专题03复数问题(解析版).docx

《专题03复数问题(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题03复数问题(解析版).docx（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题03复数问题【高考真题】(2022全国乙理)已知z=I-2i,且z+aE+=0,其中小为实数，则( )A.。=1, b=2 B. a= , b=2 C. a= , b=2 D. a= , b=2I.答案 A 解析 T = 1 +2i, z+a*F+b= 1 2i+a(l+2i)+b=(l+a+力)+(2-2i)i,由 z+aF+b =0,得 a=l, b=-2,故选 A.1. (2022全国乙文)设(l+2i)+Z?=2i,其中a, b为实数,贝i()A. 4=1, b= B. 67=1, b= C. a= , b= D. a= , b= 2.答案 A 解析 因为 a, 为实数，(a+b)

2、+2ai=2i,所以 a+b=0, 2a=0,解得，a=l, b= - 1. 故选A.2. (2022全国甲理)若z=-I +小i,则 Y=()z z A. - 1 +小iB. - 1 y3C. -坐iD. -J-3.答案 C 解析 彳=一1 一小i, z彳=(- 1+4i)(一l 一4i)=4,=一：+号.故选C.3. (2022全国甲文)若 z=l+i.则|iz+3T|=()A. 44B. 4啦C. 24D. 2啦4.答案 D 解析 因为 z=l+i.所以 iz+3W = i(l+i)+3(li)=22i,所以|iz+3T| = 2，L 故选 D.4. (2022新高考 I )若 i(lz

3、)=l,则 z+三=()A. -2B. -1C. 1D. 25.答案D解析 由题设有1z=；= i,所以z=l+i,故z+T=2,故选D.5. (2022新高考H)(2+2i)(l-2i)=()A. -2+4iB. -2-4iC. 6+2iD. 6-2i6.答案 D 解析(2+2i)(|2i)=2+44i + 2i=6-2i,故选 D.6. (2022北京)若复数z满足iz=3数=,则|z|=()A. 1B. 5C. 7D. 2534；7.答案B 解析由题意有z=l+i,故|才=7(-4)2+(3)2=5.故选B.7. (2022浙江)已知 a, bR, +3i=S+i) i(i 为虚数单位)

4、，则( )A. cij b3 B. u19 b3 C.1, b3D u 1 b38.答案 B 解析a+3i= - l+历，而。，为实数，故。=-1, b=3,故选B.【知识总结】I.复数的相关概念及运算法则(I)复数z=a+bi3, 的分类z是实数=/?=0；z是虚数=/?W0：z是纯虚数=4=0且bWO.(2)共挽复数复数z=o+历(a, R)的共扼复数z =a-bi.(3)更数的模复数z=a+/?i(a,匕 R)的模|z| =)标+护(4)复数相等的充要条件a+bi = c+dia=c 且 b=d(a, b, c, dR). 特别地，。+济=()=。=0 且=0(。，bR). 复数的运算法

5、则加减法：(a+Z?i)土(c+di)=(ac)+(b土d)i ；乘法：(a+历)(c+4i)=(acbd)+(ad+ bc):“人、i . . ac-bd , be-ad除法：(a+历):(c+Ji) =户 + c i (c+di r 0).(其中a, b, c, dR)2.复数的几个常见结论 (l)(li)2=2i.1+i . 1-i有=卜不一(3)i4n=l, i4n+1 = i, i4n+2=-l, i4n+3=-i, i4H+i4n+14-i4,+24-i4,+3=0(/?eZ).【同类问题】题型一复数的概念I. (2021.浙江)已知aR, (l+ai)i=3 + i(i为虚数单位

6、)，则。等于()A. -1B. 1C. -3D. 31.答案 C 解析 方法一 因为(l+ai)i=-a+i=3 + i,所以一。=3,解得=一3.3 I i方法二 因为(1+ai)i=3 + i,所以 1+ai= 1 3i,所以 a=-3.2. (2020全国III)若 z(l+i)=l-i,则 z等于()A. 1-iB. 1+iC. -iD. i22 .答案 D 解析 因为z = . _|_.= . i. r=i,所以z=i.1 十i 1 -ril 1z( +i)i33 .若复数z满足i,则复数z的虚部为()A. iB. -iC. 1D. - 1z(l+i)i33 .答案 C 解析、占-=

7、1，/.z(l+i)(-i)=(2-i)(l-i), Az(l-i)=(2-i)(l-i), Az=2-i, .*.7 =2 + i, 刀的虚部为1.4 . (2020全国 I)若z=l+i,则|z22z|等于()A. 0B. 1C. a/2D. 2.答案 D 解析 方法一 z2-2z=(l+i)2-2(l+i)=-2, |z2-2z|=|-2|=2.方法二 |z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|=|(l+i)(-1 +i)|=|l+i|-|-l +i|=2.4 .已知亩=1 -yi,其中羽y是实数，i是虚数单位，则x+)，i的共辑复数为()A. 2+iB. 2-iC. l+2iD.

8、l-2irr I - jx v5 .答案 B 解析 由春=1)，i,得E=1一,即yi, 解得 xI +11+1112 2-x一，=2, y= 1,，x+)，i=2+i,，其共物复数为 2i.6 . (2021上海)已知 z=|-3i,则|z-i|=.6 .答案 y5 解析 6z=l-3i, 6z=l+3i, /.T-i= 1+3i-i= 1+2i, .|z-i|=-/l2+22=V5. G _L_ / .7 .如果复数二dswR）的实部与虚部相等，那么=（）A. -2B. 1C. 2D. 47.答案 A 解析 二一 . ：二2i,所以实部为儿虚部为一2,故人的值为一2,故选1i（一i）A.8

9、 .若复数2=（/1） + （工一 l）i为纯虚数，则实数x的值为.X2 1 =（）.答案 一1解析z为纯虚数，- x1W0,2（多选）若复数z=由，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. z的虚部为一 1B. |4=让 C. Z?为纯虚数D. z的共规复数为一l-i答案 ABC 解析z=y3j= （）L,）（； _： =一 ）= 1 -i,对于A, z的虚部为一1,正确；对于 B,模长|z|=g,正确；对于C,因为/=（1i）2=-2i,故z2为纯虚数，正确；对于D, z的共柜复 数为1+i,错误.9. （多选）（2022武汉模拟）下列说法正确的是（）A.若|z| = 2,则 z- z

10、 =4B.若复数 Z1，Z2 满足|Z+Z2| = |Z|Z2I，则 ZiZ2 = 0C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等D. “4#1”是“复数z=3一|)+(a2i)i(aR)是虚数”的必要不充分条件10.答案 AD 解析 若 |z| = 2,则 zz=|z|2=4,故 A 正确；设 zi=ai+5i(ai, Z?i R), Z2=2+2i(2 历 R),由 |Z1+Z2| = |Z1Z2,可得忆1+22|2 =(4|+42)2 + (也+62)2 =B122|2 = 3142)2 + 31一力2)2贝1| 0他 +Z?也=0,而 ZZ2=3i+bii)(a2+岳i)=aQ

11、历历+。1屈+加如=2。2+。也i+bgi 不一定为 0,故 B 错误；当Z=li时，/nZi为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数Z=(al)+(a2 l)i(aR)是虚数，则/一1和，即分1,所以“存1”是“复数z=(a 1)+征一 |)i(R)是虚数”的必要 不充分条件，故D正确.题型二复数的四则运算(2021新高考全国I )己知z=2-i,则z(T+i)等于()A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2iII.答案 C 解析 因为 z=2i,所以 z( z +i)=(2i)(2+2i)=6+2i.10. (2021北京)在复平面内,复数z满足(l-i).z=2,则z

12、=()A. 1B. iC. l-iD. 1+i12.答案 D 解析 由题意可得7=/一=- +i. I 1(1 1) (1+1)11. (2020新高考全国I )1_；等于()A. 1B. - 1C. iD. -i小 g anuL 2 i (2 i)(l 2i) 5i.13.白案 D 解析 1+2i=(i4-2i)(l -2i)= -1,(2021全国乙)设iz=4+3i,则z等于()A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i14.答案C解析 方法一(转化为复数除法运算)因为iz=4+3i,所以2=一=生罟二=-4i-3i2=3-4i.方法二(利用复数的代数形式)设z=a+历

13、(a, 0WR),则由iz=4+3i,可得i(a+6)=4+3i,即一。b=4,+i=4 + 3i,所以 1。=3,4 = 3,即所以z=3-4i./?=4,方法三(巧用同乘技巧)因为iz=4+3i,所以iz-i=(4+3ii,所以一z=4i 3,所以z=34i.12. (2021全国乙)设 2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则 z=()A. l-2iB. l+2iC. l+iD. I-i15.答案 C 解析设 z= + i(4, R),则z=a/?i,代入 2(z+z) + 3(zz)=4 + 6i,可得 4a+6i =4+6i,所以 a=l, b= ,故 z=l+i.13. （2021

14、全国甲）已知（li/z=3+2i,则 z=（）3333A. - 1 2B. I+giC. 一爹+iD. 一2一i一 3+2i3 + 2i 3i-2. , 3.16 .答案 B 解析 z=（_ 2= _2i = -2 -= +3.17 .（多选）（2022湛江一模）若复数z=5i,则（ ）A. |z|=2 B. |z|=4 C. z 的共短复:数z=J5 + iD. z2=42y3i.答案 AC 解析依题意得|z|=6 （小）？+ （ 1） 2 = 2,故A正确，B错误；z=3 + i, C正确;1=（小一产=3-2小i + i?=22小i, D 错误.1-717 .若z=（a也）+i为纯虚数，

15、其中aR,则七=18.答案一i解析18.答案一i解析Vz为纯虚数,a-y2=0,1子0,厂 +i7 /T &fl-的。=皿，而=1+的=1+的_的-3iZ18 .已知复数z=a+3i（m力ER, i为虚数单位），且0=3+2贝U。=, b=19.答案5 1解析 由z=+历（a, Z?R, i为虚数单位），则z =abi,所以不公=与历）=纭a-b5i = 3+2i,=3,a-b=2,所以 a=5, b= 1.19 .（多选）设Z1，22，Z3为复数，ZiWO.下列命题中正确的是（）A.若|Z2| = |Z3|，则 Z2 = Z3A.若|Z2| = |Z3|，则 Z2 = Z3B.若 Z|Z2

16、= ZiZ3，则 Z2 = Z3C.若 Z 2 = Z3,则Z2| = |Z1Z3|C.若 Z 2 = Z3,则Z2| = |Z1Z3|D.若 ZiZ2 = EF，则 zi=Z220 .答案 BC 解析由 |i| = |l|,知 A 错误；Z1Z2 = Z1Z3，则 Z|（Z2 Z3）= 0,又 Z1#）,所以 Z2 = Z3，故B正确；|Z|Z2| = |Z1|Z2|, |Z|Z3| = |Z1|Z3|,又 Z 2 = Z3,所以囱=| Z R =，故 C 正确,令 Z=i, Z2=f 满足Z|Z2 = |Z1F，不满足Z=Z2,故D错误.题型三复数的几何意义. （2021新高考全国II）复

17、数丛在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限.答案A解析,2ZL=（2-1）（1+30 = 5+2i=1+i所以该复数在复平面内对应的点为I）,该点 1 Ji1U1U L乙 乙）在第一象限.21 .已知i是虚数单位，则复数Z=i2 023 + i（i1）在复平面内对应的点位于（）B.第二象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A.第一象限22.答案C 解析 因为2=2023+近-1)=一1一1-1=一1一2。所以复数2在复平面内对应的点是(一1,一2),位于第三象限.22 .若复数z=(2+ai)3i)在复平面内对应的点在第三象限，其中。R, i为

18、虚数单位，则实数的取值 范围为()A.(一也，啦)B.(一也，0)C. (0,巾)D. 0,也)3。0,23.答案B 解析z=(2+i)(a。=3+(22)i在复平面内对应的点在第三象限，.? 解得 a20,2a0.-4.如图，若向量OZ对应的复数为z,则z+?表示的复数为()A. l+3iB. -3-iC. 3-iD. 3 + i4441 i24 .答案 D 解析 由题图可得 Z(l, 1),即 z=li,所以 z+：=li+_j r=l. zI iI -il-f-i4+4i=1 一i+=li+2+2i=3 + i.25 . (2020.北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(I, 2),

19、则iz等于()A. l+2iB. -2+iC. l-2iD. -2一i.答案 B 解析 由题意知，z=l+2i,，iz=i(l+2i)=-2+i.25 .在复平面内，复数2=缶6为虚数单位)，则z对应的点的坐标为()A. (3, 4)B. (-4, 3)C.停 一,)D.(一点 一号5i 5i (3+4i)3i44 34 326 .答案D解析 因为z=S、=二门上=Y=_5+i,所以所以复数z 。 -1V w) itI z w/ I itI zJJ JJ J所对应的点的坐标为(一点 -|).27 . (2019全国I)设复数z满足|z-i|=l, z在复平面内对应的点为(x,)，)，则()A.

20、 (x+l)2+r=l B. (xl)2+)，2=l c. F+g，-1)2=1D. f+u+1)2=127.答案 C 解析 2z在复平面内对应的点为(x,)，)，z=x+yia，yR). .|z-i|=l,仅+(y-l)i|=1,&+&-1）2=1.28 . （2020全国 II）设复数 zi，Z2满足%|=|Z2|=2, zi+z2=45 + i,则Izlzz尸.29 .答案2小 解析 方法一 设z一Z2=a+力i, a, bR,因为z1+z2=，5 + i,所以2zi =（，5+。）+（1 + A）i, 2z2=（小一。）+（1力i.因为| = L| = 2,所以|2zi| = |2z2

21、|=4,所以木+2+1+=4,3 - 4+1 = 4,，2 +2,得 2 + 2=2.所以匕22|=72 + 序=2小.方法二 设复数Z1, Z2在复平面内分别对应向量源，Ob,则Z1+Z2对应向量次+协.由题意知I殖I=|仍| = |况+时1 = 2,如图所示，以。4, 08为邻边作平行四边形Q4CB,则zi-Z2对应向量或，且|次|=/=|回=2,可得|成|=2|次的】60。=2小.故|zlz2| = |或|=2小.30 .已知复数z满足|zl-i|Wl,则|z|的最小值为（）A. IB.也一 1C. y2D.立+1.答案B解析 令z=x+yi（x，NR），则由题意有（Ll）2+（yl）2

22、q,，团的最小值即为圆。-1）2 + 0，-1）2=1上的动点到原点的最小距离，|Z|的最小值为出一1.29 .（多选）欧拉公式小=cosx+isin工是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到亚 数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天 桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）n.A.复数e对应的点位于第二象限B. e?为纯虚数C.复数启y的模长等于夕D. e6的共筑复数为:一苧.答案 ABC 解析 对于A, e2,=cos 2 + isin 2,因为尹2兀，即cos20,复数e”对应的点位于第二象限，A正确；对于B,e2 =cos+isin ；i，e2为纯虚数，B正确；对于C,cos x+isin x_ （cos x+isin x）（小一i）_小cos x+sin x 3sin xcosx小+ i-（于+ i）（小一 i）44y俨8s:+sin ）+”n ;cos正确；对于D, / =cos季+14就=坐+*,其共柜 复数为坐一；i, D不正确.