MATLAB在概率统计中的应用.docx

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1、MATLAB 在概率统计中的应用目录一 概率部分1. 随机变量概率分布的概率计算以及数字特征21.1 随机变量概率分布的概率计算21.2 随机变量概率分布的数字特征7二 统计部分2数理统计的基础概念103.参数估计 114.假设检验165.一元线性回归分析 271随机变量概率分布的概率计算以及数字特征1.1随机变量概率分布的概率计算在 MATLAB 中列举了多种常见的概率分布，给出了这些概率分布的分布密度函数、分 布函数、逆分布函数、随机数发生函数等等，在这一节中，主要研究的是常见概率分布的数 字特征（数学期望，方差，协方差以及相关系数）和一些概率的计算MATLAB 中列举的离散型随机变量包括

2、：离散均匀分布、二项分布、泊松分布、几何 分布、 超几何分布、负二项分布（Pascal 分布）：连续型随机变量包括：连续均匀分布、指数分布、正态分布、对数正态分布、2 分布、非中心 2 分布、分布、非中心分布、ttF分布、非中心F分布、分布、分布、Rayleigh 分布、Weibull 分布。下表是对这 20 种分布中的常见分布在 Matlab 中的应用的总结表一常见分布的密度函数在处的值x分布类型名称函数名称函数调用格式备注正态分布normpdfp=normpdf（X，MU，SIGMA）计 算 正 态 分 布( ,2 ) 的 密 度 函 数 在处N x的值，其中参数 SIGMA 是，MU 是

3、二项分布binopdfp=binopdf(x,n,p)均匀分布unifpdfp=unifpdf（x，a，b）计算均匀分布 U a, b 的密度函数在 x 处的值几何分布geopdfp=geopdf(a,p)超 几 何 分布hygepdfp= hygepdf(x,m,k,n)指数分布exppdfp=exppdf（x，）计算指数分布的密度函数在处的值x泊松分布poisspdfp =poisspdf(x, )分布ttpdfp= tpdf（x，n）计算 分布的密度函数在处的tx2 分布chi2pdfp= chi2pdf（x，n）计算2 分布的密度函数在处的值x分布Ffpdfp= fpdf（x，n1，n

4、2）计算分布的密度函数在处的值Fx表二运用 matlab 计算常见分布的分布函数分布类型名称函数名称函数调用格式以及意义备注正态分布normcdfp=normcdf（x，mu，sigma）计算服从正态分布的随 机变量落在 (, x 的概 率，其中 mu 是参数，sigma 是参数若( , 2 ) ,计算 可用XN P Xxp1=normcdf(x,mu,sigma)p=1-p1若( , 2 ) ,计算 Px X x 可用XN 12p1=normcdf(x1,mu,sigma)1 p2=normcdf(x2,mu,sigma)1 p=p2-p11或者 p=normspec(x1 x2 ,mu,s

5、igma)二项分布binocdfp=binocdf(x,n,p)计算服从二项分布的随 机变量落在 (, 的概x率若求 P( x) 则 p=1-binocdf(x,n,p)若求 P( x) 则 p=1-binocdf(x-1,n,p)均匀分布unifcdfY=unifcdf（x，a，b计算服从均匀分布的随 机变量落在 (, x 的概 率若 X U a, b ,计算 PX 可用xp1=unifcdf(x,a,b)p=1-p1若 X U a, b ,计算 Px 1 X x 2 可用p1=normcdf(x1,a,b) p2=normcdf(x2,a,b) p=p2-p1几何分布geocdfp=geo

6、cdf(a,p)计算服从几何分布的随 机变量落在 (, x 的概 率若求 P( x) 则 p=1- geocdf (k,p)若求 P( x) 则 p=1- geocdf (k-1,p)超 几 何 分 布hygecdfp= hygecdf(x,m,k,n)计算服从超几何分布的 随机变量落在 (, 的x概率若求( x) 则 p=1- hygecdf(x,m,k,n)若求 P( x) 则 p=1- hygecdf(x,m,k,n)指数分布expcdfY=expcdf（x，） 计算服从指数分布的随 机变量落在 (, 的概x率若 X 服从参数为的指数分布,计算 P Xx可用p1=unifcdf(x, )

7、p=1-p1若 X 服从参数为的指数分布,计算Px 1 X x 2 可用p1=normcdf(x1, ) p2=normcdf(x2, ) p=p2-p1泊松分布poisscdfp =poisscdf(x, )计算服从泊松分布的随 机变量落在 (, x 的概 率若求 P( ) 则 p=1- poisscdf(x,m,k,n)x若求( ) 则 p=1- poisscdf(x,m,k,n)P x分布ttcdfY= tcdf（x，n） 计 算服 从 t 分 布的 随机变量落在 (, x 的概率若 X 服从自由度为 n 的 t 分布,计算 PX x可用p1= chi2cdf (x, n)p=1-p1若

8、 X 服从自由度为 n 的 t 分布,计算Px 1 X P Xx可用p1= chi2cdf (x, n)p=1-p1若 X 服从自由度为 n 的2 分布,计算Px 1 X 可用xp1= fcdf (x, n)，p=1-p1若 X 服从自由度为（n1，n2）的 F 分布,计算 Px1Xx2可用p1=fcdf (x1, n) p2=normcdf(x2, n) p=p2-p1在 (x例 1：设X(3,1.52 )N（1）求X的密度函数在=2 是的值xx（2）求 1,PP1 x 2解：(1) p=normpdf(2,3,1.5)p =0.2130所以的密度函数在X=2 是的值是 0.2130x（2）

9、令 p1=x p1=normcdf(1,3,1.5)结果：p1 = 0.0912令 p2=x1 p=normcdf(1,3,1.5); q=normcdf(3,3,1.5); p2=q-p结果：p2 =0.4088方法二： p2=normspec(1,3,3,1.5) 结果：p2 = 0.40879Critical Value 即临界值 Density 即密度图中蓝色部分表示随机变量X(3,1.52 ) ，变量NX在1.5，3的概率为 0.48079由蓝色曲线与横轴围成的部分的概率为 1P令 p3= x 4 2 ，因此 p3=1 P x 4 2 =1 p3=1-normcdf(6,3,1.5)

10、+normcdf(2,3,1.5) 结果：p3 = 0.2752或者 p3=1-normspec(2,6,3,1.5) 结果：p3 =0.2752x2 6P例 2：生产某种产品的废品率为 0.1，抽取 20 件产品，初步检查已发现有 2 件废品，问这20 件中，废品不少于 3 件的概率。4解：设抽取 20 件产品中废品的个数为B，则(20,0.1) ，由于初步检查已发现有 2 件废品，说明已知 20 件产品中废品数 2 ，因此是求在给定 2 的条件概率于是 P 3 | 2 = P 3, 2 P 2 = P 3 P 2令 P= P 3 | 2 p=(1-binocdf(3,20,0.1)/(1-

11、binocdf(2,20,0.1)结果：p =0.4115例 3：某人进行射击试验，假定在 300 米处向目标射击的命中率为 0.02，现独立射击 500 次，问至少命中 3 发的概率是多少？4解：将每次射击视为一次试验 E，500 次射击相当于作 500 重 Bernouli 试验 E500.用表示E500 击 中 目 标 的 次 数 ， 依 题 意 ，服 从 参 数 为 n=500 ， p=0.02 的 二项 分 布b ( x , 500, 0 . 02 ) ，于是，所求概率为P ( 3) = 1 P ( 2 ) = 1 P (= 0 ) P (= 1) P (= 2 )由于 n 足够大，

12、p 足够小，所以可以用泊松分布近似，p = 0 . 02 , n= 500 , = np= 10在 matlab 中的实现程序为： p=1-poisspdf(0,10)-poisspdf(1,10)-poisspdf(2,10)结果：p =0.9972 所以 ( 3) 0.9972P 例 4：修理某机器所需时间(单位：小时)服从参数=0.5 指数分布，试求（1） 修理时间超过 2 小时的概率是多少？（2） 若已经持续修理了 9 小时，问还需要至少一小时才能修好的概率是多少？4解：（1）表示修理时间,服从参数=0.5 指数分布,实际是求p 程序如下： 2 = 1 P 2 p=1-expcdf(2

13、,0.5)结果： p=0.0183（3） 由指数分布的无记忆性可知P ( 1 + 9 | 9 ) =P ( 1 ) = 1 P ( 1 )程序如下：p=1-expcdf(1,0.5)结果：p =0.1353例 5：设随机变量服从0,5 上均匀分布，问方程 4 2 + 4Ux + + 2 = 0, 有两个不同的实数根的概率是多少？解： 4 2 + 4+ 2 = 0, 有两个不同的实数根，则xx = 16 2 16(+ 2) 0, 则x 2P(有两个不同的实数根)=p( 2 )=1+ p( p=1+unifcdf(-1,0,5)-unifcdf(2,0,5)结果：p =0.6000所以有两个不同实

14、数根的概率是 0.61.2随机变量概率分布的数字特征随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计特征，但在实际问题中，常常不容 易求出分布函数，而许多时候只是需要知道它的某些特征就足够了，例如期望，方差，协方 差以及分位数等，在 MATLAB6.5 的工具箱中提供了求 20 种分布的数字特征的函数，以下是 对本科中常见的 10 中分布进行归纳总结以及对 MATLAB 程序的纠正，对于求一般的概率分布 期望与方差则用其定义进行求解表一：常见 10 种分布的数学期望与方差分布类型名称函数名称函数调用格式备注正态分布normstatM,V=normstat(MU,SIGMA)（1）M 是期望，V 是

15、方差2 ，不是标准方差，指数分布的期望为-1,方差 -2,在 MATLAB 中的 expstate.m 的为程序中有错误：应将 m=mu, v = mu . 2 改为v = mu . -2;这里的 m 表示期望，v 表示方 差，mu 表示参数（2）如果变量， = 1,2,3,., 相互独iin立则 n= n， nnEiEiD i =D ii =1i=1i=1i=1nnE i = E ii =1i =1（3）如果只是单独求期望或者方差，下面举例说明：二项分布binostatM,V=binostat(n,p)均匀分布unifstatM,V=unifstat(a,b)几何分布geostatM,V=g

16、eostat(p)超 几 何 分布hygestathygestat(m，k，n)指数分布expstatM,V=expstat()泊松分布poisstatp =poisstat()分布tstatM,V=tstat(n)t2 分布chi2statM V=chi2stat(5)F 分布fstatp= fstat（n1,n2）求正态分布的均值： M=normstat(MU,SIGMA) 求正态分布的方差： V=normstat(MU,SIGMA) 对于其他分布调用格式类似例 3：计算服从均匀分布 U 2,4 的方差与期望在 MATLAB 中实现为： M,V=unifstat(2,4) 结果：M =3

17、，V =0.3333例 4：计算服从参数=0.5 的指数分布的方差与期望 M,V=expstat(0.5) 结果：M =2，V = 4例 5：设随机变量 ( , ) (1,1;4,9;) ，求( 2+ 1) NrE 解：由边缘分布可知 N (1,4) ， N (1,9)E( 2+ 1) = E 2E + 1M1=normstat(1,2);M2=normstat(1,3);E=M1-2*M2+1结果 E =0例 6：设随机变量 服从区间 1 , 1 上均匀分布，求=的数学期望2 2解：因为 服从区间 1 , 1 上均匀分布，所以服从区间 = , = 上均匀分布，所以2 22 2 M=unifs

18、tat(-pi/2,pi/2)结果 M =0 ，所以=的数学期望是 0表二：常见 10 种分布的 p 分位数分布类型名称函数名称函数调用格式正态分布norminvxp=normminv（p，mu，sigma）二项分布binoinvxp=binoinv(p,n,p1)均匀分布unifinvxp=normminv（a,b）几何分布geoinvxp=geoniv(k,p) k=0,1,2超 几 何 分布hygeinvxp=hygeinv(p,m,k,n)指数分布expinvxp=expinv（）泊松分布poissinvxp= poissinv（）分布ttinvxp =tinv(n)2 分布chi2i

19、nvxp=chi2inv（n）F 分布fstatxp = finv（n1,n2）例 7：某工厂生产的产品中废品率为 0.005，任意取出 1000 件，计算（1） 其中至少 2 件废品的概率：（2） 其中不超过 5 件废品的概率（3） 能以 0.9 以上的概率保证废品件数不超过多少？解：用 x 表示取出的 1000 件中的废品数，则 X 近似服从二项分布 B(1000,0.005)(1) 所求概率为x 2 = 1 Px p1=1-binocdf(1,1000,0.005) 结果 p1 =0.9599所以其中至少 2 件废品的概率是 0.9559(2) 所求概率为Px 5 p2=binocdf(

20、5,1000,0.005) 结果 p2 =0.6160(3)由题意，求 n，使 PX=0.9,我们只求 n 满足 PX n=binoinv(0.9,1000,0.005) 结果 n =8所以能以 0.9 以上的概率保证废品数不超过 8 件2数理统计的基础概念2.1总体与样本在统计学中把研究的对象全体称为全体，确切地说，应该是这些对象的某个或某些指标值全体称为总体，为了了解总体的分布，从总体中抽取n个个体，记其指标值为x 1 , x 2 ,.,，称x nx1 , x 2 ,.,为总体的一个样本， 为样本的大小或容量x nn利用 MATLAB 数理统计工具箱中的函数可以直接计算样本的均值，方差以及

21、其他数字特征表一：MATLAB 中计算样本的数字特征的函数数字特征调用函数备注样本平均值M=mean(X)若为向量，返回中各元素的平均值XX若为矩阵，返回中各列元素的平均值构成的向XX量中位数N=median(X)若为向量，返回中各元素的平均值XX若为矩阵，返回中各列元素的平均值构成的向XX量样本方差D=var(X)1n 2var(X = 1 ( x X ) ini =1若为向量，则返回向量的样本方差。X若 X 为矩阵，则 D 为 X 的列向量的样本方差构成的 行向量样本标准方差D= std(X)返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为 1 ）n 1即： std =1n x Xn 1 ii

22、 =1协方差C=cov( )X返回向量 X 的协方差相关系数P=corrcoef( ,Y)X返回列向量 X,Y 的相关系数，等同于 corrcoef(XY)众数hist(x,k)hist(x,n )b ,x= hist(x,k)nn,x= hist(x,n )b众数通常是从频数直方图上近似看出来，因此求众数 调用的是画直方图的函数，其中是由数据组成的向x量，参数表示将区间 等分，默认值为 10，参数kk为事先给出的小区间的区间图，命令 1 和 2 能画直nb方图，命令 3 和 4 不画出直方图，其输出参数 n 为落入每个小区间的频数， 为区间的中点x例子 8：统计某班 30 人某门课程某次考试

23、成绩的分布情况，考试成绩为93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 95 94 89 91 88 86 83 96 81 7997 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 83 82 80 78 74 7376 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 84 79 78 77 63 53 55求平均成绩与成绩的中位数以及方差和标准差和众数5解： x=93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 .97 78 75 67 69 68 84 83 81

24、 75 66 85 70 94 83 82 80 78 74 73 .76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 84 79 78 77 63 53 55; M=mean(x)N=median(x)D1=var(x) D2=std(x) hist(x,4)结果：M =79.9138N =80.5000D1 =94.0100D2 =9.6959所以平均成绩是 79.9138，成绩中位数是 80.5000，方差是 94.0100，标准差是 9.6959从直方图中可以近似看出众数为 803参数估计3.1 矩估计设总体X具有分布函数( ;F x) ， 为 p 维待估参数， X 的

25、 k 阶中心矩为mk = E( X E ( X )k ，样本X 1 , X的2 ,., X n阶中心矩为kAk= 1 n (X i ) k ，样本的 k 阶中心矩X的计算可用函数，其调用格式是momentB=moment(X,k)n i =1p计算当= 1 时，由 E( X ) = X 求出 的矩估计，其中样本均值 X 可用函数 mean(X)当 1时，令pX() = E( ) =mk XAk ,k = 2,3,. p解此方程组，即可得到的矩估计 1 ,( ;0 x 例 9：设变量X服从区间 0, 上的均匀分布，即分布函数为 px ) = 0,其他现得样本值为 1.3，0.6，1.7，2.2，

26、0.3，1.1，试用矩估计法求参数的估计1解： X = E( X ) = x dx0 Syms x; Syms sita;1y=int(x./sita,0,sita)（求 x d的值，其中记为 sita）011结果：y =1/2*sita,所以 x d = 02 X=1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1;mean(X)结果：ans =1.2000所以=1.2, 所以1 = 1.2 ，所以 = 2.4X2 例 10：已知某种灯泡的寿命(单位：h)服从正态分布，在某周所生产的该种灯泡中随机抽取10 只，测得其寿命为 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，

27、920，948.设总体参数为都未知，试用矩估计求出参数, 的估计值解： E ( X ) = X2E ( X E ( X )= DX ,k = 2,3,. p=X2= DX ,k = 2,3,. p X=1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948;mean(X)%求样本均值var(X)%求样本方差结果：ans =997.1000ans =1.7305e+004 sqrt(1.7305e+004)%求样本均方差 结果ans =131.5485所以 =997.1000， =131.54853.2 极大似然估计与区间估计在 MATLAB 中，这两种估计可同时

28、给出,对于二项分布，泊松分布，正态分布，分布，分 布，均匀分布，指数分布，威布尔分布在 MATLAB 中可将这些分布的分布命令字符和函数命 令字符 fit 连接起来(除均匀分布连接后为 unifit)，得到这些分布中参数的极大似然估计值以及置信水平为 1 的置信区间.表一：MATLAB 中求极大似然估计与区间估计的函数调用格式分布 名称函数及其调用格式函数功能以及参数的解释二项分布phat, pci = binofit(x,n,alpha)参数 p 的 MLE 以及置信区间输出参数 phat 和 pci 分别表示 p 的 MLE， 以及置信区间泊松分布lambdahat, lambdaci =

29、 poissfit(x,alpha)参数的 MLE 以及置信区间，输出参数 lambdahat 和 lambdaci 分别表示 lambda（即）的 MLE，以及置信区间正态分布未知muhat,sigmahat,muci,sigmaci= normfit(x,alpha)（1）参数 的 MLE 以及置信区间，,输出参数 muhat 和 muci 分别表示的MLE 以及置信区间，sigmahat 和 sigmaci分别表示 MLE 以及置信区间（2）在使用中发现 MATLAB6.5 的normfit.m 程序中求的极大似然估计 公式用错了，它的原句是 singmahat=std(x)更正方法为在

30、此 M 文件的最后一定要加 上语句：singmahat =sqrt(moment(x,2)2已知muci=normfit1(x,sigma,alpha)均匀分布ahat,bhat,aci,bci = unifit(x,alpha)参数 a 和 b 的 MLE 以及置信区间，输 出参数 ahat 和 aci 分别表示 a 的 MLE 以及置信区间，bhat 和 bci 分别表示 b 的 MLE 以及置信区间指数分布muhat, muci = expfit(x,alpha)参数的 MLE 以及置信区间输出参数 muhat 和 muci 分别表示 mu即的 MLE 以及置信区间分布phat, pci

31、 = gamfit(x, alpha, options)参数 a 和 b 的 MLE 以及置信区间，输出参数 phat 和 pci 分别表示 p 的 MLE， 以及置信区间威布尔分 布phat, pci = weibfit(data,alpha)参数 a 和 b 的 MLE 以及置信区间，输 出参数 phat 和 pci 分别表示 p 的 MLE， 以及置信区间注：normfit1 的程序编写function muci = normfit1(x,sigma,alpha)if nargin x=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672;muhat, sigmahat

32、, muci, sigmaci = normfit(x) 结果：muhat =6.6782，sigmahat = 0.0035，muci = 6.6741 6.6822，sigmaci = 0.00240.0095所以的极大似然估计值为 6.6782，置信区间是6.6741,6.6822,的极大似然估计值为0.0035,置信区间是0.0024,0.0095对常见的 20 种分布，也可以用函数 mle 求参数的极大似然估计值以及 1-的置信区间， 命令是：phat,pci=mle(dist,x,alpha)函数中输入dist为函数分布的命令字符如 norm 即表示正态分布，输入参数 x 的样本数

33、 据向量，输入参数 alpha 的默认值为 0.05，注意对于二项分布，命令为phat,pci=mle(dist,x,alpha,n) 其中 n 表示试验次数 对于上述例题的数据，若用 mle 函数计算 x=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672；phat,pci=mle(norm,x,0.05)结果：phat = 6.67820.0035pci = 6.67510.00086.68120.0063所以的极大似然估计值为 6.6782，置信区间是6.6751,6.6812,的极大似然估计值为0.0035,置信区间是0.0008,0.0063例 12：随机地从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度(单位：cm)为 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11.设钉长分布为正态的，试求总体均值的 90%置信区间：（1）若（2