三角形中位线中的常见辅助线.pdf

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1、三角形中位线中的常见辅助线三角形中位线中的常见辅助线三角形中位线中的常见辅助线三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识梳理知识点一知识点一 中点中点一、与中点有关的概念一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、底边的中线、顶角顶角的角平分线、底边的高重合的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边三角形中位线定理：三角

2、形的中位线平行于第三边并且等于它的一半并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边一边的直线必平分第三边直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形一半，则这个三角形是直角三角形方法三：构造三线合一方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破

3、口考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。等腰三角形，从而转化线段关系。常见考点常见考点构造三角形中位线构造三角形中位线其他位置的也要能看出其他位置的也要能看出考点说明：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑考点说明：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中取四边形对角线中点

4、、等腰三角形底边中点、点、直角三角形斜边中点或其他线段中点直角三角形斜边中点或其他线段中点;延长三角形一边，从而达到构造三角形中延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。位线的目的。“题中有中点，莫忘中位线题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似作用散的条件集中起来平移也有类似作用典型例题典型例题【例1】已知：已知：AD是是ABC的中线，的中线，

5、AE是是ABD的中线，且的中线，且AB BD，求证：求证：AC 2AEABEDC举一反三举一反三1.1.如右下图，在如右下图，在ABC中，若中，若点求证：点求证：AB2DEABDECB 2C，AD BC，E为为BC边的中边的中2.2.在在ABC中，中，ACB 90，E是是CD的中点，求证：的中点，求证：AC 12BC，以，以BC为底作等腰直角为底作等腰直角BCD，AE EB且且AE BEECDAB【例2】已知四边形已知四边形ABCD的对角线的对角线AC BD，E、F分别是分别是AD、BC的的中点，中点，连结连结EF分别交分别交AC、BD于于M、N，求证：求证：AMN BNMABFCEMND举一

6、反三举一反三1.1.已知四边形已知四边形ABCD中，中，AC BD，E、F分别是分别是AD、BC的中点，的中点，EF交交AC于于M；EF交交BD于于N，AC和和BD交于交于G点点求证：求证：GMNGNMDEAGNMFCB2.2.已知：在已知：在ABC中，中，BCAC，动点，动点D绕绕ABC的顶点的顶点A逆时针旋逆时针旋转，且转，且ADBC，连结，连结DC过过AB、DC的中点的中点E、F作直线，直作直线，直线线EF与直线与直线AD、BC分别相交于点分别相交于点M、N（1 1）如图）如图1 1，当点，当点D旋转到旋转到BC的延长线上时，点的延长线上时，点N恰好与恰好与点点F重合，取重合，取AC的中

7、点的中点H，连结，连结HE、HF，求证：，求证：AMFBNE（2 2）当点）当点D旋转到图旋转到图 2 2 中的位置时，中的位置时，AMF与与BNE有何数量有何数量关系？请证明关系？请证明MDF(N)CCFNMAEBAEBD【例3】如图，如图，在五边形在五边形ABCDE中，中，ABC AED 90，BAC EAD，F为为CD的中点求证：的中点求证：BF EFABECFD举一反三举一反三1.1.如图所示，在三角形如图所示，在三角形 ABCABC 中，中，D D 为为 ABAB 的中点，分别的中点，分别延长延长 CACA、CBCB 到点到点 E E、F F，使，使 DE=DFDE=DF过过 E E

8、、F F 分别分别作直线作直线 CACA、CBCB 的垂线，相交于点的垂线，相交于点 P P，设线段，设线段 PAPA、PBPB的中点分别为的中点分别为 MM、N N求证：求证：（1 1）DEM FDN；（2 2）PAEPBFCADBEMNFP3.3.已知：在已知：在ABC中，分别以中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角为斜边作等腰直角三角形形ABM，和，和CAN，P是边是边BC的中点求证：的中点求证：PM PNAMPBNC4.4.如如图图所所示示，已已知知ABD和和ACE都都是是直直角角三三角角形形，且且ABD ACE 90，连接，连接DE，设，设M为为DE的中点的中点（1 1）求证）求证

9、MB MC（2 2）设）设BAD CAE，固定，固定 RtRtABD，让，让 RtRtACE移至图示位置，移至图示位置，此时此时MB MC是否成立？请证明你的结论是否成立？请证明你的结论ACEMDBDBAECM5.5.在在 ABCABC 中，中，AB=ACAB=AC，分别以分别以 ABAB 和和 ACAC 为斜边，为斜边，向向 ABCABC的外侧作等腰直角三角形，的外侧作等腰直角三角形，MM是是BCBC边中点中点，边中点中点，连接连接 MDMD 和和 MEME（1 1）如图）如图1 1 所示，若所示，若AB=ACAB=AC，则，则MDMD 和和 MEME 的数量关的数量关系是系是（2 2）如图

10、如图 2 2 所示，所示，若若 ABACABAC 其他条件不变，其他条件不变，则则 MDMD 和和MEME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3 3）在任意）在任意 ABCABC 中，仍分别以中，仍分别以 ABAB 和和 ACAC 为斜边，为斜边，向向 ABCABC 的内侧作等腰直角三角形，的内侧作等腰直角三角形，MM 是是 BCBC 的中点，的中点，连接连接 MDMD 和和 MEME，请在图，请在图 3 3 中补全图形，并直接判断中补全图形，并直接判断 MEDMED 的形状的形状ADEADEBC图图 1 1BMCM图图 2 2图图 3 3A

11、BMC【例4】以以ABC的两边的两边AB、AC为腰分别向外作等腰为腰分别向外作等腰RtABD和等腰和等腰RtACE，BAD CAE 90.连接连接DE，M、N分别是分别是BC、DE的中的中点探究：点探究：AM与与DE的位置关系及数量关系的位置关系及数量关系（1 1）如图如图 当当ABC为直角三角形时，为直角三角形时，AM与与DE的位置关系的位置关系是是_；线段；线段AM与与DE的数量关系是的数量关系是_；（2 2）将图中的等腰）将图中的等腰RtABD绕点绕点A沿逆时针方向旋转沿逆时针方向旋转(0 90)后，如图所示，后，如图所示，（1 1）问中得到的两个结论是否）问中得到的两个结论是否发生改变

12、？并说明理由发生改变？并说明理由DNEDNAEABM图CBM图C举一反三举一反三AAADEDEFDEB图1CB图2CB图3C1.1.（1 1）如图）如图 1 1，BD、CE分分AE CE,垂足分别为垂足分别为别是别是ABC的外角平分线，过点的外角平分线，过点A作作AD BD、D、E，连接，连接求证：求证：DEDEBC，DE 1AB BC AC2CE分别是分别是ABC的内角平分线，的内角平分线，（2 2）如图如图 2 2，BD、其他条其他条件不变；件不变；（3 3）如图）如图 3 3，BD为为ABC的内角平分线，的内角平分线，CE为为ABC的外的外角平分线，其他条件不变。则在图角平分线，其他条件

13、不变。则在图 2 2、图、图 3 3 两种情况下，两种情况下，DE、BC还平行吗？它与还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明你写出猜测，并给与证明2.2.已知已知ABC中，中，ACB 90，AB边上的高线边上的高线CH与与ABC的两条内的两条内角平分线角平分线AM、Q两点两点PM、QN的中点分别为的中点分别为E、BN分别交于分别交于P、F求证：求证：EFABAHPNFQECMB【例5】等腰梯形等腰梯形ABCD中，中，ABCD，AC BD，AOB 60，P、Q、R分别是分别是OA、BC、PQR是正三角形是正三角形举一反三举一反三AC与与BD

14、交于点交于点O，OD的中点，求证：的中点，求证：DCROQPABF是是AD的中点，的中点，BF的延长线交的延长线交AC于于E1.1.AD是是ABC的中线，的中线，求求证：证：AE 13AC【例6】如左下图，如左下图，在梯形在梯形ABCD中，中，ABCD，E、中点求证：中点求证：EFAB，且，且EF 12AB CDAEFBDCF分别是分别是AC、BDDCEFAB举一反三举一反三2.2.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，东，小明交流原问题：小明交流原问题：如图如图 1 1，已知已知ABC，ACB 90，ABC 45，BC为边向外作为边向

15、外作ABD和和BCE，且，且DA DB，EB EC，分别以分别以AB，ADB BEC 90，连接，连接DE交交AB于点于点F，探究线段，探究线段DF与与EF的数量的数量关系。关系。小慧同学的思路是：小慧同学的思路是：过点过点D作作DG AB于于G，构造全等三构造全等三角形，通过推理使问题得解角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，ABC 30，ADB BEC 60小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并

16、解决这三位同学请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：提出的问题：（1 1）写出原问题中）写出原问题中DF与与EF的数量关系的数量关系（2 2）如图）如图 2 2，若，若ABC 30，ADB BED 60，原问题中的，原问题中的其他条件不变，你在（其他条件不变，你在（1 1）中得到的结论是否发生变化？）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；请写出你的猜想并加以证明；（3 3）如图）如图 3 3，若，若ADBBEC 2ABC,原问题中的其他条件不原问题中的其他条件不D变，你在（变，你在（1 1）中得到的结论是否发生变）中得到的结论是否发生变FBA化？请写出你的猜想并

17、加以证明。化？请写出你的猜想并加以证明。CED图1FBACE图2DFBACE图3真题演练真题演练1.1.已知：已知：AOB中，中，ABOB2，COD中，中，CDOC 3，ABODCO.BC、，点、，点M、N、P分别为分别为AO、DO、BC的中点的中点.接接AD、（1 1）如图）如图1 1，若，若A、O、C三点在同一直线上，且三点在同一直线上，且ABO 60，则则PMN的形状是的形状是_，此时，此时ADBC_；（2 2）如图）如图 2 2，若，若A、O、C三点在同一直线上，且三点在同一直线上，且ABO 2，证明证明PMNBAO，并计算，并计算ADBC的值（用含的值（用含的式子表示）；的式子表示）

18、；（3 3）在图）在图2 2 中，固定中，固定AOB，将，将COD绕点绕点O旋转，直接写出旋转，直接写出PM的最大值的最大值.BAMOPNCD图图1 1图图 2 2BAMOPNDC2.2.如图，如图，D D 是是 ABCABC 中中 ABAB 边的中点，边的中点，BCEBCE 和和 ACFACF是等边三角形，是等边三角形，MM、N N 分别是分别是 CECE、CFCF 的中点的中点.（1 1）求证：）求证：DMNDMN 是等边三角形；是等边三角形；（2 2）连接）连接 EFEF，Q Q 是是 EFEF 中点，中点，CPCPEFEF 于点于点 P P.求证：求证：DPDPDQDQ.同学们，如果你

19、觉得解决本题有困难，可以阅读同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，形全等，如何构造出相应的三角形呢？如何构造出相应的三角形呢？她考虑她考虑将将 NCMNCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置置，由此猜想到了

20、所需构造的三角形的位置.3.3.在在ABCABC 中，中，D D 为为 BCBC 边的中点，在三角形内部取一边的中点，在三角形内部取一F FN NMME EC CA AD DB BP P，使得，使得ABPABP=ACPACP过点过点 P P 作作 PEPEABAB 于点于点E E，（1 1）如图）如图 1 1，当，当 ABAB=ACAC 时，判断的时，判断的 DEDE 与与 DFDF 的数量的数量关系，直接写出你的结论；关系，直接写出你的结论；（2 2）如图）如图 2 2，当，当 ABAB ACAC，其它条件不变时，其它条件不变时，（1 1）中的）中的ACAC 于点于点F F结论是否发生改变？

21、请说明理由结论是否发生改变？请说明理由AAEPFFEPBDCBDC图图1 1图图 2 24.4.探究问题：已知探究问题：已知 ADAD、BEBE 分别为分别为ABCABCADAD、BEBE 交于点交于点 O O.BCBC、A A的边的边上的中线，且上的中线，且（1 1）ABCABC 为等边三角形，如图为等边三角形，如图 1 1，则，则 AOAOODOD=_=_；（2 2）当小明做完（）当小明做完（1 1）问后继续探究发现，若）问后继续探究发现，若 ABCABC 为为一般三角形（如图一般三角形（如图 2 2），中的结论仍成立，请你给予），中的结论仍成立，请你给予证明证明.（3 3）运用上述探究的

22、结果，解决下列问题：）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图如图 3 3，在，在 ABCABC 中，点中，点E E 是边是边 ACAC 的中点，的中点，ADAD平分平分BACBAC,ADADBEBE 于点于点 F F，若，若 ADAD=BEBE=4.=4.求：求：ABCABC 的周长的周长.AAEOBDCBEODCAEFBDC图图 1 1图图 2 2图图 3 35.5.如图如图 1 1，在四边形，在四边形ABCD中，中，EF并延长，分别与并延长，分别与，则，则BME CNE（不需证明）（不需证明）ABCD，E、F分别是分别是BC、AD的的BA、CD的延长线交于点的延长线交于点点，连结点，连结N

23、（温馨提示：在图（温馨提示：在图 1 1 中，连结中，连结BD，取，取BD的中点的中点H，连结，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，根据三角形中位线定理，证明证明HE HF，从而从而1 2，再利用平行线性质，可证得再利用平行线性质，可证得BME CNE）问题一：如图问题一：如图 2 2，在四边形，在四边形ADBC中，中，AB与与CD相交于点相交于点O，ABCD，E、F分别是分别是BC、AD的中点，的中点，连结连结EF，分别交分别交DC、AB于于点点M、N，判断，判断OMN的形状，请直接写出结论的形状，请直接写出结论问题二：问题二：如图如图 3 3，在在ABC中，中，AC AB，D点在点在AC

24、上，上，ABCD，E、F分别是分别是BC、AD的中点，连结的中点，连结EF并延长，与并延长，与BA的延长线的延长线交于点交于点G，若，若EFC 60，连结，连结GD，判断，判断AGD的形状并证明的形状并证明MNAFDFHBCBMEONDECBAFDCAGE图图 1 1图图 2 2图图 3 36.6.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1请请用此性质解决下面的问题用此

25、性质解决下面的问题.已知：如图，点已知：如图，点O为等腰直角三角形为等腰直角三角形ABC的重心，的重心，CAB90，直线直线m过点过点O,过过A、B、C三点分别作直线三点分别作直线m的垂线，垂足分别的垂线，垂足分别为点为点D、E、F.（1 1）当直线当直线m与与BC平行时平行时（如图（如图 1 1），请你猜想线段请你猜想线段BE、CF和和AD三者之间的数量关系并证明；三者之间的数量关系并证明；（2 2）当直线当直线m绕点绕点O旋转到与旋转到与BC不平行时，不平行时，分别探究在图分别探究在图2 2、图、图 3 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立

26、，请给予证明；若不成立，线段请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明的数量关系？请写出你的结论，不需证明AAFFODB图1CmEBO图2DBCE图3mDOCAFmEABO DCO 307.7.以平面上一点以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，为直角顶点，分别画出两个直角三角形，AOB作作和和COD，其中，其中（1 1）点）点E、F、M分别是分别是AC、CD、DB的中点，连的中点，连接接FM、EM（2 2）如图如图 1 1，当点，当点D、C分别在分别在AO、BO的延长的延长线上时，线上时，FMEM=_=_；AOB如图如图 2 2，将图，将图 1 1 中的中的向旋转向旋转角（角（0 60），其），其他条件不变，判断他条件不变，判断FMEM绕点绕点O沿顺时针方沿顺时针方的值是否发生变化，并对的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；你的结论进行证明；（3 3）如图如图 3 3，若若BO P3 3，点点N在线段在线段OD上，上，且且NO 2 点点AOB是线段是线段AB上的一个动点，在将上的一个动点，在将绕点绕点O旋转的过旋转的过程中，线段程中，线段PN长度的最小值为长度的最小值为_，最大值为，最大值为_