近年年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂.pdf

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1、2.3。3 直线与平面垂直的性质 2。3。4 平面与平面垂直的性质 1.已知直线 l平面，直线 m 平面，有下列四个命题:若,则 lm;若,则 lm;若 lm，则；若 lm,则，其中，正确命题的序号是(C)(A)(B)(C）(D)解析:当 l,时,l,又 m,所以 lm,故正确；当，l时,l或l，又 m,则 l 与 m 可能相交、平行、异面，故不正确；因为 lm，l,所以 m,又 m，所以，故正确;显然不正确.2。已知 a,b 为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个 命题：ab，ab；ab，ab；a，a；a,a。其中不正确的有(D)(A)1 个（B）2 个 （C)3 个（D）4 个 解析

2、：中 b 有可能成立，所以不正确；中 b 有可能成立，故不正确；中 a 有可能成立，故不正确；中 a 有可能成立，故不正确.综上均不正确,故选 D.3。已知直线 m,n 和平面，,若，=m,要使 n，则应增加的条件是（C)(A）n,且 mn(B)n(C）n 且 nm （D)n 解析：由面面垂直的性质定理可知选 C。4.若平面平面，平面平面,则（D）(A)(B)(C）与相交但不垂直(D)以上都有可能 解析:，则或或与相交但不垂直.故选 D.5.已知 m，n 是两条不同直线,是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)（A)若,垂直于同一平面，则与平行(B）若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n

3、平行（C)若，不平行,则在内不存在与平行的直线(D)若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析:若，垂直于同一个平面，则,可以都过的同一条垂线，即，可以相交，故 A 错；若 m,n 平行于同一个平面,则 m 与 n 可能平行,也可能相交,还可能异面，故 B错；若，不平行，则，相交，设=l,在内存在直线 a，使 al，则 a，故 C 错;从原命题的逆否命题进行判断,若 m 与 n 垂直于同一个平面，由线面垂直的性质定理知 mn，故 D 正确.6。如图，PA矩形 ABCD，下列结论中不正确的是（A）(A）PDBD (B)PDCD（C）PBBC （D)PABD 解析：因为 PA矩

4、形 ABCD，所以 PABD，若 PDBD，则 BD平面 PAD，又 BA平面 PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立，故 A 不正确；因为 PA矩形 ABCD,所以 PACD,ADCD,所以 CD平面 PAD，所以 PDCD,同理可证 PBBC.故选 A.7。设 l 是直二面角,直线 a 平面，直线 b 平面，a，b 与直线 l 都不垂直,那么(C)(A)a 与 b 可能垂直，但不可能平行（B）a 与 b 可能垂直，也可能平行（C)a 与 b 不可能垂直，但可能平行(D)a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 解析：当 al,bl 时,ab。若 ab,可在 a 上任取点 A,过点

5、A 在内作 l 的垂线 c，如图,则 c，所以 cb。因为 ac=A,所以 b，所以 bl，这与已知矛盾。所以 a 与 b 不可能垂直.8.如图所示，平面平面,A,B，AB 与平面,所成的角分别为 45和 30,过点 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足分别为 A,B，则 ABAB等于（A）(A）21(B）31(C）32（D)43 解析：如图,连接 AB，AB.由已知,得 AA，ABA=30，BB,BAB=45。设 AB=a，则 BA=a,BB=a,在 RtBBA中，AB=a,所以 ABAB=21。故选 A.9.设,是两个不同的平面，l 是一条直线，给出四个命题:若 l，,则 l；若 l,，则

6、 l；若 l，,则 l；若 l，则 l.则正确命题的个数为 。解析:错,可能有 l；错，可能有 l;正确;错,也可能有 l,或 l 或 l与相交。答案:1 10。如图，四面体 P ABC 中,PA=PB=13,平面 PAB平面 ABC,ACB=90，AC=8，BC=6，则 PC=。解析：取 AB 的中点 E，连接 PE,EC。因为ACB=90，AC=8，BC=6，所以 AB=10，所以 CE=5。因为 PA=PB=13，E 是 AB 的中点，所以 PEAB,PE=12。因为平面 PAB平面 ABC,平面 PAB平面 ABC=AB,所以 PE平面 ABC.因为 CE 平面 ABC，所以 PECE

7、.在 RtPEC 中,PC=13.答案:13 11。设 m，n 为空间的两条直线，为空间的两个平面,给出下列 命题:若 m，m，则；若 m，m，则;若 m，n，则 mn;若 m,n，则 mn。上述命题中，其中假命题的序号是 .解析:若 m，m,则与相交或平行都可能,故不正确;若 m，m，则，故正确;若 m，n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故不正确;若 m,n,由线面垂直的性质定理知 mn,故正确。答案：12。如图所示,三棱锥 P ABC 的底面在平面上,且 ACPC,平面 PAC平面 PBC,P，A,B 是定点,则动点 C 运动形成的图形是 .解析:因为平面 PAC平面 PBC,ACPC

8、,AC 平面 PAC，平面 PAC平面 PBC=PC。所以 AC平面 PBC.又 BC 平面 PBC，所以 ACBC，所以ACB=90.所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆（除去 A,B 两点）.答案:以 AB 为直径的圆（除去 A,B 两点）13。如图,四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD.(1)证明：平面 PBD平面 PAC；（2）设 AP=1，AD=，CBA=60，求 A 到平面 PBC 的距离.（1)证明:因为四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,所以 BDAC，因为 PA平面 ABCD，所以 BDPA,因为 ACPA=A，所以

9、 BD平面 PAC,因为 BD 平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAC.（2）解：因为 AP=1,AD=,CBA=60，所以 AC=,SABC=(）2=,因为 PC=PB=2,所以 SPBC=，设 A 到平面 PBC 的距离为 h,因为=，所以 h=1,解得 h=。所以 A 到平面 PBC 的距离为。14。如图,在三棱锥 V ABC 中,平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC,且AC=BC=,O，M 分别为 AB,VA 的中点.(1）求证:VB平面 MOC;（2)求证：平面 MOC平面 VAB;(3)求三棱锥 V ABC 的体积.(1)证明：因为 O,M 分别为 AB,V

10、A 的中点,所以 OMVB。又因为 VB 平面 MOC,所以 VB平面 MOC.（2）证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC 平面 ABC，所以 OC平面 VAB。所以平面 MOC平面 VAB.(3)解:在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC=，所以 AB=2，OC=1,所以 SVAB=,又因为 OC平面 VAB,所以=OCSVAB=。又因为三棱锥 V ABC 的体积与三棱锥 C VAB 的体积相等，所以三棱锥 V ABC 的体积为.15。如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABC平面 BCDE，CDE=BED=90,AB=

11、CD=2，DE=BE=1,AC=.(1)证明:AC平面 BCDE;（2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.(1)证明：如图，连接 BD,在直角梯形 BCDE 中，由 DE=BE=1，CD=2,得 BD=BC=.由 AC=，AB=2,得 AB2=AC2+BC2，即 ACBC。又平面 ABC平面 BCDE,平面 ABC平面 BCDE=BC,AC 平面 ABC,所以 AC平面 BCDE.(2)解:在直角梯形 BCDE 中，由 BD=BC=，DC=2，得 BDBC，又平面 ABC平面 BCDE，BD 平面 BCDE。所以 BD平面 ABC.作 EFBD,与 CB 延长线交于点 F，连接

12、AF,则 EF平面 ABC.所以EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角。在 RtBEF 中，由 EB=1，EBF=45，得 EF=，BF=.在 RtACF 中，由 AC=，CF=，得 AF=。在 RtAEF 中,由 EF=,AF=，得 tanEAF=。所以直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是.16。如图所示，平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=，BDCD,将其沿对角线 BD 折成四面体 A BCD，使平面 ABD平面 BCD,则下列说法中不正确的是(D）(A）平面 ACD平面 ABD (B)ABCD(C）平面 ABC平面 ACD （D)AB平面 ABC 解析

13、：因为 BDCD,平面 ABD平面 BCD，所以 CD平面 ABD,因为 CD 平面 ACD，所以平面 ACD平面 ABD,故 A 正确；因为平面四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=1,BD=，所以 ABAD,又 CD平面 ABD，所以 ABCD，故 B 正确;因为 ABAD，ABCD,所以 AB平面 ACD，又因为 AB 平面 ABC，所以平面 ABC平面 ACD,故 C 正确;因为 AB 平面 ABC，所以 AB平面 ABC 不成立,故 D 错误.故选 D。17.如图所示，PA 垂直于O 所在的平面，AB 是O 的直径,C 是O 上的一点,E，F 分别是点A 在 PB，PC 上的射影,

14、给出下列结论:AFPB,EFPB，AFBC,AEBC,其中正确的个数是（C）(A）1(B）2(C)3(D)4 解析：因为 AB 是O 的直径,所以 ACBC。因为 PA 垂直于O 所在的平面，所以 PABC，所以 BC平面 PAC，所以 BCAF,所以正确。又 AFPC,所以 AF平面 PBC,所以 AFPB，所以正确。又 AEPB，所以 PB平面 AEF,所以 EFPB,所以正确.若 AEBC，则由 AEPB,得 AE平面 PBC，此时 E,F 重合，与已知矛盾,所以错误.故选 C。18。已知直二面角 l,点 A，ACl，点 C 为垂足,B,BDl,点 D 为垂足。若AB=2,AC=BD=1

15、,则 CD 的长为 .解析：如图，连接BC。因为二面角 l 为直二面角，AC,且 ACl，=l,所以 AC。又 BC，所以 ACBC，所以 BC2=AB2-AC2=3.又 BDCD，所以 CD=。答案：19.如图，边长为 2a 的正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G。已知AED 是AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号）.动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;三棱锥 A FED 的体积有最大值;恒有平面 AGF平面 BCED;异面直线 AE 与 BD 不可能互相垂直。解析:在正三角形 ABC 中,A

16、F 为中线，DE 为中位线,所以 AFBC,DEBC，所以 DEAG,DEGF,又 AGGF=G，所以 DE平面 AGF.又 DE 平面 BCED,所以平面 AGF平面 BCED,故正确。过 A作 AHAF，垂足为点 H,则 AH 平面 AGF，又平面 AGF平面 BCED，平面 AGF平面 BCED=AF，所以 AH平面 ABC，故正确。三棱锥 A FED 的底面FED 的面积是定值，高是点 A到平面 FED 的距离。易证当 AG平面 FED 时距离（即高）最大，三棱锥 A FED 的体积最大，故正确.易知 BDEF,所以AEF 是异面直线 AE 与 BD 所成的角.因为正三角形 ABC 的

17、边长为 2a,所以 AE=a,EF=a.而 0AFAF,所以 AF 的长度的取值范围是(0，a)，当 AF=a 时，AE2+EF2=AF2,则AEF=90,此时直线 AE 与 BD 互相垂直，故错误。答案:20.如图，在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是DAB=60且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为等边三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD。(1)求证：ADPB;(2）若 E 为 BC 的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF平面 ABCD？并证明你的结论.(1)证明:设 G 为 AD 的中点,连接 PG,BG.因为PAD 为等边三角形,所以 PGAD。在菱形 AB

18、CD 中，DAB=60,G 为 AD 的中点，所以 BGAD.又 BGPG=G,所以 AD平面 PGB。因为 PB 平面 PGB，所以 ADPB.(2）解:当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD。证明：取 PC 的中点 F,连接 DE,EF，DF.则 EFPB，所以可得 EF平面 PGB。在菱形 ABCD 中,GBDE，所以可得 DE平面 PGB。而 EF 平面 DEF，DE 平面 DEF,EFDE=E,所以平面 DEF平面 PGB.由(1）得 PG平面 ABCD,而 PG 平面 PGB，所以平面 PGB平面 ABCD，所以平面 DEF平面 ABCD.尊敬的读者：本文由我和

19、我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.