高考数学一轮复习课时分层训练47利用空间向量求空间角理北师大版.doc

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1、1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练精选高考数学一轮复习课时分层训练 4747 利用利用空间向量求空间角理北师大版空间向量求空间角理北师大版A A 组组 基础达标基础达标一、选择题1在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 夹角的大小为( )A. B. 4C.D 2D D 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1 1，则，则A(0,0,0)A(0,0,0)，C(1,1,0)C(1,1,0)，B1(1,0,1)B1(1,0,1)，D(0,1,0)D(0,1,0)(1,1,0)，(1,1，1)

2、，B1D1(1)110(1)0，AC 与 B1D 的夹角为.2. (2017西安调研)如图 7720，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )图 7720BA.55DC.2 55A A 不妨设不妨设 CBCB1 1，则，则 B(0,0,1)B(0,0,1)，A(2,0,0)A(2,0,0)，C1C1(0,2,0)(0,2,0)，2 / 9B1(0,2,1)B1(0,2,1)，(0,2(0,2，1)1)，( (2,2,1)2,2,1)cos， .3(2017郑州调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB1 与

3、平面 ACD1夹角的正弦值为( ) 【导学号：79140255】A.B33C.D2 5B B 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1 1，以，以 D D 为坐标原点，为坐标原点，DADA，DCDC，DD1DD1 所在所在直线分别为直线分别为 x x 轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴，建立空间直角坐标系，如图所轴，建立空间直角坐标系，如图所示则示则 B(1,1,0)B(1,1,0)，B1(1,1,1)B1(1,1,1)，A(1,0,0)A(1,0,0)，C(0,1,0)C(0,1,0)，D1(0,0,1)D1(0,0,1)，所以 1(0,0,1)，(1,1,0)，1(1,0,1)令平面 ACD1

4、 的法向量为 n(x，y，z)，则nxy0，n1xz0，令 x1，可得 n(1,1,1)，所以 sin |cosn，1|.4已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面 ACC1A1 夹角的正弦值等于( )A.B104C.D32A A 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，所以(，1,2)，由题知(，0,0)为侧面 ACC1A1 的法向量即 sin .故选 A.3 / 95在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD 所成

5、的锐二面角的余弦值为( ) A.B2 3C.D22B B 以以 A A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系为原点建立如图所示的空间直角坐标系 AxyzAxyz，设棱长，设棱长为为 1 1，则，则 A1(0,0,1)A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1，y，z)，有即Error!解得Error!n1(1,2,2)平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.二、填空题6在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，BCAA11，则 D1C1 与平面 A1BC1 夹角的正弦值为_1

6、 3以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 n(x，y，z)为平面 A1BC1 的法向量，则 n0，n0，即令 z2，则 y1，x2，于是 n(2,1,2)，(0,2,0)设所求线面角为 ，则 sin |cosn， |.4 / 97如图 7721 所示，二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_图 77216060 ，|(o(CA,sup7()o(AB,sup7()o(BD,sup7()23616642CABD2.|cos， 2

7、4.cos， .又所求二面角与， 互补，所求的二面角为 60.8在一直角坐标系中，已知 A(1,6)，B(3，8)，现沿 x 轴将坐标平面折成 60的二面角，则折叠后 A，B 两点间的距离为_. 【导学号：79140256】2 2 如图为折叠后的图形，其中作如图为折叠后的图形，其中作 ACCDACCD，BDCDBDCD，则 AC6，BD8，CD4，两异面直线 AC，BD 夹角为 60.故由，得|2|268，所以|2.三、解答题9(2018合肥一检)如图 7722，在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，AA1底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD120，5 / 9ABAA12A1B1

8、2.图 7722(1)若 M 为 CD 的中点，求证：AM平面 AA1B1B；(2)求直线 DD1 与平面 A1BD 夹角的正弦值解 (1)证明：四边形 ABCD 为菱形，BAD120，连接 AC，则ACD 为等边三角形，又M 为 CD 的中点，AMCD，由 CDAB 得 AMAB.AA1底面 ABCD，AM 底面 ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面 AA1B1B.(2)四边形 ABCD 为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，得 DM1，AM，AMDBAM90，又AA1底面 ABCD，以点 A 为原点，分别以 AB，AM，AA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图

9、所示的空间直角坐标系 Axyz，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1， ，0)，D1，1，(3， ，0)，(2,0，2)A1B设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则有Error!令 x1，则 n(1， ，1)直线 DD1 与平面 A1BD 夹角 的正弦值sin |cosn，1|.6 / 910(2017江苏高考)如图 7723，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，且 ABAD2，AA1，BAD120.图 7723(1)求异面直线 A1B 与 AC1 夹角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA 的正弦值解 在平面 ABCD 内，过点 A 作 AEAD

10、，交 BC 于点 E.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1AE，AA1AD.如图，以， ，为正交基底，建立空间直角坐标系 Axyz.因为 ABAD2，AA1，BAD120，则 A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，则 cos， A1BAC1|A1B|AC1|，因此异面直线 A1B 与 AC1 夹角的余弦值为.(2)平面 A1DA 的一个法向量为(，0,0)设 m(x，y，z)为平面 BA1D 的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即Error!不妨取 x3，则 y，z2，所以 m(3， ，2)

11、为平面 BA1D 的一个法向量从而 cos，m.设二面角 BA1DA 的大小为 ，则|cos |.7 / 9因为 0，所以 sin .因此二面角 BA1DA 的正弦值为.B B 组组 能力提升能力提升11(2017河南百校联盟联考)已知斜四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的各棱长均为 2，A1AD60，BAD90，平面 A1ADD1平面ABCD，则直线 BD1 与平面 ABCD 夹角的正切值为( ) 【导学号：79140257】A.B134C.D393C C 取取 ADAD 中点中点 O O，连接，连接 OA1OA1，易证，易证 A1OA1O平面平面 ABCD.ABCD.建立如图所建立如图所示

12、的空间直角坐标系，示的空间直角坐标系，得 B(2，1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)，平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，设 BD1 与平面 ABCD 的夹角为 ，sin ，tan .12已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上，且 B1E2EB，CF2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_延长 FE，CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示23设正方体的棱长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于点 H，连接EH，则EHB 为所求二面角的平面角BH，EB1，tanEHB.13(2017全国卷)如图 772

13、4，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面8 / 9ABCD，ABBCAD，BADABC90，E 是 PD 的中点图 7724(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为45，求二面角 MABD 的余弦值. 【导学号：79140258】解 (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD，EFAD.由BADABC90得 BCAD，又 BCAD，所以 EFBC，四边形 BCEF 是平行四边形，CEBF.又 BF 平面 PAB，CE 平面 PAB，故 CE平面 PAB.

14、(2)由已知得 BAAD，以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设 M(x，y，z)(0x1)，则 (x1，y，z)，(x，y1，z)BM因为 BM 与底面 ABCD 的夹角为 45，而 n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又 M 在棱 PC 上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或Error!9 / 9所以 M，从而.设 m(x0，y0，z0)是平面 ABM 的法向量，则Error!即Error!所以可取 m(0，2)于是 cosm，n.因此二面角 MABD 的余弦值为.