近年年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习(含解析)新人教A.pdf

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1、3。1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 1。设 p：a,b,c 是三个非零向量；q:a,b,c为空间的一个基底,则 p 是 q 的(B)(A）充分不必要条件 (B）必要不充分条件(C）充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析：当非零向量 a，b，c 不共面时，a，b,c可以当基底，否则不能当基底。当a，b，c为基底时，一定有 a,b,c 为非零向量。因此 pq，qp。故选 B。2。在空间直角坐标系 Oxyz 中,下列说法正确的是(D）（A）向量的坐标与点 B 的坐标相同（B)向量的坐标与点 A 的坐标相同(C）向量与向量的坐标相同（D)向量与向量-的坐标相同 解析：因为 A 点不一定为坐

2、标原点，所以 A 不正确;同理 B，C 都不正确；由于=-,故选D.3.有以下三个命题：三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面;若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线；若 a,b 是两个不共线向量,而 c=a+b(，R 且0），则a，b,c构成空间的一个基底.其中真命题的个数是（C）(A）0(B)1(C)2（D)3 解析：正确，中,由平面向量的基本定理可知 a，b,c 共面,故为假命题。选 C。4.若向量a,b,c是空间的一个基底，则一定可以与向量 p=2a+b，q=2a-b 构成空间的另一个基底的向量是(C）（A）a(

3、B)b（C)c(D)a+b 解析:因为 p=2a+b，q=2ab,所以 a=p+q,所以 a,p,q 共面,故 a，p,q 不能构成空间的一个基底,排除 A；因为 b=p q，所以 b，p,q 共面，故 b,p,q 不能构成空间的一个基底，排除B；因为 a+b=p-q,所以 a+b,p,q 共面,故 a+b，p，q 不能构成空间的一个基底，排除 D;故选C。5。如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是(D）（A)a+b+c (B)ab+c(C)a+b+c (D）a+b-c 解析:=+=+=+=a+bc。故选 D。6。已知平行六面体 O

4、ABC OABC,=a,=c,=b,D 是四边形 OABC 的对角线的交点，则(D）（A)=a+b+c （B）=-b a c(C)=ab-c （D)=ab+c 解析:=+=-+（+）=+=ab+c。故选 D。7.如图，在四面体 OABC 中,=a，=b，=c，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA，点 N 为 BC 的中点，则等于（B)（A)a b+c （B）a+b+c（C)a+b-c （D)a+b-c 解析：连接 ON（图略）,=-=(+）-=(b+c)-a=-a+b+c.故选 B。8.若向量 i，j,k 为空间直角坐标系上对应 x 轴，y 轴,z 轴上的单位向量，且设 a=2i-j+3k,

5、则向量 a 的坐标为 。解析：因为 a=2ij+3k，由空间向量的坐标表示可知,坐标(2,1,3）与向量 a=2i-j+3k 对应,故向量 a 的坐标为(2，-1，3).答案:(2,-1，3）9。已 知空 间 的 一个 基 底 a，b,c,m=a b+c,n=xa+yb+2c，若 m 与 n 共线，则x=，y=。解析:因为 m 与 n 共线,所以存在实数,使 m=n,即 ab+c=xa+yb+2c，于是有解得 答案：2-2 10。如图所示,直三棱柱 ABC A1B1C1中,ABAC，D,E 分别为 AA1，B1C 的中点，若记=a,=b,=c,则=(用 a,b，c 表示）。解析:取 BC 中点

6、为 F，连 EF,AF,则 EFBB1，又 ADBB1,所以 EFAD，所以四边形 ADEF 为平行四边形,所以 DEAF,所以=(+)=a+b。答案：a+b 11.若a，b,c是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z，使得 xa+yb+zc=0,则 x,y，z 满足的条件是 .解析:若 x0，则 a=b-c，即 a 与 b,c 共面。由a，b,c是空间的一个基底知 a，b，c 不共面，故 x=0,同理 y=z=0.答案：x=y=z=0 12.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，设=a,=b，=c,E,F 分别是 AD1,BD 的中点。(1）用向量 a,b,c 表示,；(2）若=xa+

7、yb+zc，求实数 x，y,z 的值。解:（1)如图，=+=+-=ab-c，=+=+=（+）+(+）=(ac）。(2)=(+）=(-+）=（c+abc)=a-bc，所以 x=,y=,z=-1.13。如图,已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标。解：建系不同,所得各点的坐标也不同.如图,过 A 作 AG 垂直于平面 BCD,由于 AB=AC=AD，所以 G 为BCD 的中心,过 G 作 GFCD，E 为 CD 的中点,以 G 为原点，,分别为 x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。因为BCD 的边长为 a，所以 BE=a，GE=a.又 BG

8、=a,所以 AG=a，所以 A(0，0,a)，B（0，a，0),C（,a,0）,D(，a,0).14.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,点 E,F 分别在线段 A1D,AC 上,且 EFA1D，EFAC，以 点 D 为坐标原点,DA，DC，DD1分别作为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系（如图所示)。（1)试求向量的坐标;(2)求证:EFBD1。解：（1）因为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，根据题意知，,为单位正交基底,设=i,=j,=k，所以向量可用单位正交基底i，j，k表示，因为=+，与共线，与共线，所以设=,=，则=+=（+）+(-）=(+)+(

9、1-）+=(+）i+(1）j+k,因为 EFA1D,EFAC,即，,所以=0，=0,又=ik，=i+j，所以 整理得 即,解得 所以=i+j-k 所以的坐标是（,-)（2）因为=+=-i-j+k=-,即与共线,又 EF 与 BD1无公共点，所以 EFBD1。15。以棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AB,AD,AA1所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系，则平面 AA1B1B 对角线交点的坐标为(B)(A）（0，)(B)(,0,)（C）(,0)（D)（，）解析:如图,由题意知平面 AA1B1B 对角线交点的横坐标为 AB 的中点值,竖坐标为 AA1 的

10、中点值，纵坐标为 0，所以平面 AA1B1B 对角线交点的坐标为（，0,）.故选 B.16。设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，OG=3GG1,若=x+y+z，则(x，y，z)为(A）(A)(，,)（B）(,)（C）(，,）(D）(,）解析：如图，由已知=(+）=+（+）=+()+（）=+，从而 x=y=z=。故选 A。17.如图在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,M 为 AC 和 BD 的交点，若=a，=b,=c，则=。解析:=-=（+)-(+）=+=a+bc.答案：a+b-c 18.若 a=e1+e2，b=e2+e3,c=e1+e3，d=e1+2e

11、2+3e3,且 e1，e2,e3不共面,当 d=a+b+c 时,+=.解析：由已知 d=(+）e1+(+）e2+(+）e3.所以故有+=3.答案:3 19。如图,在平行六面体 ABCD ABCD中，E，F，G 分别是 AD，DD,DC的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1）EGAC;（2）平面 EFG平面 ABC。证明：取基底，,（1）因为=+=+，=+=2,所以 EGAC.(2)因为=+=+，=+=2,所以 FGAB，由（1）知 EGAC，所以平面 EFG平面 ABC。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有

12、疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.