近年年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习(含解析)新人教A版选修2-.pdf

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1、3。1.3 空间向量的数量积运算 1。下列命题中，不正确的有(D)=a；m(a)b=(m)ab；a（b+c)=（b+c)a;a2b=b2a。（A）4 个（B)3 个（C）2 个（D)1 个 解析:正确,不正确,因为等式左边表示与 b 共线的向量，右边表示与 a 共线的向量,两者方向不一定相同。故选 D。2。正方体 ABCD ABCD中，=120,即,=120。故选 D。3.若 a，b 均为非零向量,则 ab=|a|b|是 a 与 b 共线的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件（C）充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 解析:若 ab=|a|b,则=0,所以 a 与 b 共线;反

2、之,若 a 与 b 共线，则a，b=0或 180,ab=|a|b.故选 A.4.在正方体 ABCD A1B1C1D1中,有下列命题:（+）2=3;()=0;与的夹角为60.其中正确命题的个数是（B）（A)1 （B）2 （C）3 （D)0 解析：，均正确;不正确,因为与夹角为 120.5。在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,M,N 分别是 A1B1,BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为（B）(A)(B)（C)（D）解析:如图，由图知直线 AM 与 CN 所成角等于，=+，=+,所以=（+）(+)=+=,|=，|=。所以 cos,=.6。已知|a=1，b=,

3、且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为（D)（A)60(B）30（C)135 (D)45 解析:因为 ab 与 a 垂直，所以(ab）a=0,所以 aaab=|a2-a|bcos=11cos=0，所以 cosa,b=.因为 0180,所以a，b=45。7.已知四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD，连接 AC,BD，PB,PC，PD,则下列各组向量中，数量积不为零的是（A）（A)与 (B)与（C）与 (D）与 解析：因为PA平面 ABCD,所以 PACD,故=0,排除 D;因为 ADAB，PAAD，又 PAAB=A,所以 AD平面 PAB,所以 ADPB,故=0,排除 B；同

4、理=0,排除 C。故选 A。8。设 a,b，c 是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:(ab）c-(ca)b=0;a|b|ab|；（ba)c（ca）b 一定不与 c 垂直；(3a+2b)（3a2b)=9|a|2-4|b|2。其中正确的是（D）（A）（B)（C）（D)解析：根据向量数量积的定义及性质，可知 ab 和 ca 是实数,而 c 与 b 不共线，故（ab)c 与(ca）b 不一定相等，故错误;因为（ba)c-（ca)bc=（ba)c2-(ca)（bc）,所以当 ab,且 ac 或 bc 时，（ba）c-(ca）bc=0，即（ba）c（ca）b 与 c 垂直,故错误;易知正确

5、.故选 D。9。已知 PA平面 ABC，ABC=120，PA=AB=BC=6,如图,则 PC 等于 。解析:因为=+，所以|2=(+)2=+2+2+2=36+36+36+0+0+2|cos 60=108+266=144.所以 PC=12.答案:12 10。已知 a，b 是异面直线,点 A，Ba，点 C,Db,ACb，BDb，且 AB=2,CD=1，则 a,b 所成的角是 。解析:=+,所以=（+）=|2=1,所以 cos=,所以异面直线 a,b 所成角是 60.答案：60 11.设m|=1，n=2，2m+n 与 m-3n 垂直，a=4m-n，b=7m+2n,则向量 a，b 的夹角a，b=解析:

6、因为(2m+n）(m-3n）,所以(2m+n）（m3n）=0。化简得 mn=-2,又a=6。|b=3。所以 ab=(4m-n)（7m+2n)=28|m22|n|2+mn=18.所以 cosa,b=1。所以=,所以=60。因此,异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60。14.如图，直三棱柱 ABC ABC中，AC=BC=AA，ACB=90，D，E 分别为 AB，BB的中点.（1）求证:CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值。(1)证明：设=a，=b，=c,根据题意，a|=|b=c|且 ab=bc=ca=0,所以=b+c，=-c+b-a。所以=c2+b2=0。所以,即 CEA

7、D.(2）解:因为=-a+c,所以=|a。又|=a|.=（-a+c）（b+c）=c2=|a|2,所以 cos=，=-=.因为=(+）（+）=+=|cos,+=1+1=0，所以 AB1BC1。(2)解：由（1)知=|cos，+=1.又|=|，所以 cos0,0。所以BCD 的每个内角均为锐角,故BCD 是锐角三角形。17.已知在正四面体 ABCD 中，所有棱长都为 1,ABC 的重心为 G，则 DG 的长为(D)(A）(B)（C）(D)解析：如图，连接AG 并延长交 BC 于点 M,连接 DM，因为 G 是ABC 的重心，所以 AG=AM,所以=，=+=+=+（-）=+(+）=（+)，而(+）2

8、=+2+2+2=1+1+1+2（cos 60+cos 60+cos 60)=6,所以|=。故选 D。18.如图，在一个直二面角 AB 的棱上有两点 A,B.AC,BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，且 AB=4,AC=6，BD=8,则 CD=.解析:由=+=+2+2+2=36+16+64=116,=2.答案：2 19.在正方体 ABCD A1B1C1D1中,下面给出的结论：+2=3|2;（)=0；与的夹角为 60;此正方体体积为|。则错误结论的序号是 （填出所有错误结论的序号).解析:因为|+|=|=|,故正确;因为(-）=(+）()=+-=0，故正确;AD1与 A1B 两异

9、面直线的夹角为 60,但与的夹角为 120,注意方向；因为=0,故错误。答案：20.在棱长为 1 的正方体 ABCD ABCD中,E,F 分别是 DD，DB 的中点，G 在棱 CD 上，CG=CD，H 为 CG 的中点。(1)求 EF，CG 所成角的余弦值;(2)求 FH 的长.解:设=a,=b,=c,则 ab=bc=ca=0,|a|2=a2=1，b|2=b2=1,c|2=c2=1。（1）因为=+=-c+(a-b)=（ab-c),=+=c a，所以=(ab-c)（-c a)=（a2+c2)=，2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2）=，|2=(-c-a)2=c2+a2=，所以|=，|=，co

10、s，=,所以 EF，CG 所成角的余弦值为.（2)因为=+=(ab)+b+c+=(a-b)+b+c+（c a)=a+b+c，所以|2=(a+b+c）2=a2+b2+c2=，所以 FH 的长为。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy

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