(2019-2020)【重点资料】高中数学-第三章-导数及其应用-3.4-生活中的优化问题举例课时作业-新人教A版选修.pdf

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1、3.43.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例【选题明细表】知识点、方法几何中的最值问题用料最省、费用最省问题利润最大问题其他问题【基础巩固】题号1,4,106,8,115,7,92,31.一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x(时,x 的值为(B)(A)30 (B)40 (C)50(D)602)(0 x60),则当箱子的容积最大解析:V(x)=-x+30 x,V(x)=-x+60 x,令 V(x)=0,得 x=40(x=0 舍去),且当 0 x0,当 40 x60 时 V(x)0,故 V(x)在 x=40 时取得最大值.故选 B.2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油

2、进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单322位:)为 f(x)=x-x+8(0 x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)32(A)8(B)(C)-1(D)-822解析:原油温度的瞬时变化率为 f(x)=x-2x=(x-1)-1(0 x5),所以当 x=1 时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选 C.3.将 8 分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为(B)(A)2 和 6(B)4 和 4(C)3 和 5(D)以上都不对3332解析:设一个数为 x,则另一个数为 8-x,其立方和 y=x+(8-x)=8-192x+24x 且 0 x8,y=48x-192.令 y=

3、0,即 48x-192=0,解得 x=4.当 0 x4 时,y0;当 40,所以当 x=4 时,y取得极小值,也是最小值.故选 B.4.如果圆柱轴截面的周长l 为定值,则体积的最大值为(A)(A)()3(B)()3(C)()3(D)()3解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则 4r+2h=l,所以 h=,V=r h=r-2r(0r0,所以 r=是其唯一的极值点.所以当 r=时,V 取得最大值,最大值为().故选 A.5.(2018石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的

4、存款能全部放贷出去.若存款利率为 x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为(A)(A)3.2%(B)2.4%(C)4%(D)3.6%23解析:依题意知,存款额是 kx,银行应支付的存款利息是kx,银行应获得的贷款利息是22320.048kx,所以银行的收益是y=0.048kx-kx(0 x0.048),故y=0.096kx-3kx.令y=0,解得 x=0.032 或 x=0(舍去).当 0 x0;当 0.032x0.048 时,y0),则 L=2-.令 L=0,得 x=16.因为 x0,所以 x=16.当 x=16 时,Lmin=64,此时堆料场的长为答案:32,16=32(米

5、).7.(2018长春高二月考)某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+x(万元),已知产3品单价的平方与产品件数x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产品件数定为件时,总利润最大.解析:设产品的单价为 p 万元,根据已知,可设 p=,其中 k 为比例系数.因为当 x=100 时,p=50,所以 k=250 000,2所以 p=2,p=,x0.设总利润为 y 万元,则 y=x-1 200-x=5003-x-1 200.3求导数得,y=-x.2令 y=0 得 x=25.故当 x0;当 x25 时,y0.因此当 x=25 时,函数 y 取得极大值,也是最大值.

6、答案:258.(2018南宁高二检测)现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知轮船的最大航行速度为35 海里/时,A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6),其余费用为每小时 960 元.(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?解:(1)依题意得 y=(960+0.6x)=2+300 x,且由题意知,函数的定义域为(0,35,即 y=+300 x(0 x35).(2)由(1)知,y=-+300,令 y=0

7、,解得 x=40 或 x=-40(舍去).因为函数的定义域为(0,35,所以函数在定义域内没有极值点.又当 0 x35 时,y0;当 5x12 时,g(x)0,所以当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(元).综上,5 月份的月利润最大,是 3 125 元.故选 B.10.(2018杭州高二检测)在半径为 r 的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为(D)(A)(B)r (C)r(D)r解析:设梯形的上底长为 2x(0 x0;当 xr 时,S0),y=-+,令 y=0,得 x=5 或 x=-5(舍去).当 0 x5 时,y5 时,y0.所以当 x=5 时,y 取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5 千米处时,两项费用之和最小.答案:5