2017年高考数学走出题海之黄金30题系列.pdf

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1、 2017 年高考数学走出题海之黄金 30 题系列 1.设全集UR，集合02xx，1x x，则集合()UCAB（）A,2 B,1 C2,D2,【答案】C【解析】试题分析：集合02xx，1x x，(,2AB ，()(2,)UCAB.2.命题“12sin,xRx”的否定是()A.12sin,xRx B.12sin,xRx C.12sin,0 xRx D.12sin,0 xRx【答案】C【解 析】先 改 写 量 词，再 对 结 论 进 行 否 定，故“12sin,xRx”的 否 定 是“12sin,0 xRx”3.已知函数()f x为奇函数，且当0 x 时，21()f xxx，则(1)f （A）2

2、（B）0 （C）1 （D）2 【答案】A【解析】试题分析：由已知2)1()1(ff 4.函数 221xxf xx的定义域是（）A0,2 B0,2 C 0,11,2 D 0,11,2 【答案】D【解析】试题分析：由22010 xxx，解得021xx，故01x，或12x，函数()f x的定义域为 0,11,2.5.设0.14a，3log 0.1b，0.10.5c，则（）Aabc Bacb Cbac Dbca【答案】B【解析】试题分析：设函数4xy，3logyx，0.5xy，由指数函数、对数函数的性质可知1a，0b，01c 6.曲线323yxx 在点1x 处的切线方程为 【答案】310 xy 【解析

3、】试题分析：236yxx，1|363xy ，切点（1，2），所求切线方程为23(1)yx，即310 xy 7.下列图象中，可能是函数xxxxeeyee图象的是 【答案】A【解析】0)0(f，所以排除选项 C,D；12111222xxxeeey在定义域上为增函数，所以选 A.8.在ABC 中,已知3C,4b,ABC 的面积为2 3,则c=（）A.7 B.2 2 C.2 3 D.2 7【答案】C【解析】试 题 分 析：232232sin21aaCabS，由 余 弦 定 理 得12cos2222Cabbac，故32c 9.已 知 函 数()sin(2)f xx（的 图 象 向 左 平 移6个 单 位

4、 后 得 到()cos(2)6g xx的图象，则的值为（）A.23 B.3 C.3 D.23【答案】C.【解析】试题分析：由题意得()=sin2()6g xx，又2()cos(2)=sin(2)63g xxx，2+=233k，即=23k，kZ，=3，故选 C.10.已知(1,3)a ，(1,)bt，若(2)aba，则|b .【答案】5【解析】试题分析：(1,3)a ，(1,)bt，2(3,32)abt，(2)aba，(2)0aba，即(1)(3)3(32)0t，即2t，(1,2)b，22|125b.11.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，AE 与 BD 交于点 M，2AB

5、,1AD，且 16MA MB，则AB AD 【答案】34【解析】试题分析：2121122()()()()()()3333333MA MBMDDADBBDDADBADABDAABAD 22212242221()()333399996ADABABADADABAB ADAB AD ,AB AD34 12.设等比数列 na中，前 n 项和为nS，已知38S，67S，则789aaa（A）578 （B）558 （C）18 （D）18【答案】C【解析】试 题 分 析：因 na为 等 比 数 列，故69363,SSSSS也 成 等 比 数 列，所 以)(693236SSSSS 8169 SS 13.已知 x，

6、y 满足22yxxyzxyxa，且的最大值是最小值的 4 倍，则a的值是（）A.34 B.14 C.211 D.4【答案】B 14.若过点2 3,2P 的直线与圆224xy有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A.0,6 B.0,3 C.0,6 D.0,3【答案】B【解析】试题分析：设直线l过点2 3,2P，直线l的倾斜角为，当2时，直线l的斜率tank，则直线l的方程可写成：22 3yk x 即：2 320kxyk，由直线l与圆224xy有公共点，得222 322(1)kk ，830k k，解得 030tan3,0,k，03，故选 B 15.已知0a,直线(2)40axby与直线(2)3

7、0axby互相垂直，则ab的最大值为 A0 B2 C4 D2【答案】D【解析】试题分析：由直线垂直可得2220abb，变形可得224ab，由基本不等式可得2242abab，2ab，当且仅当2ab时取等号，ab 的最大值为：2.16.圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a=【答案】-4；【解析】试题分析：圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，r22a，则圆心(1，1)到直线 xy20 的距离为|-1+1+2|22，由 22(2)22a，得 a4.17.已知双曲线22:13xCy的左，右焦点分别为1F，2F，过点2F 的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且

8、点P的横坐标为2，则1PFQ的周长为（）A16 33 B5 3 C14 33 D4 3【答案】A【解析】试题分析：因为223 12cab，所以2F 2,0，因为点P的横坐标为2，所以Qx轴，由22213y，解得33y ，所以2 3Q3，因为点、Q在双曲线C上，所以12FF2 3，12QFQF2 3，所以11222 314 3FQF4 3FQF4 3Q4 333 ，所以1PFQ的周长 为1114 32 316 3FQFQ333，故选 A 18.设斜率为22的直线l与双曲线)0,0(12222babyax交于不同的两点,P Q，若点,P Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是

9、 【答案】2【解析】试题分析：根据题意可知：22,bbPcQ caa，且22PQk即：222bac再结合：222cab，解得2ca，所以答案为：2.19.已知nm,是两条不同的直线，,是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若,/则 B.若/,/mn mn则 C.若/,/,/mn mn则 D.若/,/mn mn则【答案】D.【解析】试题分析：用反例来说明：对于选项 A，在正方体1111DCBAABCD 中，设平面11AADD，平面11AABB，平面ABCD，而AB，并不满足，所以选项 A 不正确；对于选项 A，在正方体1111DCBAABCD 中，设平面11AADD，平面11AABB，1A

10、Am，1BBn，此时也不满足，所以选项 B 不正确；对于选项 C，1BBm，1AAn，平面11AADD，此时n，所以选项 C 不正确；对于选项 D，因为mn，m，所以n，又因为n，所以，所以选项 D 正确.20.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 A.37 B.35 C.33 D.31 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥 的 底 面 半 径 都 为3，圆 锥 的 母 线 长 为5，则 几 何 体 的 表 面 积 为33151822RlRS.21.有 5 名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种

11、数是(A)8 (B)12(C)36 (D)48 【答案】B【解析】试题分析：5 名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻，只需乙、丙分别在甲的两边相邻位置，可采用“捆绑法”解决，但乙、丙可以换位置，12233A.22.10)1)(1(xx 展开式中3x的系数为_【答案】-75.【解析】试题分析：因为10)1(x的展开式的通项为：rrrxCT)(101，当第一项取1时，此时10)1)(1(xx展开式中3x的系数为10)1(x的展开式的3x的系数即3103310)1(CC；当第二项取x时，此时10)1)(1(xx展开式中3x的系数为10)1(x的展开式的2x的系数即2102210)1(CC；所以

12、所求式子中展开式中3x的系数为-75.故应填-75.23.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A.2016 B.2 C.12 D.1 【答案】A【解析】试题分析：第一次循环0,2ks，第一次循环0,2ks，第一次循环0,2ks，第一次循环0,2ks，故应选 A.24.若复数z与23i互为共轭复数，则复数z的模|z().A13 B5 C7 D 13【答案】A【解析】试题分析：复数bia 与bia 互为共轭复数，则复数iz32，进而复数z的模|z.133-222）（25.在直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为 cossin,(cossinxy为参数)和2,(xttyt为参数).以

13、原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C与2C的交点的极坐标为 【答案】2,4 26.已知()f x a b，其中(2cos,3sin 2)xxa，(cos,1)xb，Rx（）求()f x的单调递减区间；（）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，()1f A ，7a，且向量(3,sin)Bm与(2,sin)Cn共线，求边长 b 和 c 的值【答案】（）,63Zkkk；（）3,2bc【解析】试 题 分 析：（）由 向 量 数 量 积 定 义 及 三 角 变 换 公 式 可 得2()2cos3sin 21cos23sin 212cos(2)3f xxxxxx )

14、32cos(2x，令2223kxk可得63kxk，故()f x的 单 调 递 减 区 间 为,63Zkkk；（）12cos 213fAA 3A，利用余弦定理可得22222cos37abcbcAbcbc，又(3,sin)Bm与(2,sin)Cn共线2sin3sinBC23bc，从而解得3,2bc 试题解析：（）由题意知2()2cos3sin 21cos23sin 212cos(2)3f xxxxxx ，cosyx在区间2,2kk(kZ)上单调递减，令2223kxk，得63kxk，()f x的单调递减区间,63Zkkk （）12cos 213fAA ，cos 213A，又72333A，23A，即3

15、A，7a，由余弦定理得22222cos37abcbcAbcbc 因为向量(3,sin)Bm与(2,sin)Cn共线，所以2sin3sinBC，由正弦定理得23bc，3,2bc 27.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时 间在 68 分钟

16、，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX 下面临界值表仅供参考：22()()()()()n adbcKab cdac bd.【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）18；（3）X的分布列为：，1512110+1+22828282EX.【解析】试题解析：（1）由表中数据得2K的观测值 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 2()P Kk 0.15 0.10 0.05

17、 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 X 0 1 2 P 1528 1228 128 225022 128 8505.5565.02430 20 30 209K，2 分 根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；3 分（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为5768xy(如图所示)，4分 设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为xy，5 分 由几何概型11 112()2 28P A，即乙比甲先解答完的概率为18；7 分（3）由题可知在选择

18、做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C种，恰有一人被抽到有1126=12CC种；两人都被抽到有221C种，8 分 X可能取值为0,1,2，15(0)28P X，123(1)287P X，1(2)28P X X的分布列为：，11 分 1512110+1+22828282EX.12 分 yx11O 28.已知na是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a,1510aa，数列nc的前n项和为1nnSa()Nn，数列 nb满足2nnnbc.()求数列 na的通项公式；()求数列 nb的前n项和.【答案】()21(*)Nnann；()24

19、(12)2412nnnT【解析】X 0 1 2 P 1528 1228 128 试题解析：()设等差数列 na的公差为d,则依题知0d.由315210aaa,又可得35a.由2421a a,得(5)(5)21dd,可得2d.所以1321aad.可得21(*)Nnann 6 分()由()得12nnSan 当2n 时,122(1)2nnncSSnn 当1n 时,112cS满足上式，所以2(*)Nncn 所以12222nnnnnbc，即12nnb,因为211222nnnnbb，14b 所以数列 nb是首项为4,公比为2的等比数列.所以前n项和24(12)2412nnnT 12 分 29.如图，在斜三

20、棱柱111ABCABC中，侧面11ACC A与侧面11CBBC都是菱形，011160ACCCC B，2AC.（）求证：11ABCC；（）若16AB，求二面角11CABA的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）105.【解析】试题解析：（）证明：连 AC1，CB1，则ACC1和B1CC1皆为正三角形 取 CC1中点 O，连 OA，OB1，则 CC1OA，CC1OB1，则 CC1平面 OAB1，则 CC1AB1 4 分（）由（）知，OAOB13，又 AB16，所以 OAOB1如图所示，分别以 OB1，OC1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则 C(0，1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0

21、，3)，6 分 设平面 CAB1的法向量为 m(x1，y1，z1)，因为 1(3,0,3)AB，(0,1,3)AC ，所以11111130300130 xyzxyz ，取 m(1，3，1)8 分 设平面 A1AB1的法向量为 n(x2，y2，z2)，因为 1(3,0,3)AB，1(0,2,0)AA，所以22211130300200 xyzxyz ，取 n(1，0，1)10 分 则210cos,5|52m nm nm n，因为二面角 C-AB1-A1为钝角，所以二面角 C-AB1-A1的余弦值为105 12 分 30.已知函数).1,0(ln)(2aaaxxaxfx ()求函数)(xf在点)0(

22、,0(f处的切线方程；()求函数)(xf单调递增区间；()若存在1,1,21xx,使得eexfxf(1)()(21是自然对数的底数),求实数a的取值范围.【答案】（）1y;（）(0,)+；（）1(0,e,)ea+.【解析】试题解析：解：（）因为函数2()ln(0,1)xf xaxxa aa+,所以()ln2lnxfxaaxa+,(0)0f,又因为(0)1f,所以函数()f x在点(0,(0)f处的切线方程为1y 3 分()由,()ln2ln2(1)lnxxfxaaxaxaa+.令aaxxhxln)1(2)(，则0ln2)(2aaxhx 所以当0,1aa时,()fx在R上是增函数5 分 又(0)

23、0f,所以不等式()0fx的解集为(0,)+故函数()f x的单调增区间为(0,)+8 分（）因为存在12,1,1x x ,使得12()()e 1f xf x成立,而当 1,1x 时,12maxmin()()()()f xf xf xf x,所以只要maxmin()()e1f xf x即可.9 分 又因为x,()fx,()f x的变化情况如下表所示:x(,0)0(0,)+()fx 0+()f x 减函数 极小值 增函数 所以()f x在 1,0上是减函数,在0,1上是增函数,所以当 1,1x 时,f x的最小值 min01f xf,f x的最大值 maxf x为 1f 和 1f中的最大值 因为11(1)(1)(1 ln)(1ln)2lnffaaaaaaa+,令1()2ln(0)g aaa aa,因为22121()1(1)0g aaaa+,所以1()2lng aaaa在0,a上是增函数.而(1)0g,故当1a 时,0g a,即(1)(1)ff;当01a时,0g a,即(1)(1)ff.所以,当1a 时,(1)(0)e1ff,即lne1aa,函数lnyaa在(1,)a上是增函数,解得ea11 分 当01a时,(1)(0)e1ff,即1lne 1aa,函数1lnyaa在(0,1)a上是减函数,解得10ea.12 分 综上可知,所求a的取值范围为1(0,e,)ea+13 分.