基本不等式技巧窍门.docx

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1、4.若R,则（立方巴以 22注（1）当两个正数的积为定植时， 可以求它们的积的最小值， （2）求最值的条件“一正，二定,（当且仅当a = b时取“=”）熟悉一个重要的不等式链:（3）基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】.（1）若则a2+b222ab （2）若d匕月，则竺土巴（当且仅当a = b -2时取“二”）. （1）若a,b g R ,贝/ab （2）若a,bc R,则 a + b之 2、/0b （当且仅当 a = b 2时取“二”）若a,bwk，则abJa+b* （当且仅当a = b时取“=”）E33 +/)3 + C3(4) a3+b3+G33abcoabc3abc abc

2、 J (a、b. cw R+) “二”号成立.可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时, 正所谓“积定和最小，和定积最大”.三取等”当x= 1时“二”号成立，故此函数最小值是5o评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有 一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。练习：1711、y = 2sinx+,xg，兀)sinx22.若实数满足。+匕=2,则3 +3的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3心3定值，因此考虑利用均值定理求 最小值，解：3。和3 都是正数，3a + 3b e 2、3a. 3b = 2yj3gb = 6当34 = 3a时等号成

3、立，由。+ Z? = 2及3“ = 3得。=b = 1即当。= =1时，3 + 3的最小值是6.3若log戈+log y = 2,求2 + L的最小值.并求x,y的值44x y求下列函数的最大值：3)，= 12(3 2x)(0 x_) 2求下列函数的最大值：3)，= 12(3 2x)(0 x_) 271 y = sin2 xcosx(0 x _) 2/. y = x2 (3 - 2x)(0 x ) = x - x (3 - 2x)解析:Q 0cx 0 , 22x + x + (3 2x)-3 = 1,当且仅当x = 3-2工即x = l时，心”号成立，故此函数最 3大值是1oQ0x0,cosx

4、，则)，欲求y的最大值， 可先求y2的最大值。)，2 = sin4 x -C0S2 x = siru x-sire x-cos x = _ (sin x-sire x- 2cos a)21 sin2jt+sin2x+2cosx4it_ ()3 =一,当 且仅当 sin2x=2cos2x(0x tanx =显, 即23272x=awtan应时，不等式中的“二”号成立，故此函数最大值是 空。9.已知 a0, b0, ab(a+b) = l,求 a+b 的最小值。4 .若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。【技巧讲解】技巧一：凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于 构造

5、条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造)1：已知求函数y = 4x-2+_的最大值。44x- 52.当o CX 4时，求)，=工(8-2刈的最大值。3：设0cx 1)的最小值。5已知1力,且满足3x + 2y = 12,求坨工+坨丁的最大值.,已知x, y为正实数，且xz+9 =1,求Wl+.的最大值.7 若| a(a + b + c)+bc = 4-2&* 求 2a + b + c 的最小值技巧一答案：1解：因4人一50,所以首先要“调整”符号，H4x-2)g_不是常数，所以对41一24x-5要进行拆、5凑项，/Qx0 y = 4x-2+=- 5-4.r+ 】 + 30,

6、利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值， 此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到21+(8 - 2* =8为定值，故只需将丁 =工(8- 2x)凑上一个系数即可。 -式8-2x)(8-2x) 2#产2 s8当2x= 8-2X，即=2时取等号 当x=2时，y = M8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。c33、解：0x 0 ?. y = 4x(3-2.r) = 2- 2.t(3-2x) 1) =(X-1)+ 1(X1)=_+_+ 1(X1)2(1)22(.r-l)2222(1)2必卜一1+1.14产+

7、1-5,当且仅当.”L1(xl)即x = 2时V 22 2(x-1)22222(x-l)25号成立，故此函数最小值是一。2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其 积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。5、分析igx+igy=ig(xy),个是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式工+丁是否3x-2y定值，而已知是与2)的和为定值12 ,故应先配系数，即将犯变形为 6 ，再用均值不等式.解：x 0, 0111 .、1 3x馆x +馆)=坨(盯)=U ,6= lg6当且仅当3、= 2y,即x = 2,y = 3时，等号成立.所以坨“+坨

8、)的最大值是坨6.a 2+b 26分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abW 2 0,知2a+ 2 + c= (a + 切 + (a + c) R(a + )( + c) = 2ya2 + ab + ac + bc =2/4-2/=2*-2,当且仅当6 =。, 即b = c = JJ-l-J,等号成立. 故2+b+必最小值为2掷-2.技巧二：分离或裂项X2 4-7x+10i.求丁=a-i)的值域。X+12函数广(1+幻的值域.Ml+2/)1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+l)的项，再将其 分离。x2 t-7x + 10 (x + 1)2 +5(x +

9、l)+4 ，八 44当;0-1,即X+1。时，y2.(x+l)x + 5 = 9 (当且仅当尸1时取“=”号)。V x+12、解：可将上式转化为V- (x+1)(x+l)-l|l+2(x+l-l)l(x+1)12 (x+l)2-3(x + l)+l+2 (1+而当x-l时，x+l0(A+1)1 +2 (1+x) 2J2,此时yW 1(x+1)272-3当- (x+l)01 +2 (l+x)=- ( 1 +2 (-1-x) ) T,即尸x + 1。时，丁之当x T,即尸x + 1。时，丁之+ 5 = 9 (当尸2即4=1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母

10、换元后将式子分开再利 A用不等式求最值。即化为 , =吆(x)+b(ao,bo),晨外恒正或恒负的形式，g(然后运用基本不等式来求最值。2分析可先令向进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来 解决.解：令 Jx+2 =0, x = /2- 2,则=(r0)2/24-1当 1 = 0时，y = 0；当，0时，v= 1=#当且仅当2仁,即”迎时，取等号.t 2所以x =-三时，取最大值为走.23、解法三：(三角换元法)8 = sin 2 x令度则有I 1I _ = COS 2 X8X =in z 旨11百2x+2 v =+simx cos2.rcos 2.r=8csc2 x+ 2sec2 x

11、=8(1 +cot2 x)+2( 1 +tari2 x)=10+8cot22ta m x10+/(8cot2x)-(2tan2)18,易求得x=12,此时了=3时“二”号成立，故最小值是18。814_ + _=11、已知正数X、y满足x y求x+2y的最小值。技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）12、己知a, b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y= %的最小值.产3、设My*为正实数，x-2），+ 3z = 0,贝拉z的最小值是.1解法：（消元法）由 _ +_ = 1 得 y =，由 y0 = - 0 又x 0 = x 8 则 x+2yx yx-8x-8=：二1+2上

12、空叵1+2+2=（-8）+2+1。七卜8三+10=18。当且x-8x-8x-8x-8 Va-8仅当x-8=2即工=12,此时），= 3时“二”号成立，故此函数最小值是18ox-830-2b3Q-2b-2b2 + 30b法 一： G=W，0b=7+r - t Th -由 a0 得，0Vb15 -2t2 + 34t-311616 It=b+l,lt16,ab= =-2（t+y ） + 34Vt+y 22y=8 1:.0,），二与工，可得）2 工2 + 9z2 + 6xz6xz 4- 6xz - 3xz 4xz4xz当且仅当;i = 3z,即x = y,z = 时，取 =” 3故匕的最小值为3. x

13、z技巧五：整体代换（条件不等式）1 9i：已知xO,y。，且_+_=1,求x + y的最小值。2、已知正数x、y满足2 + 1=1,求x +2），的最小值。 x y1蝴：Q x0,y0，且 1 :9 = 1 一: x+y = 1+9（x + y）之2 2 厂=12 故； 717 7J 6而（x + y） =12 min错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y22而等号成立条件是x = y ,在一19cL等号成立条件是1=一即y = 9式,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，a- y V即工y在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有 误的一种方法。正解

14、：Qx0,y0,；+ ； = 1，.x4-y = G+y）1v+j= +10 6+10 = 169t1 9当且仅当上=_时，上式等号成立,又_+_ = 1,可得x = 4,），= 12时，G +），）=16。X yX ymin变式：（1）若x，y e R+且2x + y= 1,求的最小值X （2）已知w R+且巴+2=1,求+y的最小值X ）2、解法：（利用均值不等式）o 8 1 =x+2y =（fl + 1）（x+2y） = 10+x + 16y 10+2 lx Wj =18,当且仅当 +y% yy x V xx 16），=Iy X即x = 12,），= 3时“二”号成立，故此函数最小值是1

15、8。技巧六：转化为不等式1.已知a, b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.ab2、已知正数X、）满足孙=龙+尸3,试求孙、x+y的范围。1 解：由已知得：30ab=a+2bO,yO,贝!|町=%+)，+3=芝)，-3 二4+)，2217，BP (yfxy)2 -2Jxy+30 解得-K舍)或/23 ,当且仅当x = y且x)，= x+y+3即x=y=3时取=”号， 故xy的取值范围是9, 4-co) oX+ V又 x+y+3=xy(x+y)2-4(x+ y) -12 0 = x + y 6 ,2当且仅当x = y且r)，= x+y+3即x=)，=3时取“二”号，故x+y的取值

16、范围是6,+8)技巧六：取平方1、已知x, y为正实数，3x+2y=10,求函数W=/晟的最值.2:求函数),=J2x-1 + J5-2x(L x0, W2 = 3x+2y+2而匹=10 + 2后仿 W10+(/)2 (向)2 =10 + (3x+2y) =20 Wy20 =2yj5解析：注意到2x T与5-2x的和为定值。y 2 = (= 4+2 J(2x-1 )(5- 2x) W4 + (2x-1) + (5 - 2x) 8又y0,所以0y23当且仅当2%-1 = 5 - 2，即工=一时取等号。故y =2戊。2max评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

17、总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些变 形技巧，积极创造条件利用基本不等式。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数/a)=x+的单 调性。X2 + 51:求函数)，=-=的值域。y/x2+442、若 x、vw R+,求 f(x) = x+ (0xV)的最小值。X1 解：令 Jx2 + 4 二g 2),则巨=677+-=/ + 1(/32)4+4，n+4 t因，0/1=1 ,但解得，=1不在区间12,+8),故等号不成立，考虑单调性。 tt因为y = /+2在区间11,+8)单调递增，所以在其子区间12,+8)为单调递增函数，故)

18、，之士。/25、所以，所求函数的值域为 ，+8 :lL2 J2解法一：(单调性法)由函数/(X)=以+2(公0)图象及性质知，当X(O,邛寸，X4 函数/*) = x+是减函数。x证明： 44任取 X ,X G (0,1且0 x x 1 ,则 f(x ) -f(x ) = ( x - X ) + (_-_)12121212 X Xx -xxx -412=(x -x ) +4-_2L= (x -x ) - 1 2,12 X礼 1 2x谆x x 4*.* 0 x x 1 , x -x 0,-i-20= f(x)f(x ),即/) = x+一在(0,1上是减函数。1 212X4_故当直=1时,/*) = x+一在。1上有最小值5。 x解法二：(配方法)因0三1,贝府f*)=x+t = (_一向2+4,易知当00且单调递减，则)=(-/)2+4在。1上也是减函数，即4x4xA4在(o,1上是减函数，当X=1时，/(x)=x丁在(0,1上有最小值5。XX解法三：(导数法)由/(X)=X+2得/=1-t，当(0,1时，XX244/(工)=1-0，则函数fM=x+ _在(0,1上是减函数。故当%=1时，X2X4f(X) = X +:在1上有最小值5o X解法四：(拆分法)/(A)= x+i(0x2 CT+S5 ,当且仅 xxx V x 1