高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练49.doc

《高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练49.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练49.doc（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练分层限时跟踪练 4949(限时 40 分钟)1在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A、B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点【解】 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设 l：xty1，代入抛物线 y24x，消去 x 得 y24ty40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2

2、y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设 l：xtyb，代入抛物线 y24x，消去 x 得y24ty4b0.设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令 b24b4，b24b40，b2，直线 l 过定点(2,0)若4，则直线 l 必过一定点(2,0)2 / 92(2015陕西高考)如图 886，椭圆 E：1(ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为.图 886(1)求椭圆 E 的方程(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的

3、直线与椭圆 E 交于不同的两点P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.【解】 (1)由题设知，b1，结合 a2b2c2，解得 a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则 x1x2，x1x2.从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.3给出双曲线 x21.(1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)过点 B(1,1)能否

4、作直线 m，使得 m 与双曲线交于两点Q1，Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点？这样的直线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由【解】 (1)设弦的两端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直线斜率 k4.3 / 9故求得直线方程为 4xy70.(2)假设满足题设条件的直线 m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为 y2x1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线 m 是不存在的4已知椭圆 C：1(ab0)的焦距为 4，且过点 P(，)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 Q

5、(x0，y0)(x0y00)为椭圆 C 上一点过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E.取点 A(0,2)，连结 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线 QG.问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由【解】 (1)因为焦距为 4，所以 a2b24.又因为椭圆 C 过点P(，)，所以1，故 a28，b24，从而椭圆 C 的方程为1.(2)由题意知，E 点坐标为(x0,0)，设 D(xD,0)，则(x0，2)，(xD，2)，再由 ADAE 知，0，即 x0xD80.由于 x0y00，故 xD.因为点 G 是点

6、D 关于 y 轴的对称点，所以点 G.故直线 QG 的斜率 kQG.又因 Q(x0，y0)在椭圆 C 上，所以 x2y8.从而 kQG.故直线 QG 的方程为 y.将代入椭圆 C 的方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0.4 / 9解得 xx0，yy0，即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点1已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形(1)求 C 的方程；(2)若直线 l

7、1l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标【解】 (1)由题意知 F.设 D(t,0)(t0)，则 FD 的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知 3，解得 t3p 或 t3(舍去)由3，解得 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明：由(1)知 F(1,0)，设 A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由 xD0 得 xDx02，故 D(x02,0)故直线 AB 的斜率 kAB.因为直线 l1 和直线 AB 平行，设直线 l1 的方程为 yxb，代入抛物线方程得 y2y0，5

8、 / 9由题意 0，得 b.设 E(xE，yE)，则 yE，xE.当 y4 时，kAE，可得直线 AE 的方程为 yy0(xx0)，由 y4x0，整理可得 y(x1)，直线 AE 恒过点 F(1,0)当y4 时，直线 AE 的方程为 x1，过点 F(1,0)，所以直线 AE 过定点 F(1,0)2已知双曲线 C：1(a0，b0)的焦距为 3，其中一条渐近线的方程为 xy0.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A、B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，2，求|2|2 的取值范围；(3)若点 P 满足|PA|

9、PB|，求证：为定值【解】 (1)由双曲线1 的焦距为 3，得c，a2b2.由题意知，由解得 a23，b2，椭圆 E 的方程为y21.(2)由(1)知 P(，0)设 G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得Error!G.设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，|2|22y2y2 12x2y2x3xx.6 / 9又x1，x0,3，x，|2|2 的取值范围是.(3)证明：由|PA|PB|，知 P 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性可知 A、B 关于原点对称若 A、B 在椭圆的短轴顶点处，则点 P 在椭圆的长轴顶点处，此时22.若 A、B 在椭圆的长轴顶点处，则

10、点 P 在椭圆的短轴顶点处，此时22.当点 A、B、P 不在椭圆顶点处时，设直线 l 的方程为ykx(k0)，则直线 OP 的方程为 yx，设 A(x2，y2)，B(x2，y2)由解得 x，y.所以|OA|2|OB|2xy，用代换 k，得|OP|2.2.综上，为定值 2.3已知椭圆 C1，抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上，C1 的中心和C2 的顶点均为原点 O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：x0124y2211621(1)求 C1，C2 的标准方程；(2)设斜率不为 0 的动直线 l 与 C1 有且只有一个公共点 P，且与 C2 的准线相交于点 Q，试探究：在坐标平面内是否存在定

11、点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存7 / 9在，请说明理由【解】 (1)设 C1，C2 的标准方程分别为1(ab0)，x2py，y2 a2(0，2)不符合 x2py，该点必为椭圆上的点，代入得 a2.即椭圆方程为1，若(4,1)在椭圆上，则有1，b2a2(不合题意)即(4,1)在抛物线上，p16，抛物线方程为 x216y，验证得在抛物线上，(，2)不在抛物线上，(，2)在椭圆上，b24.故 C1，C2 的标准方程分别为1，x216y.(2)存在设直线 l 的方程为 xmyn，将其代入1，消去 x 并化简整理得(12m2)y24mny2n280，l 与

12、 C1 相切，16m2n24(12m2)(2n28)0，n24(12m2)，设切点 P(x0，y0)，则 y0，x0my0n.又直线 l 与 C2 的准线 y4 的交点 Q(n4m，4)，以 PQ 为直径的圆的方程为(xn4m)(y4)0，(x4 n)8 / 9化简并整理得x2x(4mn)x(y2)(y2)20，当 x0，y2 时，等式恒成立，即存在定点 M(0，2)符合题意4(2015湖北高考)一种画椭圆的工具如图 887(1)所示O是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DNON1，MN3.

13、当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图887(2)所示的平面直角坐标系图 887(1)求椭圆 C 的方程；(2)设动直线 l 与两定直线 l1：x2y0 和 l2：x2y0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由【解】 (1)因为|OM|MN|NO|314，当 M，N 在 x 轴上时，等号成立；同理，|OM|MN|NO|312，当 D，O 重合，即 MNx 轴时，等号成立，所以椭

14、圆 C 的中心为原点 O，长半轴长为 4，短半轴长为 2，其方程为1.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4 或 x4，都有 SOPQ448.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：ykxm，由消去 y，可得(14k2)x28kmx4m2160.9 / 9因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 64k2m24(4m216)0，即 m216k24.又由可得 P；同理可得 Q.由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.将代入，得 SOPQ8.当 k2时，SOPQ888；当 0k2时，SOPQ88.因为 0k2，则 014k21，2，所以 SOPQ88，当且仅当 k0 时取等号所以当 k0 时，SOPQ 取最小值为 8.综合可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值 8.