人教B版必修第一册1.2.1命题与量词学案2.docx

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1、1.2常用逻辑用语1. 2. 1命题与量词学习目标.通过创设情境,抽象出命题的概念,学会判断命题的真假,体会数学 抽象的核心素养.1 .理解全称量词与存在量词的意义,掌握用量词符号表示全称量词命 题和存在量词命题,并会判断全称量词命题和存在量词命题的真假.2 .认识两种命题在刻画现实问题和数学问题中的作用，培养逻辑推理 的核心素养和严谨的学习态度.L命题的定义与分类(1)命题的定义:在数学中,我们把可供真假判断的陈述语句叫做命 题.分类(真命题:判断为真的语句命题彳 一假命题:判断为的语句思考1:命题概念中涉及几个要点？答案:命题定义中涉及两个要点：“可以判断真假”和“陈述语句”.思考2: “

2、命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确 吗？答案:正确.根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能 够判断真假的才是命题.2.全称量词与全称量词命题3xez, x30.判断下列全称量词命题的真假.所有的素数都是奇数；VxR, |x|+l，l;对任意一个无理数X, X?也是无理数.判断下列存在量词命题的真假.有一个实数x,使x2+2x+3=0;平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；有些平行四边形是菱形.解：(1)因为TZ,且所以3xeZ,是真命题.真命题，如梯形.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命 题.因为0N, 02=0,所以命题VxEN, x20

3、是假命题.2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.VxR,总有|x|20,因而|x|+121,所以全称量词命题“VxWR, |x|+121”是真命题.立是无理数，但（&） 2=2是有理数.所以全称量词命题“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.由于:22-4乂3=-80”，求实 数a的取值范围.解:由Vx -去+8), 2x+2-a0为真命题,则a0为真命题,求实数a的取 值范围.解：由VxR, x2+2x+2-a0为真命题，得函数y=x?+2x+2-a=(x+l)2+l-a的图像在x轴上方,即l-a0,得al.所以实数a的取值范围为.语句“若 ab,则

4、 a-cb-2c”( C )A.不是命题B.是真命题C.是假命题D.不能判断真假解析:a-cb-2c,即ab-c,当c0B. VxeN, xlC. 3xez, x0用写成存在量 词命题为.解析:存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立可用符号简记 为 为xM,p(x)”，因此命题可改写为3x0.答案：也0, (1+x) (1-9x)20.若Vx W (-8, 2, xWa恒成立，则实数a的取值范围是.解析:xa恒成立是指a大于等于x的最大值,故a22,则实数a的取 值范围是+8).答案：2, +8)(1)一般地，“任意”“所有” “每一个”在陈述中表示所述事物的全 佳，称为全称量词,用符

5、号表示.(2)含有全称量词的命题,称为全称量词命题.因此全称量词命题就是 形如“对集合M中的所有元素x, r (x) ”的命题,可用符号简记为中 M, r(x).思考3:同一个全称量词命题的表述是否是唯一的？答案:不唯一.对于同一个全称量词命题，由于自然语言不同，可以有 不同的表述方法，只要含义正确即可.3.存在量词与存在量词命题一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的 个体或部分,称为存在量词,用符号“3”表示.(2)含有存在量词的命题,称为存在量词命题.因此,存在量词命题就 是形如“存在集合M中的元素x, s (x)的命题，可用符号简记为3x M, s (x) ” .思考

6、4:全称量词命题与存在量词命题有什么区别？答案：(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具 有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强 调“个别、部分”.思考5: (1) “一元二次方程ax2+2x+l=0有实数解”是存在量词命题还 是全称量词命题?请改写成相应命题的形式.(1) “不等式(m+1) x2-(m-l)x+3 (m-1) 0对任意实数x恒成立”是存在 量词命题还是全称量词命题?请改写成相应命题的形式.答案：(1)是存在量词命题.可改写为“mxR,ax2+2x+l=0” .是全称量词命题.可改写成VxGR,

7、 (m+l)x2-(m-l)x+3(m-l)0v .(1)命题的结构命题的一般形式为“若P,则q.其中p叫做命题的条件,q叫做命 题的结论.确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若P,则q”的形式.(2)理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”；存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性 质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.(3)常见的全称量词命题及存在量词命题及其表述趁探究点一命题及其真假判断命题全称量词命题Vx

8、eM, p(x)存在量词命题3xM, p(x)表所有的x M,使p (x)成立存在xM,使p(x)成立至少有一个X2M,使p(x)成述方对一切xWM,使p(x)成立立对母个xEM,使p(x)成乂某些xWM,使p(x)成立法对任意一个xM,使p(x)成存在某一个xM,使p(x)成立若xeM,则p(x)成立有一个xM,使p(x)成立例1判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假.(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；平行四边形的对角线相等且互相平分；末位是0的整数能被5整除；(5)求证遍是无理数.解：(1)疑问句不是命题.(2)是命题,假命题.0既不是正数也不是负数.是命

9、题,假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等.是命题,真命题.祈使句，不是命题.判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件：“是陈述句” 和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可,而要判断一 个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证.在判断时,要有推理 依据,有时应综合各种情况作出正确的判断.针对训练:判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假.(1)各位数字之和是3的倍数的整数,能被3整除；一个数不是奇数就是偶数；(3)2022年6月1日山东某地会下雨；(4)菱形的对角线互相垂直；(5) “向抗洪英雄学习！”解：(1)

10、是命题,真命题.(2)是命题,假命题.不是命题.(4)是命题，真命题.是感叹句，不是命题.备用例1 (1)下列命题中是真命题的是()A.若工=三，贝ij x=y x yB.若 x2=l,则 X=1C.若x=y,贝I)近二后D.若 xy,则 x2y2判断下列语句是否为命题,若是,判断其真假. x-3x+2=0;己知x, y为正整数，当y=x+l时，y=3, x=2;“大角所对的边大于小角所对的边”；“x+y为有理数，则x, y也都是有理数”； “ABCs. B C.解析:A正确.若x2=l,则x= 1, B错误.若x=y0,则后无意义,C错误.若xyy2, D错误.故选A.解:不能判断真假,不是

11、命题；是命题，假命题；是命题,是假命题.没有说明在同一个三角形中；是命题，是假命题.如x=V3, y=_V3;不能判断真假，不是命题.至探究点二全称量词命题与存在量词命题的判定例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.凸多边形的外角和等于360 ;(2)有些实数 a,b 能使|a-b| = |a| + |b|;不相交的两条直线是平行直线；锐角三角形的内角是锐角或钝角；负数的平方是正数；(6)若 x0,则 x+22.解：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360。”，是全称 量词命题.含有存在量词“有些”，故是存在量词命题.可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”，因此是全称量

12、 词命题.省略了全称量词“所有”，因此是全称量词命题.省略了全称量词“所有”，是全称量词命题.省略了全称量词“所有”，可以改写为“对所有实数X,若x0,则 有x+22”，是全称量词命题.判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，关键看命题 中是否含有全称量词或存在量词.要注意有些全称量词命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及 的意义去添补量词再判断.同一个全称量词命题或存在量词命题的表 述方法可能不同.针对训练:判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.有一个实数a不能有平方根；所有不等式的解集A,都满足ACR ；(3)对任意实数a, b,若ab,则乂士a b(4)有些三角形不是直角三角

13、形；自然数的平方是正数.解：(1)含有存在量词“有一个，所以命题为存在量词命题.含有全称量词“所有”，所以(2)为全称量词命题.含有全称量词“任意”，所以是全称量词命题.(4)含有存在量词“有些”，所以是存在量词命题.(5)因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方 都是正数”，所以为全称量词命题.备用例2用量词符号“V” “于表述下列命题.(1)所有实数x都能使x2+x+l0成立；对所有实数a, b,方程ax+b=O恰有一个解；(3) 一定有整数x, y,使得3x-2y=10成立;所有的有理数x都能使白2+$+1是有理数.解：VxR, x2+x+l0.(2) Va, bGR,

14、ax+b=O 恰有一解.(3) 3x, y Z, 3x-2y=10.(4)VxeQ, 1x2+|x+l 是有理数.探究点三全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3用符号“V”与于表示下面含有量词的命题并判断其真假.(1)自然数的平方大于零；以平面直角坐标系的原点为圆心,半径为r的圆上任一点到圆心的距离是r;存在一对整数x, y,使2x+4y=3;存在一个无理数,它的立方是有理数.解： VxWN, x20.因为0也是自然数,0的平方是0,所以全称量词命题“自然数的平方 大于零”是假命题.设P是以平面直角坐标系的原点0为圆心,半径为r的圆上任一点, 则V点P,有|OP|二r,是真命题.(3)3x,

15、 yZ, 2x+4y=3.由2x+4y=3,得x+2y=1,若x, yZ,则x+2y也是整数，不可能等于/所 以存在量词命题“存在一对整数x,y,使2x+4y=3”是假命题.(4)Sxe 无理数 ,x?EQ.北是无理数，(那尸二3是有理数，所以存在量词命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”是真命题. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：对于全称量词命题“VxM,p(x) ”，要判断它为真,需要对集合M 中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假，只需在M中找到一个 X,使p(x)不成立.对于存在量词命题“mxM,p(x)”，要判断它为真，只需在M中找 到一个x,使p(x)成立;要判断它为假,需要判断“VxeM, p(x)不成 立”.针对训练:用符号“V” “于，表示下列命题，并判断其真假.(1)实数都能写成小数形式；对任意实数x,都有x2+20;有些三角形的重心在某一边上.解：VxR,x能写成小数形式.因为无理数不能写成小数形式,所以该命题是假命题.(2)VxGR, x2+20.由于VxWR,都有x?2。，因而有 x2+220,即 x2+20,所以该命题是真命题.(3)3xe x|x是三角形, x的重心在某一边上.由于所有三角形的重心都在三角形的内部,所以该命题是假命题.备用例3 (1)判断下列命题的真假.