2计量资料的统计描述.pdf

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1、第二章 计量资料的统计描述第二章 计量资料的统计描述总体与个体总体与个体个体与总体的性质有一定差异：个体与总体的性质有一定差异：?总体具有个体所不具备的某些性质；总体具有个体所不具备的某些性质；?总体的性质可以与个体的性质联系起来；总体的性质可以与个体的性质联系起来；?无规律运动的个体可以组成有规律运动的整体。无规律运动的个体可以组成有规律运动的整体。统计工作的步骤及内容：统计工作的步骤及内容：统计描述统计推断参数估计假设检验统计指标统计图表统计描述统计推断参数估计假设检验统计指标统计图表设计收集资料整理资料设计收集资料整理资料分析资料分析资料?频数分布频数分布?集中趋势的描述集中趋势的描述?

2、离散趋势的描述离散趋势的描述?正态分布正态分布?医学参考值范围的制定医学参考值范围的制定主要内容：主要内容：一.频数分布一.频数分布统计描述统计描述的工作主要是在编制频数表的基 础上描述资料的的工作主要是在编制频数表的基 础上描述资料的集中趋势集中趋势和和离散趋势离散趋势。频数频数(frequency)：某变量值或指标值出现 的次数。某变量值或指标值出现 的次数。频数表频数表(frequency table)：将变量值化分 为若干个组段，清点并记录各组段变量值的 个数，称为频数表。将变量值化分 为若干个组段，清点并记录各组段变量值的 个数，称为频数表。频数表的编制频数表的编制（1）求极差（ra

3、nge）：（1）求极差（range）：即最大值与最小值之差，又称为全距，用即最大值与最小值之差，又称为全距，用R R表示。表示。（2）确定组数、组段和组距：（2）确定组数、组段和组距：原则：较好地显示数据分布规律根据研究目的和观察例数n来确定。组数通常取1015个组，组距=极差/组数组距可以相等也可以不相等，一般采用等距分组原则：较好地显示数据分布规律根据研究目的和观察例数n来确定。组数通常取1015个组，组距=极差/组数组距可以相等也可以不相等，一般采用等距分组（3）列出组段：（3）列出组段：第一组段的下限略小于最小值，最后一个组段上限必须包含最大值LXU某组段的组中值为该组段（下限+上限）

4、/2第一组段的下限略小于最小值，最后一个组段上限必须包含最大值LXU某组段的组中值为该组段（下限+上限）/2（4）划记计数：（4）划记计数：归纳得到各组段的频数、频率及累积频数、频率。归纳得到各组段的频数、频率及累积频数、频率。例2-1 某医院用随机抽样方法检查了138名成年女子 红细胞数，其测量结果如下，试编制频数分布表。例2-1 某医院用随机抽样方法检查了138名成年女子 红细胞数，其测量结果如下，试编制频数分布表。3.96 4.23 4.42 3.59 5.12 4.02 4.32 3.72 4.76 4.16 4.61 4.26 3.77 4.20 4.36 3.07 4.89 3.9

5、7 4.28 3.64 4.66 4.04 4.55 4.25 4.63 3.91 4.41 3.52 5.03 4.01 4.30 4.19 4.75 4.14 4.57 4.26 4.56 3.79 3.89 4.21 4.95 3.98 4.29 3.67 4.69 4.12 4.56 4.26 4.66 4.28 3.83 4.20 5.24 4.02 4.33 3.76 4.81 4.17 3.96 3.27 4.61 4.26 3.96 4.23 3.76 4.01 4.29 3.67 3.39 4.12 4.27 3.61 4.98 4.24 3.83 4.20 3.71 4.0

6、3 4.34 4.69 3.62 4.18 4.26 4.36 5.28 4.21 4.42 4.36 3.66 4.02 4.31 4.83 3.59 3.97 3.96 4.49 5.11 4.20 4.36 4.54 3.72 3.97 4.28 4.76 3.21 4.04 4.56 4.25 4.92 4.23 4.47 3.60 5.23 4.02 4.32 4.68 4.76 3.69 4.61 4.26 3.89 4.21 4.36 3.42 5.01 4.01 4.29 3.68 4.71 4.13 4.57 4.26 4.03 5.46 4.16 3.64 4.16 3.7

7、6 最小值最小值最大值最大值差值2.39差值2.39组段组段频数（f）频数（f）频数构成比（%）频数构成比（%）3.073.072 21.451.453.273.273 32.172.173.473.479 96.526.523.673.67141410.1410.143.873.87222215.9415.944.074.07303021.7421.744.274.27212115.2215.224.474.47151510.8710.874.674.6710107.257.254.874.876 64.354.355.075.074 42.902.905.275.475.275.472 2

8、1.451.45合计合计138138100.00100.00138名正常成年女子红细胞数(10138名正常成年女子红细胞数(101212)的频数分布)的频数分布第一组段第一组段最后组段最后组段第一组段第一组段最后组段最后组段最后组段最后组段最后组段最后组段最后组段最后组段最后组段最后组段集中趋势集中趋势离散趋势离散趋势频数分布图频数分布图以变量值为横坐标，以各组段频数为纵坐标 所绘制的以变量值为横坐标，以各组段频数为纵坐标 所绘制的直方图直方图。其用途与频数表类似，但它比 频数表更直观、更形象。其用途与频数表类似，但它比 频数表更直观、更形象。1212表2-1 138名正常成年女子的红细胞数频

9、数分布表2-1 138名正常成年女子的红细胞数频数分布对称分布正态分布对称分布正态分布频数集中位置在中间，左右两侧频数大致对称。频数集中位置在中间，左右两侧频数大致对称。频数分布的特征及类型频数分布的特征及类型?两个特征：两个特征：集中趋势（central tendency）离散趋势（tendency of dispersion）集中趋势（central tendency）离散趋势（tendency of dispersion）?两种类型：两种类型：对称分布（symmetric distribution）偏态分布（skewed distribution）正（右）偏态（positively sk

10、ewed）负（左）偏态（negatively skewed）对称分布（symmetric distribution）偏态分布（skewed distribution）正（右）偏态（positively skewed）负（左）偏态（negatively skewed）是否为对称分布？变量0510152025303540452.453.053.654.254.855.456.10频 数是否为对称分布？变量051015202530354045502.45 3.05 3.654.25 4.85 5.45 6.10频 数115名正常成年女子血清转氨酶频数分布名正常成年女子血清转氨酶频数分布0510152

11、02512 15 18 21 24 27 30 33 36 39 4245血清转氨酶（mmol/L）人数（f）血清转氨酶（mmol/L）人数（f）正(右)偏态分布正(右)偏态分布高峰位于左侧，右侧的组段数多于左侧的组段数，频数向右侧拖尾。高峰位于左侧，右侧的组段数多于左侧的组段数，频数向右侧拖尾。101名正常人血清肌红蛋白频数分布101名正常人血清肌红蛋白频数分布0510152025010203040血清肌红蛋白（血清肌红蛋白（/mL）人数（f）/mL）人数（f）负(左)偏态分布负(左)偏态分布高峰位于右侧，左侧的组段数多于右侧的组段数，频数向左侧拖尾。高峰位于右侧，左侧的组段数多于右侧的组段

12、数，频数向左侧拖尾。频数分布的类型正 态 分布正偏态分布（如：以 儿童为主的传染病发 病人数的分布）负偏态分布（如：以老 年入为主的慢性病发病 人数的分布）（1）描述频数分布的类型。（2）描述频数分布的特征。（3）便于发现一些特大或特小的离群值。（4）便于进一步做统计分析和处理。（1）描述频数分布的类型。（2）描述频数分布的特征。（3）便于发现一些特大或特小的离群值。（4）便于进一步做统计分析和处理。频数表和频数分布图的用途：频数表和频数分布图的用途：便于发现一些特大或特小的可疑值便于发现一些特大或特小的可疑值组 段 频数f(1)(2)2.30 1 2.60 0 2.90 0 3.20 0 3

13、.50 17 3.80 20 4.10 17 4.40 12 4.70 9 5.00 0 5.30 0 5.605.90 8 合 计 101 二、集中趋势的描述二、集中趋势的描述常用平均数来描述描述计量资料集中趋势或平均水平的指标 称为常用平均数来描述描述计量资料集中趋势或平均水平的指标 称为平均数（average）平均数（average）。常用几种平均数：算术均数（mean）几何均数（geometric mean）中位数（median）常用几种平均数：算术均数（mean）几何均数（geometric mean）中位数（median）1.算术均数(1.算术均数(arithmetic mean)

14、?均数(mean)：一组均数(mean)：一组性质相同性质相同的观察值在数量上的平均水平。（总体）（样本）的观察值在数量上的平均水平。（总体）（样本）?计算方法：直接法加权法计算方法：直接法加权法?适用条件：适用条件：对称分布特别是正态分布或近似正态分布。对称分布特别是正态分布或近似正态分布。?多数正常生理、生化指标都适宜用均数表达集中趋势。多数正常生理、生化指标都适宜用均数表达集中趋势。nXnXXXXn=+=?21_xiikkkffXffffXffXfXXfX=+=?3213211?有9名健康成人的空腹胆固醇测定值（mmol/L）为 5.61，3.96，3.67，4.99，4.24，5.06

15、，5.20，4.79，5.93，求算术均数。有9名健康成人的空腹胆固醇测定值（mmol/L）为 5.61，3.96，3.67，4.99，4.24，5.06，5.20，4.79，5.93，求算术均数。L)4.83(mmol/95.93)3.96(5.61=+=x例：直接法计算均数例：直接法计算均数例：加权法计算均数：100名18岁女大学生身高均数的计算身高（cm）频数（f）组中值（X）fX154215531015641576281581115917491601316120931622216335861641916531351661516725051689169152117041716841721

16、741173173合 计f=100fX=16382.几何均数（2.几何均数（geometric mean）?几何均数：N个数值的乘积开N次方即为这N个数的几何均数。G几何均数：N个数值的乘积开N次方即为这N个数的几何均数。G?计算方法：直接法加权法计算方法：直接法加权法?适用条件：适用条件：等比资料、对数正态分布（右偏态分布）等比资料、对数正态分布（右偏态分布）抗体滴度、平均效价、卫生事业平均发展速度、人口几何增长等抗体滴度、平均效价、卫生事业平均发展速度、人口几何增长等?注意：观察值不能为0、不能同时有正有负同一资料算得的几何均数小于算术均数注意：观察值不能为0、不能同时有正有负同一资料算得

17、的几何均数小于算术均数=nxxxxGixnnlglg1321可取对数、再取反 对数来简化计算可取对数、再取反 对数来简化计算=ffGixlglg1变量对数值的算术 均数的反对数。变量对数值的算术 均数的反对数。若一组数值变量x为偏态分布，令y=lgx后，新生成的一组 变量y服从正态分布，请问变量x呈何种偏态分布？若一组数值变量x为偏态分布，令y=lgx后，新生成的一组 变量y服从正态分布，请问变量x呈何种偏态分布？变量变量y 服从服从正态分布正态分布变量变量x服从服从正偏态分布正偏态分布抗体滴度抗体滴度人数,人数,f f滴度倒数,滴度倒数,X XlglgX X1:2.51:101:401:16

18、01:640合计合计141822126722.510.040.0160.0640.00.39791.00001.60212.20412.8062102.1032 例2-4 某地5例微丝蚴血症患者治疗七年后用间接荧 光抗体试验测得其抗体滴度例2-4 某地5例微丝蚴血症患者治疗七年后用间接荧 光抗体试验测得其抗体滴度倒数倒数分别为：10，20，40，160，求几何均数。分别为：10，20，40，160，求几何均数。51 02 04 04 01 6 03 4.8G=11lglg10 lg20 lg40 lg40 lg160lg()lg()34.85XGn+=例2-5 69例类风湿关节炎（RA）患者血

19、清EBV-VCA-lgG抗体 滴度的分布见表2-4第(1)、(2)栏，求其平均抗体滴度。例2-5 69例类风湿关节炎（RA）患者血清EBV-VCA-lgG抗体 滴度的分布见表2-4第(1)、(2)栏，求其平均抗体滴度。表 2-5 69 例 RA 患者血清 EBV-VCA-lgG 抗体测定结果 抗体滴度抗体滴度 人数人数f 滴度倒数滴度倒数X lg X lgfX 1:10 1:20 1:40 1:80 1:160 1:320 1:640 1:1280 4 3 10 10 11 15 14 2 10 20 40 80 160 320 640 1280 1.0000 1.3010 1.6021 1.

20、9031 2.2041 2.5051 2.8062 3.1072 4.0000 3.9030 16.0210 19.0310 24.2451 37.5765 39.2868 6.2144 合合 计计 69 150.2778 故本例类风湿关节炎患者血清EBV-VCA-lgG 抗体的平均滴度为1：150.6。故本例类风湿关节炎患者血清EBV-VCA-lgG 抗体的平均滴度为1：150.6。111lg150.2778lg()lg()lg(2.1779)150.669fXGf=3.中位数（3.中位数（median）和百分位数(）和百分位数(percentile)?中位数：中位数：将一组观察值从小到大排

21、序后，位置居中的那个变量值（n为奇数）或位置居中的两个变量值的均值（n为偶数）。M将一组观察值从小到大排序后，位置居中的那个变量值（n为奇数）或位置居中的两个变量值的均值（n为偶数）。M?百分位数：百分位数：将一组观察值从小到大排序，分成100等份，各等份含1%的观察值，分割界限上的数值即为第X百分位数，是一个界值。P将一组观察值从小到大排序，分成100等份，各等份含1%的观察值，分割界限上的数值即为第X百分位数，是一个界值。PX X常用的百分位数：P常用的百分位数：P5 5 P P25 25 P P75 75 P P9595?中位数是位次上的平均指标，是百分位数的特殊形式。中位数是位次上的平

22、均指标，是百分位数的特殊形式。适用条件：适用条件：任意类型的资料，特别是偏态 资料，开口资料,分布情况不明的资料。（疾病的潜伏期、发汞、尿铅等）百分位数常用于估计医学参考值范围任意类型的资料，特别是偏态 资料，开口资料,分布情况不明的资料。（疾病的潜伏期、发汞、尿铅等）百分位数常用于估计医学参考值范围计 算：计 算：1.直接计算法：1.直接计算法：n为奇数时n为偶数时21+=nXM2122+=+nnXXM例2-6 7名病人患某病的潜伏期分别为2，3，4，5，6，9，16天，求其中位数。例2-6 7名病人患某病的潜伏期分别为2，3，4，5，6，9，16天，求其中位数。本例n=7，为奇数本例n=7

23、，为奇数7 14()25()MXX+=天例2-7：8名患者食物中毒的潜伏期分别为1，2，2，3，5，8，15，24小时，求其中位数。例2-7：8名患者食物中毒的潜伏期分别为1，2，2，3，5，8，15，24小时，求其中位数。本例n=8，为偶数本例n=8，为偶数8845()(1)221113 54()222MXXXX+=+=+=+=小时2.频数表法：2.频数表法：)f%Xn(fiLPLXXXX+=+=L LX X：第X百分位数所在组段的：第X百分位数所在组段的下限下限i iX：X：第X百分位数所在组段的第X百分位数所在组段的组距组距f fX X：第X百分位数所在组段的：第X百分位数所在组段的频数

24、频数：第X百分位数所在组段：第X百分位数所在组段上一组段累计频数上一组段累计频数Lf例.某传染性疾病的潜伏期中位数和百分位数计算表例.某传染性疾病的潜伏期中位数和百分位数计算表天06.4)26%25110(4824=+=25P天68.6)74%75110(2526=+=75P天83.9)99%95110(628=+=95P潜伏期（天）人数f累计频数累计频率(%)2262623.634487467.2762599908610595.4510310898.181221101005024(11050%26)5.2148=+=天P)f%Xn(fiLPLXXXX+=+=0 2.27 4.55 10.61

25、 28.03 46.21 65.15 80.30 89.39 96.97 累计频数累计频数3 61437618610611812813250%LmnfML if=+=+=132 0.5 614.60 0.204.64251.1.反映了位次居中的观察值的水平优点：不受两端特大值和特小值影响缺点：并非考虑到每个观测值反映了位次居中的观察值的水平优点：不受两端特大值和特小值影响缺点：并非考虑到每个观测值2.2.适用于各种分布类型的资料，适用于各种分布类型的资料，特别适合于：特别适合于：大样本偏态分布资料一端或两端无确切数值（开口）的资料3.对称分布资料，理论上中位数和算术均数是相等的。大样本偏态分布

26、资料一端或两端无确切数值（开口）的资料3.对称分布资料，理论上中位数和算术均数是相等的。中位数的特征中位数的特征常用平均数的意义及其应用场合平均数平均数 意义意义 应用场合应用场合 均数均数 平均数量水平平均数量水平 应用甚广，适用于对称分布，特别是正态分布应用甚广，适用于对称分布，特别是正态分布 几何均数几何均数 平均增（减）倍数平均增（减）倍数 等比资料；对数正态分布等比资料；对数正态分布 中位数中位数 位次居中的观察值水平位次居中的观察值水平 偏态资料；分布不明；分布末端无确定值偏态资料；分布不明；分布末端无确定值 420440460480500520540560580盘号甲乙丙1560

27、5205102540510505350050050044604904955440480490合计25002500250015605205102540510505350050050044604904955440480490合计250025002500均数500500500例：设甲、乙、丙三人，采每人的耳垂血，进行红细 胞计数，每人数5个计数盘，得结果如下（万/mm例：设甲、乙、丙三人，采每人的耳垂血，进行红细 胞计数，每人数5个计数盘，得结果如下（万/mm3 3）甲乙丙甲乙丙三、离散趋势的描述三、离散趋势的描述均数是描述一组计量资料平均水平特征的指标。由于变异的存在，需要一类离散趋势指标描述资

28、料参差不齐程度。均数是描述一组计量资料平均水平特征的指标。由于变异的存在，需要一类离散趋势指标描述资 料参差不齐程度。?全距?四分位数间距?方差?标准差?变异系数1.全距（1.全距（Range）?全距：即极差，最大值与最小值之差。R全距：即极差，最大值与最小值之差。R?意义：越大说明离散程度越大意义：越大说明离散程度越大?优点：计算简单优点：计算简单?缺点：不能全面反映资料的离散程度不稳定，易受极端值影响缺点：不能全面反映资料的离散程度不稳定，易受极端值影响三组同性别同年龄儿童的体重如下：三组同性别同年龄儿童的体重如下：R R?甲组：26 28 30 32 34 30 8 甲组：26 28 3

29、0 32 34 30 8?乙组：24 27 30 33 36 30 12乙组：24 27 30 33 36 30 12?丙组：26 29 30 31 34 30 8丙组：26 29 30 31 34 30 8x适用于两端有确定界值的任何分布的资料。适用于两端有确定界值的任何分布的资料。2.四分位数间距2.四分位数间距（Quartile interval）?四分位数间距：将一组资料分为四等份，上四分位数四分位数间距：将一组资料分为四等份，上四分位数QQU U（P P7575）与下四分位数）与下四分位数QQL L（P P2525）之差。）之差。QR=QQR=Qu u Q QL L=P=P 75%-

30、75%-P P 25%25%?意义：Q值越大，表示该组数据的变异度越大。意义：Q值越大，表示该组数据的变异度越大。?优点：较稳定适宜于末端分布无确切值的资料、偏态分布资料优点：较稳定适宜于末端分布无确切值的资料、偏态分布资料?缺点：不能全面反映资料的离散程度缺点：不能全面反映资料的离散程度离均差平方和、方差与标准差离均差平方和、方差与标准差2离均差平方和（SS）()iX=平均偏差iXn=()0=离均差和 离均差和 ix3.方差（3.方差（variance）?方差（variance）：也称均方差（mean square deviation），观察值的离均差平方和的均值。表示一组数据的平均离散情况

31、方差（variance）：也称均方差（mean square deviation），观察值的离均差平方和的均值。表示一组数据的平均离散情况2 2S S2 2?自由度：随机变量能自由取值的个数自由度：随机变量能自由取值的个数iXN=()22()2222()11iiiXXnXXSnn=总体方差：样本方差：总体方差：样本方差：样本方差为什么要除以（n1）与自由度（degrees of freedom）有关。自由度是统计学术语，其意义是与自由度（degrees of freedom）有关。自由度是统计学术语，其意义是随机变量能自由取值的个数随机变量能自由取值的个数。如：n个数据如不受任何条件的限制，则

32、n个数据可取任意值，称为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有（nk）个 自由度了。如：n个数据如不受任何条件的限制，则n个数据可取任意值，称为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有（nk）个 自由度了。如一个如一个n=4的样本数据，受到 的样本数据，受到 5的条件限制，在自由确定的条件限制，在自由确定4，2，5三个数据之后，第四个数据只能是三个数据之后，第四个数据只能是9，否则均数不是，否则均数不是5，推而广之，推而广之，任何统计量的任何统计量的v=n-限制条件的个数限制条件的个数。x计算标准差时，n个变量值本身有n个自由度，但受到样本 均数的限制，因此只有（n1）个自由度。计算标准

33、差时，n个变量值本身有n个自由度，但受到样本 均数的限制，因此只有（n1）个自由度。4.标准差（标准差（standard deviation）?标准差：即方差开平方，其单位与原变量标准差：即方差开平方，其单位与原变量X X的单位相同计算方法：n较小时，用直接法：n较大时，用加权法：的单位相同计算方法：n较小时，用直接法：n较大时，用加权法：()Nxi=2()12=nxxsi()122=fffxfxs例.5名同龄男孩的身高值（cm）X X290 810095 9025100 10000105 11025110 12100500=X502502=X91.7155/)500(502502=S1/)(

34、22=nnXXS100=x例.用加权法计算某地区2002年55-58岁健康成人 的平均空腹血糖值和标准差。()LmmolnnfxfxSxfxffiiiii/40066.01132132/2.61492.2878192.2878,2.614,1322222=例.三组同龄男孩的身高值（cm）例.三组同龄男孩的身高值（cm）R S甲组 甲组 90 95 100 105 110 100 20 7.91乙组 乙组 96 98 100 102 104 100 8 3.16丙组 丙组 96 99 100 101 104 100 8 2.92x标准差的意义：全面反映了一组观察值的变异程度。越小说明观察值的变异

35、程度越小,均数代表性越好，反之说明观察值变异程度越大,均数代表性越差。标准差的意义：全面反映了一组观察值的变异程度。越小说明观察值的变异程度越小,均数代表性越好，反之说明观察值变异程度越大,均数代表性越差。标准差的应用：描述变异程度、计算标准误、计算变异系数、描述正态分布、估计正常值范围。标准差的应用：描述变异程度、计算标准误、计算变异系数、描述正态分布、估计正常值范围。5.变异系数变异系数(coefficient of variation,CV)?变异系数（CV）变异系数（CV）：标准差与均数之比，用百分数表示，无单位。：标准差与均数之比，用百分数表示，无单位。?应用：应用：1.单位不同时组

36、间变异程度的比较。2.均数相差悬殊的组间变异程度的比较。1.单位不同时组间变异程度的比较。2.均数相差悬殊的组间变异程度的比较。%100=xsCV1.单位不同时组间变异程度的比较单位不同时组间变异程度的比较身 高 4.71100%3.83%123.10CV=某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差 为4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，比较其变异度？某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差 为4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，比较其变异度？体 重 2.26100%10.14%22.29CV=某地不同年龄组男童身高（cm）某地不同年龄

37、组男童身高（cm）年龄组 S CV%1-2月 56.3 2.1 3.735-6月 66.5 2.2 3.313-3.5岁 96.1 3.1 3.225-5.5岁 107.8 3.3 3.06年龄组 S CV%1-2月 56.3 2.1 3.735-6月 66.5 2.2 3.313-3.5岁 96.1 3.1 3.225-5.5岁 107.8 3.3 3.06结论：随着年龄增加，身高的变异变小。结论：随着年龄增加，身高的变异变小。2.比较组单位相同，但均数相差悬殊的 组间变异程度比较X四、正态分布(四、正态分布(Normal distribution)正态分布正态分布是描述连续型变量值分布的曲

38、线，很多医学资料服从正态分布。是描述连续型变量值分布的曲线，很多医学资料服从正态分布。（一）正态分布的概念和特征（二）正态分布曲线下的面积（三）正态分布的应用（一）正态分布的概念和特征（二）正态分布曲线下的面积（三）正态分布的应用例:在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量他们的身 高，并以身高观察值(cm)为数据，试刻画岁男孩身高分布。例:在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量他们的身 高，并以身高观察值(cm)为数据，试刻画岁男孩身高分布。112.6 120.9 115.3 126.6 125.3 124.0 107.4 116.1 124.3 110.6 114.5

39、 128.7 122.0 121.5 123.0 114.8 117.8 119.4 124.4 111.9 132.8 116.8 124.1 122.3 114.2 114.4 123.9 112.0 125.2 119.1 120.9 117.1 129.9 117.1 115.5 117.6 116.5 111.6 118.2 119.3 124.1 122.1 126.8 115.6 117.2 116.4 123.2 123.4 115.7 125.6 127.6 115.3 115.8 128.1 125.5 107.7 114.6 117.1 118.6 120.7 124.7

40、 128.7 123.1 118.0 133.3 123.8 122.1 122.1 112.6 115.8 122.8 130.6 128.3 113.0 118.8 120.1 117.0 114.2 120.4 113.4 116.6 119.1 124.1 121.6 109.4 119.3 119.1 128.2 118.5 119.4 119.7 129.0 118.4 121.2 117.8 121.7 109.8 113.7 119.0 114.6 120.0 124.6 110.8 128.4 119.2 115.1 124.0 118.1 122.3 119.9 举例说明概

41、率密度曲线的意义举例说明概率密度曲线的意义频数分布和频率分布性质频数分布和频率分布性质名岁男孩身高频数表 名岁男孩身高频数表 组段 频数 累计频数 频率 累计频率 组段 频数 累计频数 频率 累计频率 106-2 2 1.82 1.82 106-2 2 1.82 1.82 109-6 8 5.45 7.27 112-13 21 11.82 19.09 115-21 42 19.09 38.18 118-24 66 21.82 60.00 121-17 83 15.45 75.45 124-15 98 13.64 89.09 127-9 107 8.18 97.27 130-2 109 1.82

42、 99.09 133-136 1 110 0.91 100.00 109-6 8 5.45 7.27 112-13 21 11.82 19.09 115-21 42 19.09 38.18 118-24 66 21.82 60.00 121-17 83 15.45 75.45 124-15 98 13.64 89.09 127-9 107 8.18 97.27 130-2 109 1.82 99.09 133-136 1 110 0.91 100.00 各个组段的频率之和（累计频率）各个组段的频率之和（累计频率）频率密度图(纵坐标为频率/组距)频率密度图(纵坐标为频率/组距)每个直方条的面积=

43、纵坐标组距=（频率/组距）组距=频率各个直方条的面积之和各个组段的频率之和每个直方条的面积=纵坐标组距=（频率/组距）组距=频率各个直方条的面积之和各个组段的频率之和频率密度图性质频率密度图性质身高112cm的频率=组段106,109)和109,112)的频率之和106,112)的直方条面积。身高112cm的频率=组段106,109)和109,112)的频率之和106,112)的直方条面积。112cm身高118cm的频率=112,118)的直方条面积112cm身高118cm的频率=112,118)的直方条面积频率密度图性质频率密度图性质(n)现(n110),假定在该地区随机抽了个岁男孩并且n，

44、则各个组段的频率各自的概率现(n110),假定在该地区随机抽了个岁男孩并且n，则各个组段的频率各自的概率 各个组段的面积（概率）之和为各个组段的面积（概率）之和为频率密度图性质频率密度图性质(n)身高在115,121)的概率为115,121)的直方条面积=0.409身高在115,121)的概率为115,121)的直方条面积=0.409问题：问题：能否利用组段的直方条面积计算身高在115,122)的 概率？要采取什么措施才能计算？能否利用组段的直方条面积计算身高在115,122)的 概率？要采取什么措施才能计算？组段面积组段面积 组段组段 面积面积 106-0.018 121-0.155 109

45、-0.055 124-0.136 112-0.118 127-0.082 115-0.191 130-0.018 118-0.218 133-136 0.009 概率密度曲线概率密度曲线 当n，直方条面积(频率)各自的概率；当n，直方条面积(频率)各自的概率；组距时，直方条宽度，直方条垂直线，各个直方条顶点间的连线构成一条光滑的曲线（概率密度曲线）；组距时，直方条宽度，直方条垂直线，各个直方条顶点间的连线构成一条光滑的曲线（概率密度曲线）；曲线下(直方条)的总面积始终为；曲线下(直方条)的总面积始终为；身高在区间a,b的概率对应曲线下的面积(直方条面积)。身高在区间a,b的概率对应曲线下的面积

46、(直方条面积)。d e n s ityx801001201401600.02.04.06.08probability density curve正态分布（normal distribution）正态分布（normal distribution）也叫高斯分布（Gaussian distribution）也叫高斯分布（Gaussian distribution）是指若以计量值为横轴绘制一条频数分布曲线，这条 曲线呈现对称的、中间高、两侧逐渐下降的形状。（一）正态分布的概念和特征（一）正态分布的概念和特征频数分布图频数分布图表1 某地1998年100名18岁男大学生身高的频数分布图051015202

47、530163165167169171173175177179181183身高(cm)频数频数设想当原始数据的频数分布图的观察人数 逐渐增加且组段不断分细时，直条就不断变 窄，其顶端则逐渐接近于一条光滑的曲线（正 态曲线）。这条曲线形态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，近似于数学上的正态分布。在处理 资料时，我们就把它看成是正态分布。设想当原始数据的频数分布图的观察人数 逐渐增加且组段不断分细时，直条就不断变 窄，其顶端则逐渐接近于一条光滑的曲线（正 态曲线）。这条曲线形态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，近似于数学上的正态分布。在处理 资料时，我们就把它看成是正态分布。22()21()e,2X

48、f XX=+X为连续随机变量，=3.14159，e为自然对数 的底即2.71828，X为连续随机变量，=3.14159，e为自然对数 的底即2.71828，为总体均数，为总体标 准差，记为为总体均数，为总体标 准差，记为X XN N（，2 2）正态分布的概率密度函数为：正态分布的概率密度函数为：正态分布的特征正态分布的特征?正态分布呈钟型曲线，两端与X轴永不相交，以均数为中心左右对称；正态分布呈钟型曲线，两端与X轴永不相交，以均数为中心左右对称；?正态曲线在横轴上方均数处最高；正态曲线在横轴上方均数处最高；?正态分布有2个参数：正态分布有2个参数：位置参数：形状参数（变异度参数）：位置参数：形

49、状参数（变异度参数）?正态曲线下的面积分布有一定规律正态曲线下的面积分布有一定规律四、正态分布曲线四、正态分布曲线221()2uue=xu标准正态分布标准正态分布u N（0,1）u u为标准正态变量为标准正态变量标准正态分布概率密度函数，记作标准正态分布概率密度函数，记作u N N（0,1）（0,1）。正态分布。正态分布XN()21()21()2xf xe=标准正态离差标准正态离差标准正态分布(标准正态分布(standard normal distribution)2,()1()=uu 221()2uuuedu=标准正态分布函数为：上述公式已制成附表1（P695），欲求一定 区间标准正态分布曲

50、线下的面积查表即可。且：更一般的情况：更一般的情况：()()+P XaP Xa标准正态分布的两个参数：标准正态分布的两个参数：=0,=0,=1 记为=1 记为 N N(0,1)(0,1)标准正态分布的曲线是标准正态分布的曲线是唯一唯一的。的。经标准正态变量经标准正态变量u u变换：变换：一般正态分布一般正态分布N（，N（，2 2）标准正态分布标准正态分布N（0，1N（0，12 2）正态曲线下的面积正态曲线下的面积曲线下ab区间面积的含义表示变量值在ab区间的频数占全部变 量值例数的百分比或表示变量值在ab区间 出现的概率。曲线下ab区间面积的含义表示变量值在ab区间的频数占全部变 量值例数的百