x, y满足(x2)2+y2 = 3,求上二的最大值与最小值.X【解析】(1)圆方程

29、化为(X3)2+。一3)2=4,圆心C(3, 3),半径厂=2.f+y2+2x+3 = (x+l)2+y2+2表示圆上点月(九，月与定点A(1, 0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|=5,所以33把7,所以所求最小值为11,最大值为51.(2)方程(x2)2+)2 = 3,表不以(2, 0)为圆心，6为半径的圆.金的几何意义是圆上一点与点(0, 1)连线的斜率，所以设上二=3即)，=+1.当直线y=+l与圆相 xx| 2k 0 +1 |_y 1切时，斜率取最大值和最小值，此时 小 =6 解得=-2土遥，所以二的最大值是一2 +6 ，最小值为一2一 76.考点2：直线型8. (2021

30、浙江长兴县教育研究中心高二期中)已知圆心为。的圆经过点A(0, 2)和3(1, 1),且圆心。在直线/： x+y+5=0 上.求圆C的标准方程；(2)若P(x, y)是圆C上的动点，求3x4y的最大值与最小值.【解析】QM的中点为122人又勤=T3(1、.A3的中垂线方程为丁-3 =以X-,即%y + l=。,22)xy + l = 0x+y+5=0解得圆心为(一3,2), r = AC=5圆的方程为(x + 3产+ ( y + 2=2531y %z(2)令z = 3x-4y,即一厂4，直线与圆有公共点,圆心C到直线z = 3x-4)的距离为“二圆心C到直线z = 3x-4)的距离为“二|-9

31、 + 8-z/2+(-4)2z + l|y5,解得一26Wz424.所以3尤一4y的最大值为24,最小值为-26.9.(2021 黑龙江大庆市东风中学高二期中)点P(x,y)在圆(x-2+(y + 3=l上，则x+y的范围是【答案】-72-1,72-1(ji Asin 6 + - -1、4,【解析】设x = 2+cos + 3 =。的最大距离为3正C.若点（x,y）在圆上，则x + Gy的最小值是3 2夜D.圆（x-a-4=8与圆加有公共点，贝匹的取值范围是1 2及WqWI + 20【答案】ACD【解析】因为|AB|=|4C|=4,所以ABC是等腰三角形，可得ABC的外心、重心、垂心都位于AB

32、C的（3 1 A垂直平分线上，由点B（T3）,点C（42）可得线段的中点为,且直线BC的斜率12 2 ）限=空? = -1，所以线段的垂直平分线的方程为），-g =即X-尸1 = 0.又圆M:（x3+），=，的圆心为（3,0）,直线xy 1 =。与圆”相切，所以点（3,0）到直线xy l = 0的距离3 一 o为%- = 3所以圆 A/:（x 3 + y2 =2.对于选项A、B：圆M的圆心（3,0）到直线x-+3 =。的距离1 = 唱 =30,所以圆上的点到直线%-），+ 3 =。的最小距离为3夜一夜=2夜，最大距离为3近+及=4及，故选项A正确，选项B错误； 对于C,令z = x + VJy

33、,即x + 6y-z = 0,当直线x + gy - z = 0与圆M相切时，圆心（3,0）到直线 x + gy-z = 0的距离为邑，解得z = 3 + 2逝或z = 3-2&，则x + Gy的最小值是3-2逝，故选项C正确； 对于D,圆（x-a-lp+（y-q）2=8的圆心为（。+ 1,4）,半径为2近，若该圆与圆M有公共点，则2V2-V2 （6/ + 1-3）2+2 /2 + V2 ,即 22=1。工17,故 +）2 -4工+6了 = 6（x+y） 17 ,由C的判断可得1+”9,故ll6（x+y） 17W37,故D正确.故选：BCD.12.（多选题）（2021重庆十八中两江实验中学高二

34、期中）已知实数x, y满足（x-2）2 + V=4,下列说法正确的是（）A.的最小值为 x + 13x+y的最小值为2-20A. （x + 2Y+（y + 3）2的最小值为5D.点(x, y)到直线y =+ 2的距离的最大值为2 + 20【答案】BD【解析】方程(x-2+尸=4表示以。(2,0)为圆心，厂=2的圆，对于A： 表示点(-1,0)与(乂丁)的连线的斜率，设过点(-1,0)的直线的斜率为3则丁 =%(冗+1),即人I 1|24 + 。田,kx-yk = 09所以4=小，、工2,解得左 (处，故A错误；9 +(-1)-55|2-z对于B：令x+y = z,即x+y-z = 0,则解得2

35、-2逝4 z W 2 + 2及，即2-20Wx+y42 + 20，故工+丁的最小值为2-,即B正确；对于C： a+2+(y + 3表示圆上的点(xy)到A(-2,-3)的距离的平方，令圆上的点(x,y)到A(-2,-3)的 距离，因为|AC| = J(2 2+(3 0:=5 ,所以|AC| &封4。+人 即3&47,所以 9(x+2y+(y + 3)2 亚=后,故(% -5)2 + (% +4)2的最小值为5.14. (2021 江苏扬州中学高二期中)过点P(-3, 1)作直线砒皿)+g-1)=0的垂线，垂足为点若定点N(3, 4),那么lN|的最小值为.【答案】3【解析】直线机(x-l)+(y-l)=0恒过定点。(LD,显然点M与尸，。都不重合时，PMQM 9于是得点加 在以线段P。为直径的圆上，当点M与P, q之一重合时，也满足条件，即点M的轨迹是以线段PQ为直径的圆，圆心。(-1,1),半径r = 2,圆C的方程为：(% + 1)2+(-1)2=4,显然，点N在圆。外，于是得|MN|mm=|NC|-r = 7(-1-3)2+(1-4)2 -2 = 3,所以|MN|的最小值为为3.故答案为：3