311方程的根与函数的零点.pdf

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1、3.1.1 方程的根与函数的零点 教材分析 这节课是数学必修 1 第三章函数的应用第一节函数与方程的第 1 课时，教材前两章系统地介绍了函数的概念及性质，本章重在体现函数的应用.本节课是介绍函数的第一个应用，利用方程的根与函数零点的关系，我们可以解决一些方程的求根问题.初中已经学过二次函数图象与一元二次方程的根的关系，在此基础上给出了函数零点的概念，并得出方程的根与函数零点的关系，过程体现从特殊到一般思想方法.学情分析 授课对象为高一（7）、（8）班，该班学生在数学理解力上较其他层次有明显差异，数学基本功底较差，而且班级里学生也参差不齐，好的跟差的差距非常明显，在试教上存在一定难度，要克服这么

2、些问题，越发需要制定详细周全的教学计划.从教学反馈来看，学生对前两章内容的掌握情况比较差，存在对函数概念理解不到位，函数的基本性质不理解以及如何去讨论，显然，这对第三章的学习亦或是后期的学习很不利的，因此，在这章必须将前面的知识点点滴滴渗透进来.学生相当熟悉一元二次方程和二次函数，因此本节课用一元二次方程根和二次函数与x 轴交点横坐标引入并且归纳出一般函数零点与方程根的联系显得比较自然.教学目标 1.知识与技能：理解函数零点的概念；会利用方程的根与函数零点的关系解决一些方程根的问题或函数零点问题；掌握函数零点的判断方法，并会判断零点的个数.2.过程与方法：通过二次函数的图象，判断一元二次方程根

3、的存在性及个数，总结得到一般方程根与函数零点的联系.3.情感态度与价值观：经历从观察到发现到归纳结论，体会数学探究的过程，体味数学的乐趣.教学重难点 1.教学重点：由二次函数图象来判断一元二次方程根的存在性及个数；理解函数 零点概念及方程的根与函数零点的联系；函数零点存在定理.2.教学难点：函数零点概念及方程的根与函数零点的联系；函数零点存在定理及 函数零点个数的确定.教学过程 期中考过后，接下来的功课有点紧了，大家在前面的学习状态我也看到了，不过 我希望大家在后来要加把劲.1.问题引入 师：我们来看几个一元二次方程：222230,210,230 xxxxxx ，你 们想知道它们的什么？（生：

4、根）那好，快速算下.相应的二次函数22223,21,23yxxyxxyxx，你能准确地画出它们 的函数图象吗？（生：基本无反应）画出对称轴，描出图象上几个点（一般是顶 点，与 y 轴交点，与 x 轴交点）.2.新知探索 师：观察一元二次方程20axbxc的根与二次函数2(0)yaxbxc a的图 象的关系？生：方程2230 xx的两个实数根就是函数223yxx 的图象与 x 轴交 点的横坐标；方程2210 xx 的实数根就是函数221yxx 的图象与 x 轴交点的横坐 标；方程2230 xx无实数根，函数223yxx的图象与 x 轴没有交点.师：一元二次方程20axbxc的根，二次函数2(0)

5、yaxbxc a与 x 轴的 交点有着怎样的关系？请同学们来总结下有哪些情况？生：当0 时，方程20axbxc的两个实数根就是函数2(0)yaxbxc a 与 x 轴交点的横坐标;当=0 时，方程20axbxc的实数根就是函数2(0)yaxbxc a与 x 轴交 点的横坐标；当0 时，方程20axbxc无实数根，即函数2(0)yaxbxc a与 x 轴无 交点.师：那么对于一般情形，函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系怎么描 述？生：方程()0f x 有实数根等价于函数()yf x的图象与 x 轴有交点。师：我们现在先给出函数零点的概念：对于函数()yf x，我们把使()0f x 的实

6、数 x 叫做函数()yf x的零点.我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为 0 的点呢？生：学生可以理解使函数值为 0，但是零点是点，学生会存在疑惑。师：按照书本的定义，函数的零点应该是实数。师：结合函数零点定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究 竟是什么关系？生：函数()yf x有零点，从数的角度理解，就是方程()0f x 有实根，从形的 角度理解，就是图象与 x 轴有交点。因此，这三者之间是一个统一体，可以相互 转化。3.牛刀小试 一、求下列函数的零点：（1）函数26yx的零点是 ；（2）函数21()f xxx的零点是 .小结：函数零点，方程的根，图象与x 轴的交点三者相

7、互转化，求函数的零点，咋们可以用方程的根，或者作出函数图象看与x 轴的交点.师：刚刚提出的问题ln260 xx是否有实根，有几个实根？同学们现在有没 有思路呢？生：作出ln26yxx的函数图象，判断与 x 轴的交点，但是作出函数图象这 点很有难度.4.内容深化 师：以二次函数223yxx为例，当函数图象穿过 x 轴时，图象就与 x 轴产生 交点，图象穿过 x 轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？动画演 示.生：通过观察图象，得到函数零点左右两侧函数值异号的结论.师：好，我们明确一下这个结论，函数()yf x具备什么条件，能在区间(,)a b上 存在零点？生：得出()()0f af

8、b的结论.师：若()()0f af b，函数()yf x在区间(,)a b上就存在零点吗？师：只有在,a b上连续不断的函数，在满足()()0f af b的条件时，才会存在 零点的结论.其实，同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那 就是零点存在性定理。用屏幕投影显示，让一个来念，强调定义中的关键词。师：有了零点存在定理之后，我们能否再解决之前的问题。二、求函数()ln26f xxx的零点的个数.引导：如何利用零点存在定理来判断零点是否存在以及个数呢？关键在于确定零 点存在的区间.小结：确定零点个数，可以根据零点存在性定理确定零点存在的区间，再具体根 据函数的单调性确定零点的个数.三、已知函数()f x的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示：x 1 2 3 4 5 6 7 f(x)23 9-7 11-5 12-26 那么函数在区间1,6上的零点至少有 个.三、已知函数()(0)f xaxb b有一个零点，则函数2()2g xbxax的零点是.5.反思总结