二次根式及一元二次方程复习及练习.pdf

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1、 二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a_0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如ab（a0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a0.2.二次根式的基本性质（1）a_0（a_0）；（2）2a_（a_0）；（3）aa 20_0_aa；（4）ab _（a_0，b_0）；（5）ab_（a_0，b_0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_.4.二次根式的乘、除法则：

2、（1）乘法法则：ab=_（a_0，b_0）；（2）除法法则：ab_（a_0，b_0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用 aa200aaaa进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_后，如果_相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_，然后把_进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_，第二步是_，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开

3、方数和根指数不变；*（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53 8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再_，最后_，有括号的先_内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1

4、 二次根式有意义的条件 例 1 若式子43 x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x34 B.x34 C.x43 D.x43 方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为 0.2 二次根式的性质 例 2 下列各式中，正确的是（）A.332 B.332 C.332 D.332?方法总结：aa2成立的条件是a0，而在化简 2a时，先要判断a的正负情况.3 二次根式的非负性 例 3 已知32552xxy，则xy2的值为（）A.15 C.215 D.215 方法总结：二次根式a（a0）具有双重

5、非负性，即a0、a0.4 最简二次根式 例 4 下列二次根式中，最简二次根式是（）A.51 B.5.0 C.5 D.50：适用能因式分解方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.5 二次根式的运算 例 5 计算1824 31_.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值 例 6 若120142013m，则34520132mmm的值是_.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.；一元二次方程 1、一元二次方程：

6、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。例 1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（）A、212xx B、267x C、225xy D、23520 xx 2、一元二次方程的一般形式：20(0)axbxca 二次项：，一次项：，常数项：。二次项系数：，一次项系数：。例 2、（1）、方程 x(x+4)=8x+12 的一般形式是 ；二次项是 ,一次项是 ，常数项是 。（2）.关于x的一元二次方程22120axx是一元二次方程，则a满足（）A.1a B.1a C.1a D.为任意实数（3）、若方程013)2(|mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则 （）A2m Bm=2 Cm=2

7、D2m（4）、下列方程中,常数项为零的是()+x=1 =12；(x2-1)=3(x-1)(x2+1)=x+2 3.一元二次方程的解法：1、因式分解法 移项：使方程右边为 0 因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组 由 A B=0，则 A=0 或 B=0，解两个一元一次方程 适用无一次项的aacbbx2422、直接开平方法 )0(2aax$3、配方法 移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方 开平方：注意别忘根号和正负 方程：解两个一元一次方程 4、公式法 将方程化为一般式 写出

8、 a、b、c 求出acb42，若 b2-4ac0，则原方程无实数解 若 b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式24x=2bbaca 求解 若 b2-4ac0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式2bxa 求解。例 4、（1）、若关 X 的一元二次方程036)1(2xxk有实数根，则实数 k 的取值范围（）4,且 k1 4,且 k1 C.k4 D.k4（2）.已知一元二次方程已知一元二次方程02cbxax，若0cba，则该方程一定有一个根为（）A.0 B.1 C.-1 D.2（3）.关于x的一元二次方程x2kx1=0 的根的情况是()A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等

9、的异号实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根（4）.关于x的一元二次方程22110axxa 的一个根是 0，则a值为（）A、1 B、1 C、1或1 D、12 axax21)0(2aabx解两个一元一次方程abx （5）.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根,则 k 的取值范围是()-74 -74 且 k0 C.k-74 74 且 k0 例 5、(1)利用因式分解法解下列方程(x2)2(2x-3)2 3(1)33x xx 0165852xx#(2)、利用开平方法解下列方程 4（x-3）2=25 24)23(2x (3)、利用配方法解下列方程 25 220 xx

10、(4)、利用公式法解下列方程 3x 222x240 2x（x3）=x3 3x2+5(2x+1)=0|5、根与系数的关系：20(0)axbxca 51)12(212y012632 xx039922xx 12bxxa 12cxxa 例 5、（1）.已知是方程的两个根，则等于_.（2）、已知一元二次方程01322 xx的两根为1x、2x，则21xx （3）、已知1x，2x是方程2630 xx的两实数根，则2112xxxx的值为_ （4）已知方程222(2)40 xmxm两根的平方和比两根的积大 21，求m的值。6、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数）（1）二次三项式的因式分解 若一元二次方

11、程)0(02acbxax的两个实数根为 x1，x2，则二次三项式)0(2acbxax在实数范围内可分解因式写成：)(212xxxxacbxax 当acb420，二次三项式在实数范围内分解因式为：)(212xxxxacbxax 当acb42=0，二次三项式在实数范围内分解因式为：212)(xxacbxax 当acb420，二次三项式在实数范围内不能分解因式（2）一元二次方程的实际应用 二、典型例题精讲与练习 1、填空题：.（1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是 （2）已知方程06222 mxx的一个根为-2，则 m=，它的另一个根是 （3）已知关于 x 的方程0112)2

12、1(2kxxk有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 2、在实数范围内将下列二次三项式分解因式：（1）3522 xx (2)22253yxyx ）xx12，xx22101112xx (3)5)2(3)2(22yxyx 3、已知关于 x 的一元二次方程0122axx没有实数根，试判断关于 x 的一元二次方程12aaxx根的情况，并说明理由。4、已知关于 x 的一元二次方程02)2(22kxkx有两个相等的实数根，求 k 的值及这时方程的根。5、已知 m，n 为实数，且20)1)(2222nmnm，23mn，求2)(nm 及2)(nm 的值 ：6、求证：不论 k 为何值，关于 x 的方程03)

13、12(2kxkx总有两个不相等的实数根。！7、一元二次方程01122mxxm有一个解为 0，求12m的值。】8、一元二次方程的实际应用 例 6、（1）、某厂去年 3 月份的产值为 50 万元，5 月份上升到 72 万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少若设平均每月增长的百分率是x，则列出的方程是（）（A）72150 x （B）721501502xx（C）722150 x （D）721502 x（2）、原价a元的某商品经过两次降价后，现售价b元，如果每次降价的百分比都为x，那么下列各式中正确的是（）bxaA 21；bxaB21；axbC 21；axbD21。（3）、某种电脑病毒传播非常快，如果

14、一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台电脑被感染 请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台|（4）.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 90 元降到了 40 元，求平均每次降价率是多少 （5）.关山超市销售某种电视机，每台进货价为 2500 元，经过市场调查发现：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台电视机，而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到 5000 元，每台电视机的定价应为多少元 （1）一种笔记本电脑，原来的售价是 1

15、5 000 元，经过连续两年的降价，今天每台售价为12 150 元，每年降价的百分率相同.（1）求每年降价的百分率是多少（2）如果吴云是在去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少元 （6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了 1 条祝贺元旦的短信.已知全公司共发出短信 870 条，求该公司员工的人数.（7）如图，某单位需要建一个面积为 1 200 平方米飞矩形仓库，计划利用一段 50 米长的旧墙，新墙只围三边，已知每建造 1 米新墙需要用 500 元，建造顶棚等其他费用为 1 万元，设当被利用的旧墙长度为x 米时，仓库的总建设费用为y万元.(1)求y关于x的函数解析

16、式及其定义域.(2)当建设费用为 6 万元时，求被利用的旧墙的长度是多少米 (8)今年来由于受到国际石油市场的影响，汽油的价格不断上涨.请你根据下列两位的对话，帮助小明计算一下 2006 年 5 月份汽油每升的价格.2006 年 5 月份的汽油价格四 2005 年 5 月份汽油价格的倍，用 150 元给汽车加的油量比 2005年少升.2006 年 5 元份的汽油每升价格是多少元呢 二次根式、一元二次方程的解法综合练习 一、选择题 1、下列各式一定是二次根式的是 ()A 7 B x2 C 22yx D 36 2、下列根式中属最简二次根式的是 （）A.21a B.15 C.8 D.27 3、下列计

17、算正确的是 ()A.532 B.2333 C.23222 D.224 4、下列计算 错误 的是 ()A.1477 2 B.6052 3 C.9258aaa D.2221 5、下列方程为一元二次方程的是 ()A.0233122xx B.0522 yx C.1222xxx D.07142xx 6、式子12xx的取值范围是（）A.x1 且 X 2 1 且 x 2 C.x 2 D.x 1 7、方程的2650 xx左边配成完全平方式后所得的方程为()【A2(3)14x B2(3)14x C21(6)2x D以上答案都不对 8、若0)1(2cbxxa是关于 x 的一元二次方程，则（）Aa0 Ba1 Ca

18、1 Da=1 9、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）A若x2=4，则x=2 B.若3x2=6x，则x=2 C02kxx的一个根是1，则k=2 D若分式xxx2 的值为零，则x=2或x=0 10、关于 x 的一元二次方程220 xx的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法判断 11、一元二次方程06242mxx有两个相等的实数根，则m等于（）A.2 B.3 C.4 D.5 12、某厂今年一月份的产量为 20 吨,第一季度的总产量共 85 吨,设平均每月增长率是x,根据题意所列的方程为()A、20 x 2=85 B、20（1+x）=8

19、5 C、20（1+x）2=85 D、20+20（1+x）+20（1+x）2=85 13、摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了 182 张，若全组有 x 名学生，则根据题意列出的方程是（）|A.x（x1）182；B.x（x1）182；C.2x（x1）182 D.12x（x1）182 14、方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A12 B12 或 15 C15 D不能确定 15、如图，一只蚂蚁从长、宽都是 4，高是 6 的长方体纸箱 的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是()A9 B10 C24 D1

20、72 16三角形的两边长分别是 3 和 6，第三边是方程0862 xx的解，则这个三角形的周长是 （）A、11 B、13 C、11 或 13 D、11 和 13 17.若822222baba，则22ba（）A 2 B.4 C.4或2 D.4 或 2 二、填空题 1、计算：12 3=。2方程2213xx 化为一般形式为 ，一次项系数是 。$3.如果最简二次根式a1与24 a是同类根式，那么 a 。4.若x 2，化简xx3)2(2的正确结果是 _。5.比较大小：3 2 _ 2 3（填“”或“”）6.方程xx32的解是 ；方程032xx的解是_。7、在实数范围内分解因式 25x ；8、已 知1x是

21、方 程022 xax的 一 个 根，则a _。A B 9、已知方程x24x30 的两根分别为x1、x2，则x1+x2 ，12.x x=。10.若 x、y 为实数，且x2y20，则2010 xy的值为_ 11.22_)(_3xxx*12、已知关于 x 的一元二次方程（12k）x2x1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 _ 13 观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，32，那么第 10 个数据应是 .14.把一元二次方程 3x22x3=0 化成 3（x+m）2=n 的形式是 ；若多项式 x2ax+2a3 是一个完全平方式，则 a=15.当 x=时，1532xxx与既是最简二次根

22、式，被开方数又相同。三、解答题：1、计算：（1）、1021()(3)(2)2（2）、xxxx1246932 (（3）、（2332）2（23）（23）（4）13327 （5）2 48+3 276（）（6）1122 123 1548333 2、解方程（每小题5 分，共20 分）.（1）、2(2)25x （2）、)12(3)12(2xx （3）、2240 xx；（4）、xx4132 （5）02532 xx （6）2(3)2(3)0 xx x *（7）963222xxx（8）(23)46xxx 3先化简，再求值：（1xy 1xy）xy2x2y2，其中 x=2 1，y=2 1.（7 分）*4.（本题 1

23、0 分）已知：关于x的方程2210 xkx （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值 5、（本题 8 分）观察下列等式：1211221(21)(21)，1322332(32)(32)；1433443(43)(43)；从 计 算 结 果 中 寻 找 规 律，并 利 用 这 一 规 律 计 算：1111(.)(20111)21324320112010 7、拓展题（每题记 8 分,共 8 分)(1)、一 元 二 次 方 程02cbxax的 一 个 根 是 ，且a、b、c满 足322aab，请问x=2 是该一元二次方程的根吗(2)、若关于x的方程0122 xkx有两个不相等的实数根，求 K 的取值范围。(3)、已知关于 x 的方程（a-1）有两个实数根，求a的取值范围。(4)已知代数式-2x2+4x-18 用配方法说明无论x 取何值，代数式的值总是负数 0122 xx 当 x 为何值时，代数式有最大值，最大值是多少 8已知：451x，求256xx的值.9（8 分）、观察下列各式：514513;413412;312311，请你将猜想：(1)146 ,（2）157 .(3)请你将猜想到的规律用含有自然数 n（n1）的代数式表达出来: