随机过程作业题及参考答案(第一章).pdf

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1、 ！第一章 随机过程基本概念 P39 1.设随机过程 0cosX tXt，t ，其中0是正常数，而X是标准正态变量。试求 X t的一维概率分布。解：1 当0cos0t，02tk，即0112tk（kz）时，0X t，则 01P X t.2 当0cos0t，02tk，即0112tk（kz）时，0 1XN，0E X，1D X.￥00coscos0E X tE XtE Xt.22000coscoscosD X tD XtD Xtt.200 cosX tNt，.则2202cos012cosxtf xtet；.2.利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 cos2tX tt，出现正面，出现反面 假定“出现正

2、面”和“出现反面”的概率各为12。试确定 X t的一维分布函数12F x；和1F x；，以及二维分布函数12112F xx，；，。】解：12X 0 1 kp 12 12 001110122211，；，xF xP Xxxx 1X 1 2 kp 12 12 0111112212 ，；，xF xP Xxxx 随机矢量 112，XX的可能取值为01，1 2，.而 1101122，P XX，1111222，P XX.1212111122，；，F xxP XxXx 1212121200110110122112 ，或，且或且，且xxxxxxxx 3.设随机过程 X tt ，总共有三条样本曲线 11X t，2

3、sinX tt，3cosX tt，且 12313PPP。试求数学期望 EX t和相关函数12XRt t，。解：11111sincos1 sincos3333EX ttttt.1212XRt tE X tX t，12121111 1sinsincoscos333tttt 121211 sinsincoscos3tttt 1211cos3tt.4.设随机过程 XtX te，（0t），其中X是具有分布密度 f x的随机变量。试求 X t的一维分布密度。解：X t的一维分布函数为：1lnln；XtF x tP X txP exPXtxP Xxt 111ln1ln P XxFxtt.X具有分布密度 f

4、x，X t的一维分布密度为：11111lnln ；fx tF x tfxfxtxttxt.P40 5.在题 4 中，假定随机变量X具有在区间0 T，中的均匀分布。试求随机过程的数学期望 EX t和自相关函数12XRt t，。解：由题意得，随机变量X的密度函数为 100XxTfxT，其它 由定义，000111TTXttxtxtxTEX tE eedxedtxeTTtTt 1111TtTteeTtTt.（0t）12121212X ttXtXtXRt tE X tX tE eeE e，1212120012111TTx ttx ttedxedx ttTT ttT 121201212111x ttT t

5、tTeeT ttT tt 121211T tteT tt.9.给定随机过程 X tt ，。对于任意一个数x，定义另一个随机过程 10X txY tX tx，试证：Y t的数学期望和相关函数分别为随机过程 X t的一维分布和二维分布函数（两个自变量都取x）。证明：设1fx t，和21212fxxtt，；，分别为 X t的一维和二维概率函数，则 111xYmtE Y ty t fx t dxfx t dxF x t，.1212122121212YRt tE Y t Y ty y fxxttdx dx，；，12212121221212xxfxxttdx dxFxxtt，；，；，.若考虑到对任意的tT

6、，Y t是离散型随机变量，则有 11100YmtE Y tP Y tP Y tP X txF x t ，.1212YRt tE Y t Y t，12121 1111 010P Y tY tP Y tY t ，12120 1010 000P Y tY tP Y tY t ，112221212P X txX txFxxtt，；，.因此，Y t的数学期望和相关函数分别为随机过程 X t的一维分布和二维分布函数。P41 14.设随机过程 X tXYt，t ，而随机矢量X Y，的协方差阵为 2122，试求 X t的协方差函数。解：依定义，利用数学期望的性质可得 12XCt t，1122XYXYEXYtm

7、m tXYtmm t 1122XYXYEXmYtm tXmYtm t 2XXXYEXmXmEXmtYm 11 2YXYYE t YmXmE t tYmYm 211 2XXXYYXYYCt Ct Ct t C 221121 22ttt t.15.设随机过程 2X tXYtZt，t ，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为 1。试求 X t的协方差函数。解：121122XXXCt tEX tmtX tmt，222211112222XYZXYZEXYtZtmm tm tXYtZtmm tm t X，Y，Z的数学期望均为 0，即0Xm，0Ym，0Zm，将其代入式，得：22121

8、122XCt tEXYtZtXYtZt，2222222 2 22211 21 211 21 2E XXYtXZtXYtY t tYZt tXZtYZt tZ t t 2222222 2 212121 21 21 21 2E XXY ttXZ ttY t tYZ t tt tZ t t 22D XE XEX，2221 01E XD XEX.同理，21E Y，21E Z.X，Y，Z相互独立，0E XYE X E Y.同理，0E XZ，0E YZ.将上述结果代入式，得 12XCt t，2222222 2212121 21 21 21 2E XttE XYttE XZt t E Yt tt tE YZt t E Z 2 21 2121t tt t.）