IASK高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程.pdf

《IASK高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《IASK高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程.pdf（48页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 1/48 第九章直线与圆的方程 第一节直线的方程与两条直线的地址关系 题型倾斜角与斜率的计算 年 （辽宁文）已知点在抛物线：的准线上，记的焦点为，则直线 的斜率为（）题型直线的方程 年 （）已知直线 过圆的圆心，且与直线垂直，则 的 福建文 方程是（）年 （重庆文 ）若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 处的切线方程为 分析，所以，所以切线方程为化简得 题型两直线的地址关系 年 （四川文）设，过定点 的动直线和过定点的动直线 交于点，则的取值范围是（）题型 有关距离的计算及应用 年 （上海文），则的距离为 由题意 分析 IASK_高考

2、数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 2/48 题型 对称问题暂无 第二节 圆的方程 题型 用二元二次方程表示圆的充要条件 年 （浙江文）已知，方程表示圆，则圆心坐标是，半径是 ；分析 因为此方程表示圆的方程，所以 ，解得或当 ，即 ，所以圆心为 时，带入得方程为 ，半径为；当时，带入得方程为，即 ，此方程不表示圆的方程 由上所述，圆心为，半径为 题型 求圆的方程 年 （江西文）若圆经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆的方程 是 年 （山东文）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆 截轴所得弦 的长为 ，则圆的标准方程为 年 （北京文）圆心为 且过原点的圆的方程是（）应选分析 由已知得，圆心

3、为，半径为，圆的方程为 （江苏文）在平面直角坐标系 中，以点为圆心且与直线 相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 3/48 分析解法一（几何意义）：动直线整理得，则 经 过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而 ，故标准方程为 解法二（代数法基本不等式）：由题意 ，当且仅当时，取“”故标准方程为 解法三（代数法 鉴识式）：由题意 ，设 ，则 ，因为，所以 ，解得剟，即 的最大值为 （湖北文）以以下图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且 （）圆 （）圆 的标准方程为 在点处切线在 轴上的截距为 分析 由条件可

4、设圆的标准方程为（为半径）因为，所以 ，故圆的标准方程为 在 中，令 ，得，又，所以，所以圆在点处的切线斜率为，即圆在点处的切线方程为 令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 4/48 年 （天津文）已知圆的圆心在轴的正半轴上，点 在圆上，且圆心到直线 的距离为，则圆的方程为 分析 ，则，得，故圆的 方程为 年 （天津卷文）设抛物线 的焦点为，准线为 已知点在 上，以为圆心的 圆与 轴的正半轴相切于点，则圆的方程为 若 分析以以下图，设坐标原点为 ，由题意，得，因为 ，所以，所以的坐标为，所以圆的方程为 题型 点与圆的地址关系的判断 年

5、（四川文）在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“陪同点”为 ，当 是原点时，定义“陪同点”为它自己，现有以下命题：若点的“陪同点”是点，则点的“陪同点”是点；单元圆上的“陪同点”还在单 位圆上；轴对称；若三点在同一条直线上，则他们的 若两点关于 轴对称，则他们的“陪同点”关于 “陪同点”必定共线 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 5/48 此中的真命题是 分析 关于，若令 则其陪同点为 ，而的陪同点为 ，而不是，故错误；关于，令单位圆上点的坐标为 ，其陪同点为 仍在单位圆上，故 正确；关于，设曲线 关于轴对称，则 对曲线表示同一曲线，其陪同曲线分别为 与 也表示同

6、一曲线，又因 为其陪同曲线分别为 与 的图像关于 轴对称，所以正确；关于 ，直线 上取点得，其陪同点 消参后轨迹是圆，故错误 所以正 确的序号为 题型与圆的方程有关的最值或取值范围问题 年 重庆文）设是圆 上的动点，则上的动点，是直线的最小值为（）（山东文）过点 作圆 的弦，此中最短弦的长 为 年 （）已知圆和两点，若 北京文 圆 上存在点，使得 ，则 ）的最大值为（新课标 文）设点 ，若在圆 ，使得 ，上存在点 则的取值范围是（）IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 6/48 ，（湖北文）已知圆和点，若定点，和常数满足：圆上任意一点，都有，则 （）；（）（辽宁文）以以下图，

7、圆 的切线与 轴正半轴围成一个三角 轴正半轴，形，当该三角形面积最小时，切点为 （）求点的坐标；（）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于，两点，若的面积 为，求的标准方程 年 （北京卷文）已知点在圆上，点的坐标为 ，为原点，则的最大值为 分析解法一：利用坐标法求数目积 设点，则，且 剟，当时，的最大值为 解法二：利用数目积的定义剟 所以最大值是 解法三：利用数目积的几何意义 以以下图，点 是单位圆上的动点，当 ，三点共线时，的长度最大，且向量 与向量同 向，易得IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 7/48 （江苏卷）在平面直角坐标系 中，点，点 在圆上若，则点的横坐标的取值范

8、围是 分析 不如设，则，且易知 因为 ，故 所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）联立，得，以以下图，结合图形知 评注也可以理解为点在圆的内部来解决，与分析中的方法一致 题型与圆的方程有关的轨迹问题 年 （新课标文）已知点，圆：，过点的动直线 与圆交 于两点，线段的中点为，为坐标原点（）求的轨迹方程；（）当时，求 的方程及的面积 年 （广东文）已知过原点的动直线 与圆：订交于不一样的两点，（）求圆的圆心坐标；IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 8/48 （）求线段的中点的轨迹的方程；（）能否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点？若存在，求出的取 值范围；若不存在，说明原

9、由 分析（）圆的标准方程为，所以圆心坐标为 （）设线段的中点，由圆的性质可得，斜率存在，设直线 的方程为，则 又，所以 ，所以，即 因为动直线与圆订交，所以 ，得 所以，即，解得 或，又因为，所以 所以满足 ，即中点的轨迹的方程为 （）由题意作图，以以下图 由题意知直线表示过定点，斜率为的直线 结合图形，表示的是一段关于 轴对称，起点为 按逆 时针方向运动到 的圆弧 依据对称性，只要谈论在轴下方的圆弧 设，则 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 9/48 而当直线与轨迹相切时，解得 在这里暂取，因为 ，所以 结合图形，可得关于 轴对称下方的圆弧，当 剟或时，直线与轴下方的圆

10、 弧有且只有一个交点 依据对称性可知 剟或时，直线与轴上方的圆弧有且 只有一个交点 综上所述，当 剟或时，直线与曲线只有一交点 年 （四川文）已知正的边长为，平面内的动点，满足，则的最大值是（）解 析 正 三 角 形 的 对 称 中 心 为，易 得 ，以为原点，直线为轴成立平面直角坐标系，以以下图 则，得 ，设，由已知又，所以 所以 所以 它表示圆上的点，与点 ，距离平方的，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 10/48 所以 应选 第三节直线与圆、圆与圆的地址关系 题型直线与圆的地址关系 年 陕西文）已知点，在圆外，则直线与圆的地址关系 是（）相切 订交 相离 不确立 （

11、湖北文）已知圆：，直线：（）设 圆 上到直线 的距离等于的点的个数为，则 年 （安徽文）过点的直线 与圆有公共点，则直线 的倾斜角的取 值范围是（）年 （安徽文）直线与圆相切，则的值是（）或 或或 或 分析记直线为，圆的圆心为 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 11/48 由题意可得圆的标准方程为，则 由直线 与圆相切，可得，解得 或应选 （湖南文）若直线 与圆订交于，两点，且（为坐标原点），则 分析 如图直线与圆两点，为坐标原点，且，则圆心 交于 到直 线的距离为，所以（山东文）过点，作圆的两条切线，切点分别为，则 分析依据题意，作出图形，以以下图 由平面几何知识，得

12、由切线长定理，得 在中，所以 可得 所以 年 （北京文）圆的圆心到直线 的距离为（）分析 圆 的圆心坐标是 由点到直线的距离公式，可 ，半径长是 求得圆心到直线即的距离是 应选 （全国甲文）圆 的圆心到直线 的距离为，则 分析将圆化为标准方程得，则圆心到直线的距 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 12/48 ，解得离应选 题型直线与圆的订交关系及应用 年 安徽文）直线被圆截得的弦长为（）浙江文）直线被圆所截得的弦长等于福建文）如图，抛物线的焦点为，点在，准线 与轴的交点为 抛 物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆 与准线 交于不一样的两点 ，（）若点的纵坐标为，求；，求圆的

13、半径（）若 四川文）已知圆的方程为，点是坐标原点 直线与圆交 于，两点（）求的取值范围；（）设 ，是线段上的点，且 请将表示为的函数 年 （浙江文）已知圆 截直线 所得弦的长度为，则实数 的值是（）（）在平面直角坐标系 中，直线 江苏 被圆截 得的弦长为 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 13/48 （重庆文）已知直线与圆心为的圆订交于，两点，且，则实数的值为 年 （全国文）文已知过点 且斜率为的直线 与圆：交于，两点 （）求的取值范围；（）若，此中为坐标原点，求 分析（）由与圆交于两点，所以直线的斜率必存在 设直线 的斜率为，则直线 的方程为 由圆的方程，可得圆心为，则

14、，即，解得 （）设，则，把直线代入到 中，得 由根与系数的关系，得，则 ，解得 所以直线 的方程为 又圆心 到直线 的距离，即直线 过圆心 所以 年 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 14/48 （全国乙文）设直线与圆订交于两点，若 ，则圆的面积为 ，圆的标准方程为，分析由题意直线即为 所以圆心到直线的距离，所以 ，故，所以 （全国丙文）已知直线与圆交于、两点，过、分别作 的垂线与轴交于、两点，则 分析 由已知条件得圆 的圆心到直线 的距离为 ，则因为的斜率，所以直线 与轴的 夹角 ，所以 题型直线与圆的相切关系及应用 年 （广东文）垂直于直线 且与圆相切于第一象限的直线

15、方程是（）天津文）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则 （江苏）如图，在平面直角坐标系 中，点，直线设圆的 半径为，圆心在 上 （）若圆心 也在直线 上，过点 作圆的切线，求切线的方程；（）若圆 上存在点，使，求圆心 的横坐标 的取值范围 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 15/48 年 （大纲文）直线和是圆的两条切线，若 与的交点为（，），则与的夹角的正切值等于 （江苏）以以下图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时成立一个圆 形保护区规划要求：新桥 与河岸垂直；保护区的界限为圆心 在线段上并与相切的圆且古桥两端 和到该圆上任意一点的距离均许多于 经丈量，点位于点

16、正北方向 处，点 位于点 正东方向 处 北 （为河岸），（）求新桥的长；（）当多长时，圆形保护区的面积最大？东 年 （四川文）设直线 与抛物线订交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线 恰有条，则的取值范围是（）分析 设直线 的方程为，代入抛物线方程得，则 又中点，则，即代入，可得，即 又由圆心到直线的距离等于半径，可得 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 16/48 由，可得应选 题型直线与圆的相离关系及应用 暂无 题型圆与圆的地址关系 年 （湖南文）若圆与圆外切，则（）年 （山东文）已知圆 截直线 的地址关系是（）则圆与圆（）内切 订交 外切 相离 分析 由

17、得半径为 因为圆截直线 所得线段的长度是，所以 圆的圆心为，半径为，所以 因为，所以圆与圆 订交 应选 所得线段的长度是，所以圆的圆心为，解得 ，第十三章推理与证明 第一节合情推理与演绎推理 题型归纳推理 年 陕西文）观察以下等式：IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 17/48 照此规律，第个等式可为 年 （陕西文）已知，则的表达式为 （安徽文）以以下图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作 的垂线，垂足为；过点 作的垂线，垂足为；过点 作 的垂线，垂足为；，以此类推，设 ，则 ，年 （陕西文）观察以下等式：据此规律，第个等式可为 分析观察等式知，第 个等式的左侧有 个数相加减

18、，奇数项为正，偶数项为负，且 分子为，分母是到的连续正整数，等式的右侧是 故答案为 （江苏）已知会集，设 整除 或 整除，令表示会集所含元素的个数 （）写出的值；IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 18/48 （）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明 分析其实解决此除了需要有优秀的数学分类思想之外，还需下表辅助我们理解问题的实质 共 第 带 标志的表示为 的倍数或约数（其实是奇葩，其他的都是 的倍数），带 标志的表 示为的倍数或约数，而 则表示既是 的倍数或约数又是的倍数或约数（即为 的倍数或 约数，此题不作研究）这样研究时，可直接得 ，当时，可直接得：这就是此题的实质，

19、以 为周期进行分类整合并进行数学归纳研究 分析（）当时，可取，共个，故 （）当时，证明：当时，列举可得，吻合通式；IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 19/48 假设时，成立，即 成立，则当时，此时，此时 比 多出有序数对 个，即多出，从而 ，吻合通式；别的，当，同理可证，综上，即 ，即当时也成立 比方时，则，综上所述：年 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 20/48 （山东文）观察以下等式：；照此规律，分析 经过观察这一系列等式可以发现，等式右侧最前面的数都是 ，接下来 是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右侧是 题型类比推理暂无

20、 题型演绎推理隐含在很多题目的证明过程中 增补题型 逻辑推理 年 （新课标文）甲、乙、丙三位同学被问到能否去过，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 年 （全国卷文）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师咨询成语比赛的成绩 老师说：“你 们四人中有位优秀，位优秀，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”看 后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”依据以上信息，则（）乙可以知道四人的成绩丁可以知道四人的成绩 乙、丁可以知道对方的成绩乙、丁可以知道自己的成绩 分析由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人优

21、秀，则甲、丁一人优秀一人优秀，乙看到丙的结果 则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果 应选 第二节证明 题型综合法与分析法证明 年 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 21/48 （全国文）选修：不等式选讲 设 均为正数，且证明：，若，则 ；是 的充要条件 分析（）由，及 ，可证明 ，两边开 方即得 ；（）由第（）问的结论来证明 在证明中要注意分别证明充 分性和必需性 分析（）因为，由题设，得，所以 （）若，则 ，即 因为，所以，由（）得 ，则 若 ，即因为，所以，所以于是 综上，是的充要条件 命题企图 不等式的证明重要抓不等式的性质，结合其正负性来证明 充要条件

22、的证明表现了数学 推理的慎重性，要分充分性和必需性两个方面来证明 年 （四川文（）在中，角，所对的边分别是，且 证明：，则，分析依据正弦定理，可设 代入中，有，可变形得IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 22/48 在中，由 ，有，所以 （浙江文（）在中，内角，所对的边分别为，已知 证明：分析（）由正弦定理得，故，于是 又 ，故 或，所以 所以（舍去）或，所以 题型反证法证明 年 （山东文）用反证法证明命题：“设为实数，则方程最少有一个实根”时，要做的假设是（）方程没有实根 方程至多有一个实根 方程至多有两个实根 方程恰好有两个实根 年 （湖南理（）设，且 （）；（）与不行

23、能同时成立 分析证明：由，得 （）由基本不等式及，有，即 假设与同时成立，则由 及得；同理，从而，与相矛盾 故与不行能同时成立 年 （全国甲文）有三张卡片，分别写有和，和，和甲，乙，丙三人各取走一 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我 与丙的卡片上同样的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字 是 分析由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲，满足；若丙，则 乙，甲，不满足，故甲，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 23/48 （上海文）关于无量数列 与，记，若同时满足条件：，均单调递加；且，则称 与是无量

24、互补数列（）若，判断 与能否为无量互补数列，并说明原由；（）若且与是无量互补数列，求数列 的前项的和；（）若与是无量互补数列，为等差数列且，求与的通项公式分析（）易知，而，所以，从而 与不是无量互补数列 （）由题意，因为，所以 数列的前项的和为 （）设的公差为，则 由 ，得或 若，则，与“与是无量互补数列”矛盾，因为此时 不是无量数列；若，则，综上所述，第三章导数 第节导数的应用 题型方程解 零点 的个数问题 （江苏（）已知函数若（实数是与无 关的常数），当函数有三个不一样的零点时，的取值范围恰好是 ，求的值 分析解法一：因，故，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 24/4

25、8 由（）得：当 时，单调递加，不满足题意；当时，若函数 有三个不一样的零点，则 极小 恒成立，极大 对恒成立，从而 构造，则对恒成立，故单调递减，从而 ，故剟 当时，若函数 有三个不一样的零点，则 极大 恒成立，极小 对 从而 恒成立，构造，则 ，令，则，故在上单调递加，在 上单调递减，则，从而 ，即 综上得 解法二：因，故，由（）得：当时，单调递加，不满足题意；IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 25/48 当时，若函数有三个不一样的零点，则只要保证 极大 极小 ，又实数的解集为 ，所以，的三个实数根，是方程 易知该方程必有一根，从而若时，则 ，考据知不为其根，故舍；若

26、时，则 ，考据知，是其根，即，考据不等式 即，其解集为 ，满足题意；若 ，考据知不为其根，故舍 时，则 综上得 解法三：因，故，由（）得：当时，单调递加，不满足题意；当时，若函数有三个不一样的零点，极小 ，则 ，从而 极大 依据的取值范围可知：是方程 的根，所以 当时，若，则依据函数有三个不一样的零点，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 26/48 极大 则必有 ，即 极小 所以解得或或，吻合题意 综上得 评注（）的解法一将该问题转变到恒成立解决；解法二将问题一致归类转变到不等式的解集，从而转变到等式（方程）的根；解法三亦是将问题转变到不等式的解集问题进行解决 （北京文（）

27、设函数 证明：若 存在零点，则在区间上仅有一个零点 分析若存在零点，则 即，解得 又，且函数在区间上单调递减，所以 在区间上仅有一个零点（）设为实数，函数 广东文 当时，谈论 内的零点个数 在区间 分析由（）得在上单调递加，在 上单调递减，所以 当时，令，即 因为在上单调递减，所以 而 在上单调递加，所以在上，故与 在无交点 ，即 当时，所以，所以 因为，所以IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 27/48 故当时，有一个零点 当时，当时，而 在 上单调递加，当 时，下边比较 与 的大小：因为 ，所以 结合图像可知当 时，与 有两个交 综上，当 时，；当 有一个零点 与 有两

28、个零点 （新课标卷文（）设函数的导函数 零点的个数；分析 由题意可得，明显当时，恒成立，无零点；当 时，取 ，则 ，即单调递加 令 ，即 的图像，以以下图 画出与 由图可知，必有零点，所以导函数存在独一零点 点 时，谈论 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 28/48 （山东文）设函数 ，已知曲线在点，处的切线与直线 平行 能否存在自然数 ，使得方程 在，内存在唯 一的根？假如存在，求出 ；假如不存在，请说明原由；分析 时，方程 在 内存在独一的根 设 ，当 时，又 ，所以存在 ，使 因为 ，所以当 时，；当 时，所以当 时，单调递加 所以 时，方程 在 内存在独一的根 （

29、陕西文（）设 ，厖，证明：在 内有且仅有一个零点（记为 分析因为，所以在 内最少存在一个零点，又 ，所以 内单调递加，因，在 此，因为 ，在，内有且只有一个零点 所以 ，由此可得 ，故，所以 （四川文（）已知函数 ，此中 求证：存在，使得恒成立，而且在区间内有独一解IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 29/48 分析由，解得，令 则，所以存在，使得 令，此中 由，可知函数在区间 上单调递加 故，即 当时，有，再由（）可知，在区间上单调递加 当时，所以；当时，所以 又当 时，故时，综上所述，存在 ，使得恒成立，且 在区间内有独一解（北京文）设函数 （）求曲线在点处的切线方程；

30、（）设，若函数 有三个不一样零点，求 的取值范围；（）求证：是有三个不一样零点的必需而不充分条件 分析（）由，得 因为，所以曲线在点 处的切线方程为 （）当时，所以 令，得，解得或 与在区间 上的变化状况以下表所示IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 30/48 所以当且时，存在，使得 由的单调性，当且仅当 时，函数有三个不一样零点 （）证法一：分两步证明 必需性：若函数有三个不一样零点，那么 的单调性必然变化 次，所以其导函数必然有 个不一样的零点，从而 的鉴识式 ，即非充分性：取，则函数，其导函数 所以其极大值为，其极小值为 ，所以函数只有个零点 综上所述，是有三个不一样

31、零点的必需而不充分条件 证法二：分两步证明 必需性（反证法）若，则 恒成立，所以单调递加，于是最多只有 个零点，与条件不符，所以 以下证明同证法一 （山东文 ，此中，若存在实数，使）已知函数 得关于的方程有三个不一样的根，则 的取值范围是 分析 因为的对称轴为，所以时 单调递加，只要大于 的最小值时，关于IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 31/48 的方程在时有一根；又 在，时，存在实数，使方程 在时有两个根，只要；故只要即可，又，所以解 得，即的取值范围是 （江苏）已知函数（）设 ，求方程 的根；若关于任意，不等式恒成立，务实数 的最大值；（）若，函数 有且只有个零点，

32、求的值 分析（），由可得，则 ，即 ，则，解得；恒成立，即 恒成立由题意得 令 ，可得，则由 此时 恒成立，即 因为时 ，当且仅当时等号成立，所以实数的最大值为 （），IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 32/48 ，可得 ，则 由，令 单调递加，而，所以 时 所以 时，则；时，则 则在 递减，递加 解法一：下证 若，则，于是，又且 ，所以连续函数在以与为端点的区间上存在零点，不如记为 由且可知，这与“是函数 的独一零点”相矛盾 若，模拟可获取，连续函数在以与 为端点的区间上存在大于 的零点，也相矛盾 综合可知，即，即 ，即，所以，则 评注 解法二：（也可以 作为研究对象）

33、所以 最小值为若，时，则；时，则；所以且时，所以在有零点，且时，所以在有零点，则最少有两个零点，与条件矛盾；若，由函数 有且只有个零点，最小值为，可得，由 ，所以，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 33/48 所以，即，亦即，所以，则（全国乙文）已知函数 （）谈论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围 分析（）由题意 当，即时，恒成立 令 ，则，所以的单调增区间为 同理可得的单调减区间为 当，即时，令，则或 （）当，即 ，则或，时，令 所以 的单调增区间为 和 的单调减区间为；同理 （）当，即时，当时，所以同理 时，故的单调增区间为 ；（）当，即 ，则 或，季节 所以的

34、单调增区间为 和，同理 的单调减区间为 综上所述，当 时，的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；当 时，的单调增区间为 ；当 时，的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；当时，的单调增区间为 ，单调减区间为 （）解法一（直接谈论法）：易见，如（）中谈论，下边先研究（）（）（）IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 34/48 三种状况 当 ，故不满足题意；时，由单调性可知，当 在 上单调递加，明显不满足题意；时，当 时，由的单调性，可知 ，且 ，故不满足 题意；下边研究，当时，令，则，所以只有个零点，故舍去；当时，所以在 上有个零点；（）当时，由，而 ，所以在 上有个零点；（）当

35、时，由，而 ，所以在 上有个零点；可见当时有两个零点 所以所求的取值范围为 解法二（分别参数法）：明显不是的零点，当时，由，得 设，则问题转变成直线 与图像有两个交点，对求导得 ，所以在 单调递加，在 单调递减 当时，若，直线与图像没有交点，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 35/48 若，单调递减，直线与图像不行能有两个交点，故不满足条件；若时，取，则，而，结合在 单调递减，可知在区间 上直线 与 图像有一个交点，取，则厖，结合在 单调递加，可知在区间 上直线与图像有一个交点，综上所述，时直线 与 图像有两个交点，函数 有两个零点 评注此题与年文科卷第（）问基本一致，都

36、是对函数零点个数的研究，基本形成分别与 不分别两种解答方案，但无论能否分别，都涉及到零点的取值问题【】可放一起研究，当 或，由题意 故不满足题意 【】用分别参数的方法很多时候只好初步感知结论，不可以代替论证 很多资料上在论证完的单调性后直接书写以下过程，当时，；当时，令，则，所以时，；时，综上所述：时函数 有两个零点 这里论述时 是不齐备的，这里涉及到极限的知识，不过用 是不够的，可 能会有值的趋势性，所以这类分析不齐备是会扣除步骤分【】考试院供给的参照答案与昨年供给的参照相仿：（）设，则由（）可知，在上单调递减，在上单调递加，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 36/48

37、 又，取满足且，则，所以函数有两个零点 （）设，则，令，则，所以只有个零点，故舍 去；（）设，若，则由（）知，在 上单调递加，又当时，故不存在两个零点；当时，则由（）知，在上单调递减，在上单调递加，又当时，故不存在两个零点 综上，的取值范围为 （全国文）已知函数有独一零点，则（）分析 对称性解法因为 关于直线 对称，所以 要有独一零点，只有 ，由此解得 应选 评注难度中偏上，主要观察函数的性质与函数的零点结论，此题的难点在于对函数的对称性不 够认识，一般学生很难看出后边函数的对称性，以致做题缺少思路 此题与年的高考全国卷 文科数学的选择压轴题（第题）近似，都是环绕函数的性质来观察，需要学生有较

38、强的基本功 底并拥有较强的运用能力 （江苏）设是定义在且周期为的函数，在区间 上，的解的个 此中会集，则方程 数是 分析 由题意，所以只要要研究 内的根的状况 在此范围内，且时，设，且互质，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 37/48 若，则由，可设 互质 ，且 从而 ，则，此时左侧为整数，右侧为非整数，矛盾，所以 于是不行能与 内的部分对应相等，所以只要要考虑 与每个周期内部分的交 点 以以下图，经过函数的草图分析，图中交点除 外，其他交点均为的部分 且当时，所以在 周边只有一个交点，因此方程解的个数为 个故填 题型利用导数证明不等式 （福建文（）已知函数 求证：当时，

39、；分析构造函数，欲证明，只要证明的 最大值小于等于即可 分析 令，则有，当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（湖北文）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，此中为自然对数的底数 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 38/48 求，的分析式，并证明：当 时，；设，证明：当时，分析 由，的奇偶性及条件 得 联立式式解得 ，当时，故 又由基本不等式，有 ，即 由得 ，当时，等价于，等价于 设函数，由式式，有 当时，（）若，由式式，得，故在，上为增函数，从而，即，故式成立（）若，由，得，故在，上为减函数，从而，即，故式成立综合式式，得 （新课标卷文（）设函数求证：当时，分

40、析由（）可知有独一零点，设零点为，由图可知，则当 时，即单调递减；当 时，即单调递加 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 39/48 所以在处获得极小值，即 又，解得 两边分别取自然对数，得，即 所以 （当且仅当，即 时取等号）（天津文 此中，且 ）已知函数 （）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：关于任意的正实数，都有；（）若方程（为实数）有两个正实数根，且，求证：分析（），证明在 ，上单调递加，在 ，上单调递减，所以对任意的实数，关于任意的正 实数，都有；（）设方程 的根为，可得，由在，上单调递减，得 ，所以设曲线在原点处的切线为，方程 的根为，可得

41、在 ，上单调递加，由 且，可得，所以 分析（）设，则，且，得，曲线在点处的切线方程为，即，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 40/48 令，即则因为在 单调递减，故在 单调递减，又因为，所以当 时，所以当 时，所以在 单调递加，在 单调递减，所以对任意的实数，关于任意的正实数，都有 （）由（）知，设方程的根为，可得，因为在，上单调递减，又由（）知，所以 设曲线在原点处的切线为 ，可得，对任意的 ，有，即设方程的根为，可得 ，因为在 ，单调递加，且，所以，所以 （全国文）已知函数 （）谈论的单调性；（）当时，证明 分析，当时，单调递加；当时，单调递加，IASK_高考数学复习

42、五年高考真题分类汇编直线与圆方程 41/48 单调递减 （）当时，刦 ，要证，即证 令，当时，当时，所以 ，即 评注 此题难度中偏上，第（）问观察导函数含参的函数单调性的谈论，第（）问属于构造函 数证明不等式类问题，有必定难度 题型导数在实质问题中的应用 重庆文）某农村拟修建一个无盖的圆柱形储水池（不计厚度）设该储水池的底 面半径为米，高为米，体积为立方米 假设建筑成本仅与表面积有关，侧面的建筑成本 为元 平方米底面的建筑成本为 元 平方米，该储水池的总建筑成本为 元（为圆周率）（）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（）谈论函数的单调性，并确立 和为什么值时该储水池的体积最大 分析 依据数目

43、关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值 分析（）因为蓄水池侧面的总成本为（元），底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为元 又依据题意，所以，从而 因为，又由可得，故函数的定义域为（）因为，所以 令，解得（因为不在定义域内，舍去）IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 42/48 当时，故在 上为增函数；当时，故在上为减函数；由此可知，在处获得最大值，此时 即当，时，该蓄水池的体积最大 第十三章推理与证明 第一节合情推理与演绎推理 题型归纳推理 年 陕西文）观察以下等式：照此规律，第 个等式可为 年 （陕西文）已知 ，则的表达式为 （安徽文）以以下图，在等腰直角三角

44、形 中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点 作的垂线，垂足为；过点 作 的垂线，垂足为；，以此类推，设 ，则 ，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 43/48 年 （陕西文）观察以下等式：据此规律，第个等式可为 分析观察等式知，第 个等式的左侧有 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且 分子为，分母是到 的连续正整数，等式的右侧是 故答案为 （江苏）已知会集，设 整除或 整除 ，令表示会集所含元素的个数 （）写出的值；（）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明 分析其实解决此除了需要有优秀的数学分类思想之外，还需下表辅助我们理解问题的实质 共 第 带 标志的表示为的倍数或约数

45、（其实 是奇葩，其他的都是 的倍数），带 标志的表 示为的倍数或约数，而 则表示既是 的倍数或约数又是 的倍数或约数（即为 的倍数或 约数，此题不作研究）这样研究时，可直接得 ，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 44/48 当 时，可直接得：这就是此题的实质，以 为周期进行分类整合并进行数学归纳研究 分析（）当 时，可取，共个，故 （）当时，证明：当 时，列举可得 ，吻合通式；假设时，成立，即 成立，则当时，此时，此时 比多出有序数对 个，即多出，从而 ，吻合通式；别的，当，同理可证，IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 45/48 综上，即，即当时也成

46、立 比方时，则，综上所述：年 （山东文）观察以下等式：；照此规律，分析 经过观察这一系列等式可以发现，等式右侧最前面的数都是，接下来 是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右侧是 IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 46/48 题型类比推理暂无 题型演绎推理隐含在很多题目的证明过程中 增补题型逻辑推理 年 （新课标文）甲、乙、丙三位同学被问到能否去过，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 年 （全国卷文）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师咨询成语比赛的成绩老师说：“你

47、们四人中有位优秀，位优秀，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”看 后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”依据以上信息，则（）乙可以知道四人的成绩丁可以知道四人的成绩 乙、丁可以知道对方的成绩乙、丁可以知道自己的成绩 分析由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人优秀，则甲、丁一人优秀一人优秀，乙看到丙的结果 则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果 应选 第二节 证明 题型综合法与分析法证明 年 （全国文）选修：不等式选讲 设，均为正数，且证明：若，则；是的充要条件 分析（）由，及，可证明，两边开 方即得；（）由第（）问的结论来证明 在证明中要注意分别证明充 分性和必需性

48、分析（）因为，由题设，得，所以IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 47/48 （）若，则，即因为，所以，由（）得 ，则 若 ，即因为，所以，于是，所以 综上，是的充要条件 命题企图 不等式的证明重要抓不等式的性质，结合其正负性来证明 充要条件的证明表现了数学 推理的慎重性，要分充分性和必需性两个方面来证明 年 （四川文（）在中，角，所对的边分别是，且 证明：分析依据正弦定理，可设 ，则，代入中，有 ，可变形得 在中，由 ，有，所以 （浙江文（）在中，内角，所对的边分别为，已知 证明：分析（）由正弦定理得，故，于是 ，故 或，又 ，所以 所以（舍去）或，所以 题型反证法证明

49、年 （山东文）用反证法证明命题：“设为实数，则方程最少有一个实根”IASK_高考数学复习五年高考真题分类汇编直线与圆方程 48/48 时，要做的假设是（）方程没有实根 方程至多有一个实根 方程至多有两个实根 方程恰好有两个实根 年 （湖南理（）设，且 （）；（）与不行能同时成立 分析证明：由，得 （）由基本不等式及 ，即 ，有 假设与同时成立，则由及得；同理，从而，与相矛盾 故与不行能同时成立 年 （全国甲文 ）有三张卡片，分别写有 和，和，和甲，乙，丙三人各取走一 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是 ”，乙看了丙的卡片后说：“我 与丙的卡片上同样的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字 是 分析 由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲，满足；若丙，则 乙，甲，不满足，故甲，（上海文）关于无量数列 与，记，若同时满足条件：，均单调递加；且，则称 与是无量互补数列（）若，判断 与能否为无量互补数列，并说明原由；（）若且 与是无量互补数列，求数列 的前项的和；（）若与 是无量互补数列，为等差数列且，求与的通项公式 分析（）易知，而，所以，从而 与不是无量互补数列 （）由题意，因为，所以