等差数列性质.pdf

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1、6.26.2 等差数列等差数列一课程目标一课程目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.二知识梳理二知识梳理1.1.定义定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.数学语言表达式：an1and(nN N*，d 为常数)，或 anan1d(n2，d 为常数).2.2.通项公式通项公式若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1

2、(n1)d.3.3.前前n项和公式项和公式等差数列的前 n 项和公式：Sn na1d 为公差，an为第 n 项).n(a1an)n(n1)d 其中 nN N*，a1为首项，223.3.等差数列的常用性质等差数列的常用性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前 n 项和.(1)通项公式的推广：an am(nm)d(n,mN*)*)(2)若 mnpq(m，n，p，qN N*)，则有am an ap aq。特别的，当mn 2p时，am an 2ap(3)等差数列an的单调性：当 d0 时，an是递增数列；当 d0 时，an是递减数列；当 d0 时，an是常数列.(4)若an是等差数列，公差为 d，则

3、 ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为 md 的等差数列.(5)若 an,bn 是等差数列，则 panqbn 仍是等差数列.4.与等差数列各项和相关的性质（1）若 an 是等差数列，则 公差的Sn其首项与 an 的首项相同，公差为 an 的 也是等差数列，n1。2（2）数列Sm,S2mSm,S3mS2m也是等差数列.（3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。a.若项数为2n，则S偶偶S奇奇 nd,S奇奇an。S偶偶an1S奇奇n。S偶偶n1b.若项数为2n1，则S偶偶 n(n1)an，S奇奇 nan，S偶偶S奇奇 an,（4）若两个等差数列 an,bn 的前n项和分别为Sn,T

4、n，则anS2n1bnT2n15.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系：（1）S d2dn(a1)n，数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数).22（2）在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若a10，d0，则 Sn存在最小值.三考点梳理三考点梳理1.等差数列的概念及运算例 1.(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A.100例 2.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，S36，S412，则 S6_.练习 1.(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和.若 S84S4，则a10等于()17

5、A.22.等差数列的性质例 1.(2015全国卷)设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5()A.5B.7C.9D.1119B.2C.10D.12B.99C.98D.97例 2.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9等于()A.63例 3.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13例 4.(2015广东卷)在等差数列an中，若 a3a4a5a6a725，则 a2a8_.例 5.(2016武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差

6、d等于()A.1B.2Sn2n3例 6.设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数n 都有，则Tn4n3a9a3的值为_.b5b7b8b43.等差数列与函数例 1.等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a113，S3S11，当 Sn最大时，n 的值是()A.5B.6C.7D.8C.3D.4B.12C.11D.10B.45C.36D.27a69例 2.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且，则当 Sn取最大值时，n 的值为()a115A.9B.10C.11D.12例 3.已知等差数列an满足 a1a2a3a1010，则有()A.a1a1010B.a2a10

7、00C.a3a990D.a5151例 4.已知正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1224，则 a6a7的最大值为()A.36B.6C.4D.2例5.设Sn是公差为d（d 0）的无穷等差数列 an 的前n项和，则下列命题错误的是（A.若 d0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则 d0D.若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn为递增数列）例 6.设等差数列an满足 a27，a43，Sn是数列an的前 n 项和，则使得 Sn0 成立的最大的自然数 n 是()A9B10C11D12方法总结：求等差数列前方法总结：求等差数列前 n n 项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方法：(1)(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)(3)将等差数列的前将等差数列的前 n n 项和项和 S Sn nAnAn2 2BnBn(A A，B B 为常数为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质看作二次函数，根据二次函数的性质求最值求最值.