高数AB期末试卷及答案.pdf

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1、共 6 页 第 1 页 高 等 数 学 AB 期 末 考 试 卷 一.填空题（每小题 4 分，共 20 分）1函数 xxf11的间断点 是第 类间断点.2.已知 xF是 xf的一个原函数,且 21xxxFxf,则 xf .3.xxxxxdee1112005 .4.设 tuuxfxtdd10sin14,则 0f .5.设函数 01d23xttxfxx,则当x 时,取得最大值.二.单项选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.设当0 xx 时,xx,都是无穷小 0 x,则当0 xx 时,下列表达式中不一定为无穷小的是 (A)xx2 (B)xxx1sin22 (C)xx1ln (D)xx 共 6 页

2、 第 2 页 2.曲线211arctane212xxxxyx的渐近线共有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 3.微分方程xxyyy2e2 的一个特解形式为y (A)xxbax22e (B)xax2e (C)xbax2e (D)xxbax2e 4.下列结论正确的是 (A)若 badc,则必有 badcxxfxxfdd.(B)若 xf在区间ba,上可积,则 xf在区间ba,上可积.(C)若 xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有 TTaaxxfxxf0dd.共 6 页 第 3 页(D)若 xf在区间ba,上可积,则 xf在ba,内必有原函数.三.(每小题 7 分,共 3

3、5 分)1.3020dcoslnlimxtttxx 2.设函数 xyy 是由方程2e22xyyyx所确定的隐函数,求曲线 xyy 在点2,0处的切线方程.3.xxxxdcoscos042 4.13darctanxxx 5.求初值问题 210,10sinyyxxyy 的解.四.(8 分)在区间 e,1上求一点,使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.五.(7 分)设 ba 0,求证 baabab2ln.1e1XOYxyln共 6 页 第 4 页 六.(7 分)设当1x时,可微函数 xf满足条件 0d110 xttfxxfxf 且 10 f,试证:当0 x时,有 1exfx 成立.(7

4、 分)设 xf在区间1,1上连续,且 0dtand1111xxxfxxf,证明在区间1,1内至少存在互异的两点21,使 021ff.04-05-2 高数 AB 试题答案 一.填空题（每小题 4 分，共 20 分）10,一；2 21xCx；3 1e4；4 1；5 343。二.单项选择题(每小题 4 分,共 16 分)1 A;3 D;4C.三.(每小题 7 分,共 35 分)1.16 2.42(4360)3yxxy或 3.原式=200sincosd3sincos d222xxxxx x分分 共 6 页 第 5 页 4.12 5.cossincos2xyxxxx 四.(8 分)e221lnd(1ln

5、)dttV txxxx 22e1ln2 ln2ln2 ln2ettxxxxxxxxxxt 22ln4 ln32ttttt 112222 ln10,e,e0VtttV令得且,因此21et是tV在 e,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e是最小值点.五.(7 分)提示：设tab,原不等式等价于2(1)ln,11tttt,即等价于()(1)ln2(1)0,1f ttttt。（用函数单调性证明）六.(7 分)由题知 10 f,所给方程变形为 xttfxfxxfx00d11，两端对x求导并整理得(1)()(2)()0 xfxxfx，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量

6、法求得 e1xCfxx。由于 10 f,得e1,()0,()1xCfxf xx 单减,而共 6 页 第 6 页(0)1,f所以当0 x时,()1f x,对e()01xfxx 在x,0上进行积分-00e()(0)d1e de1txxtxf xfttt。七.(7 分)记 xttfxF1d,则 xF在1,1上可导,且 110FF 若 xF在1,1内无零点,不妨设 1,1,0 xxF 0dsecdsectan)(dtandtan0112112111111xxxFxxxFxxFxFxxxxf此矛盾说明 xF在1,1内至少存在一个零点0.x 对 xF在 1,100 xx上分别使用 Rolle 定理知存在1,10201xx,使得 ,021FF即 120ff。