2023年勾股定理知识点与常见题型总结.docx

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1、勾股定理复习.知识归纳.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表达方法:假如直角三角形的两直角边分别为斜边为C,那么/+=C.2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千数年前，周朝数学家商高就提出了“勾 三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思绪是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种

2、图形的面积不同的表达方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4Sa+S正力.形/=5正方形ABCD，4x：H + S-a)2=c2,化简可证。方法二:b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4x ab + c2 = 2ab + c2 2大正方形面积为S = ( + b)2 =a2 + 2ab + b所以/+从=。2方法三:S栩形=g(a +5) (a + b), S梯形=2sw + Sbe = 2+ # ,化简得证1 .勾股定理的合用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只合用于直角三角形,对于

3、锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特性，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 A43C 中，NC = 90。，则0 =耳+从,b = slc2-a2 ,a = yjc2-b2知道直角三角形一边，可得此外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题2 .勾股定理的逆定理假如三角形三边长入 ，c,满足/+从=不，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是鉴定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来拟定 三角形的也许形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+从与较长边的平方C

4、?作比较，若它们相 等时，以“，为三边的三角形是直角三角形；若/+从。2,时，以为三边的三角形是钝角三角 形；若+/乙时，以C为三边的三角形是锐角三角形；定理中，力，。及/+从=。2只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三角形三边长。，乩。满足 a2 + c2=b2,那么以，6c为三边的三角形是直角三角形,但是人为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三 角形是直角三角形.勾股数可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即/+=/中,a, ，c为正整数时，称。， 仇C为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5;6,8/

5、0； 5,12,13;7,24,25等用含字母的代数式表达组勾股数：/-1,2,/+ 1 （ 之2, 为正整数）；2 + 1,2/ + 2,22+2 + 1为正整数）nr -n,2nm、m + n2 （m ，m , 为正整数）3 .勾股定理的应用勾股定理可以帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使 用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用 勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形,以便对的使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的

6、数量关系判断个三角形是否是直角三角形,在具体 推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边 的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过 逆定理鉴定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完毕对问题的解决.常见图形:题型一：直接考察勾股定理例 1.在 AABC 中,NC = 90。.(1)已知AC = 6, 8c = 8 .求43的长已知A8 = 17,AC = 15,求8c的长分析：直接应用勾股定理+/=2解：(dab

7、 = Jac2 + bc2 = ()(2)BC = lBd -AC2 =8题型二:应用勾股定理建立方程例2.(1)在 A48C 中，ZAC8 = 90, AB = 5 cm,BC = 3cmf CDLAB 于 D,CD =已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为己知直角三角形的周长为30 cm ,斜边长为13 cm,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘枳.有时可根据勾股定理列方程求解解： AC = b2 -M =4,CQ= W = 2.4ABA设两直角边的长分别为弘,4k(32产+(4幻2=152,

8、.无=3, s=54设两直角边分贝 ija + b = 7a2 + h2 = 289 ,可得cm例 3.如图 AA8C 中，ZC = 9O,Z1 = Z2, C = 1.5,80 = 2.5 ,求 AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作于E,. DE = CD =15/ ZBED = 90, BE = ylBD2-DE2 = 2.RtMCDRtMED:.AC = AE在 R/zM8C 中，NC = 90。AB2 = AC2+ BC2, (AE+EB)2 = AC2+42 :.AC=3例4.如图RAABC, NC = 90。AC = 3,8C = 4,分别以各边为直径作

9、半圆，求阴影部分面积AB答案：6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8 57,另一棵高2 cm，两树相距8 cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mA AA A分析：根据题意建立数学模型，如图44=8小，。/) = 2?，8。= 8,过点。作/汨_14,垂足为E,则AE = 6 m , DE = 8 tn在用AAD石中，由勾股定理得Ad7aE? + DE2 =1()答案：10？题型四:应用勾股定理逆定理,鉴定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,8,。,鉴定A4BC是否为R也_52 a = 1.5, b = 2, c=2.5 a =,

10、力=1, c = 43解：-/fl2+=1.52 + 22 = 6.25, d= 2.52 =6.25. A4BC是直角三角形且NC = 90。.后+C?=史,/ =方+/.mbC不是直角三角形 916例7.三边长为。满足 +。= 10,他= 18, c = 8的三角形是什么形状?解：此三角形是直角三角形理由：。2 + 匕2 = (a + b)2 - 2ab = 64，且 c2 = 64：.a2+b2=c2所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 8.已知 AWC 中，AI3 = 3cm,I3C=Ocm, 5C边上的中线 4)=12 c?,求证:AA = AC证明：4。为中线，3D = DC = 5 c？在 中,.4万+ B)2=169,A82=169 AD2 + BD2 = AB2 , /.ZADB=90, /. AC2 =AD + DC2=69,AC = 3 cm , .A13=AC