2020年中考数学压轴题冲刺提升专题08圆中证明及计算问题含解析.pdf

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1、.专题 08 圆中证明及计算问题 例 12019叶县一模如图,O是ABC的外接圆,点O在BC边上,BAC的平分线交O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P 1 求证：PD是O的切线；2 求证：ABCPBDCD；3 当AB5 cm,AC12 cm时,求线段PC的长 答案见解析.解析1 证明：连接OD BADCAD,弧BD=弧CD,BODCOD90,.BCPA,ODPBOD90,即ODPA,PD是O的切线 2 证明：BCPD,PDCBCD BCDBAD,BADPDC,ABD+ACD180,ACD+PCD180,ABDPCD,BADCDP,ABBDCDCP,ABCPBD

2、CD 3BC是直径,BACBDC90,AB5,AC12,由勾股定理得：BC13,由1 知,BCD是等腰直角三角形,BDCD13 22,ABCPBDCD PC16910 变式 1-1 2018XX 一模如图,ABC内接于O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交O于点E 1 求证：ABECDE；2 填空：当ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形；若AE=6,BE=8,则EF的长为 .答案1 见解析；260；92.解析1 证明：连接CE,AB=AC,CD=CA,ABC=ACB,AB=CD,四边形ABCE是圆内接四边形,ECD+BCE=BAE+BCE=180,ECD=BAE,同理,

3、CED=ABC,ABC=ACB=AEB,CED=AEB,ABECDE；260；连接AO、OC,四边形ABCE是圆内接四边形,ABC+AEC=180,ABC=60,AEC=AOC=120,.OA=OC,OAC=OCA=30,AB=AC,ABC是等边三角形,ACB=60,ACB=CAD+D,AC=CD,CAD=D=30,ACE=30,OAE=OCE=60,即四边形AOCE是平行四边形,OA=OC,四边形AOCE是菱形；由1 得：ABECDE,BE=DE=8,AE=CE=6,D=EBC,由CED=ABC=ACB,得ECDCFB,CECFDEBC=68,AFE=BFC,AEB=FCB,AEFBCF,E

4、FCFAEBC,即668EF,EF=92 例 22019省实验一模如图,AB为O的直径,点C为AB上方的圆上一动点,过点C作O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,交O于点D,连接OC,CD,BC,BD,且BD与OC交于点E 1 求证：CDECBE；2 若AB4,填空：当弧CD的长度是 时,OBE是等腰三角形；当BC 时,四边形OADC为菱形.答案1 见解析；22；2 解析1 证明：延长AD交直线l于点F,AD垂直于直线l,AFC90,直线l为O切线,OCF90,AFCOCF90,ADOC,AB为O直径,ADB90,OEB90,OCDB,DEBE,DECBEC90,CECE,CDECBE；2如图

5、 2,连接OD,.由1 知OEB90,当OBE是等腰三角形时,则OEB为等腰直角三角形,BOEOBE=45,ODOB,OEBD,DOCBOE45,AB4,OD2,弧CD的长=452180=2；当四边形OADC为菱形时,则ADDCOCAO2,由1 知,BCDC,BC2.变式 2-12019XXXX 一模如图,四边形ABCD是O的内接四边形,O的半径为 2,B=135,则弧AC的长为 A.2 B.C.2 D.3 分析根据弧长公式180n rl,需先确定弧AC所对的圆心角AOC的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍得到AOC=2D,根据圆内接四边形对角互补,求出D=180B=45,再代入弧

6、长公式求解即可.解析解：四边形ABCD是O的内接四边形,D=180B=45,弧AC所对圆心角的度数为：245=90,O的半径为 2,弧AC的长为：902180180n rl=,故选B.1.2018XX 三模如图,在RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O,与斜边AB交于点D,E为BC边的中点,连接DE.1 求证：DE是O的切线；2 填空：若B=30,AC=2 3,则BD=当B=时,以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.答案见解析.解析解：1 连接OD,AC为直径,ADC=90,CDB=90,E是BC的中点,DE=CE=BE,DCE=EDC,OD=OC,OCD=ODC,.ODC+CDE=O

7、CD+DCE=90,即ODE=90,DE是O的切线；23；45,理由如下：B=30,AC=2 3,BCA=90,BC=ACtan30=6,DE=3,由B=A=45,OA=OD,得ADO=AOD=45,AOD=90,DOC=90,又ODE=90,四边形ODEC是矩形,OD=OC,四边形ODEC是正方形.2.2018XX 第一次大联考已知ABC内接于以AB为直径的O,过点C作O的切线交BA的延长线于点D,且DAAB=12 1 求CDB的度数；2 在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与O的位置关系,并证明 答案见解析.解析解：1 如图,连接OC,CD是O的切线,OCD=90.DA：AB

8、=1：2,DA=OC,DO=2OC 在RtDOC中,sinCDO=12,CDO=30,即CDB=30 2 直线EB与O相切 证明：连接OC,由1 可知CDO=30,COD=60,OC=OB,OBC=OCB=30,CBD=CDB,CD=CB,CD是O的切线,OCE=90,ECB=60,又CD=CE,CB=CE,CBE为等边三角形,EBA=EBC+CBD=90,EB是O的切线 3.2019偃师一模如图,在RtABC 中,ACB=90,以 AC 为直径的O与斜边AB交于点D,E为BC边上一点,且DE是O的切线 1 求证：BE=EC；2 填空：若B=30,AC=23则DE=；当B=时,以O,D,E,C

9、为顶点的四边形是正方形.答案1 见解析；23；45.解析解：1 证明：如图,连接OD,ACB=90,AC为O的直径,EC为O的切线,DE为O的切线,EC=ED,EDO=90,BDE+ADO=90,OD=OA,ADO=A,BDE+A=90,A+B=90,BDE=B,BE=EC；23；45,理由如下：在RtABC中,B=30,AC=23,BC=6,由1 知,E是BC中点,DE=12BC=3；.ODEC为正方形,DEC=90,DE=CE=BE,B=45,故答案为：3；45.4.如图,AB为O的直径,C为半圆上一动点,过点C作O的切线l的垂线BD,垂足为D,BD与O交于点E,连接OC,CE,AE,AE

10、交OC于点F 1 求证：CDEEFC；2 若AB=4,连接AC 当AC=时,四边形OBEC为菱形；当AC=时,四边形EDCF为正方形 答案见解析 解析1 证明：如图,BDCD,CDE=90,AB是直径,AEB=90,CD是切线,FCD=90,四边形CFED矩形,CF=DE,EF=CD,CE=CE,CDEEFC 2 解：当AC=2 时,四边形OCEB是菱形.理由：连接OE AC=OA=OC=2,ACO是等边三角形,CAO=AOC=60,AFO=90,EAB=30,AEB=90,B=60,OE=OB,OEB是等边三角形,EOB=60,COE=1806060=60,CO=OE,COE是等边三角形,C

11、E=CO=OB=EB,四边形OCEB是菱形 故答案为 2 当四边形DEFC是正方形时,CF=FE,CEF=FCE=45,OCAE,弧AC=弧CE,.CAE=CEA=45,ACE=90,AE是O的直径,AOC是等腰直角三角形,AC=22 AC=22时,四边形DEFC是正方形 故答案为 22 5.2019XX 二模如图,AB是半圆O的直径,D为半圆上的一个动点不与点A,B重合,连接AD,过点O作AD的垂线,交半圆O的切线AC于点C,交半圆O于点E连接BE,DE 1 求证：BEDC 2 连接BD,OD,CD 填空：当ACO的度数为 时,四边形OBDE为菱形；当ACO的度数为 时,四边形AODC为正方

12、形 答案1 见解析；230；45 解析解：1 证明：设AD,OC交于点P,OCAD,APC90 C+CAP90.AC是半圆O的切线,CAOCAP+BAD90,BADC,BEDBAD,BEDC；230,理由如下：连接BD,如图：AB是半圆O的直径,ADB90,DABACO30,DBA60,OEAD,弧AE=弧AD,DBEABE30 DEBDAB30,DEBABE,DEAB ADB90,即BDAD,OEAD,OEBD,四边形OBDE 是平行四边形 OBOE 四边形OBDE是菱形；故答案为 30；45,理由如下：连接CD、OD,.BEDACO45,BOD2BED90,AOD90,OCAD,OC垂直平

13、分AD,OCDOCA45,ACD90,ACO90,四边形AODC是矩形,OAOD,四边形AODC是正方形,故答案为 45 6.2019XX 模拟如图,CD是O的直径,且CD2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作O的切线PA、PB,切点分别为A、B 1 连接AC,若APO30,试证明ACP是等腰三角形；2 填空：当弧AB的长为 cm时,四边形AOBD是菱形；当DP cm时,四边形AOBP是正方形 答案1 见解析；223；21.解析解：1 连接AO,.PA是O的切线,PAO90,APO30,AOP60,OAOC,CCAO30,CAPO=30,ACP是等腰三角形；2若四边形AOBD是菱形,则AO

14、AD,AOOD,AOD是等边三角形,AOD60,AOB120,CD=2,圆O的半径为 1,弧AB的长为：21201180=23.若四边形AOBP为正方形时,则PAAO1,则OP=2,OD=1,PD=21,所以答案为：21 7.2019西华县一模如图,AB为O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作O的切线,交BA的延长线于点E 1 求证：ACDE；2 连接CD,若OA=AE=2 时,求出四边形ACDE的面积.答案见解析 解析证明：1F为弦AC不是直径的中点,AF=CF,ODAC,DE是O的切线,ODDE,ACDE 2 连接CD,ACDE,OA=AE=2,OF=FD,AF

15、=CF,AFO=CFD,AFOCFD,SAFO=SCFD,S四边形ACDE=SODE OD=OA=AE=2,OE=4,由勾股定理得：DE=23,S四边形ACDE=SODE=12ODOE=12223=23.8.2019 XX 联考已知：如图,ABC内接于O,AB为直径,CBA的平分线交AC于点F,交O于点D,DEAB于点E,且交AC于点P,连结AD 1 求证：DACDBA；2 求证：P是线段AF的中点；3 连接CD,若CD3,BD4,求O的半径和DE的长 答案见解析 解析1 证明：BD平分CBA,CBDDBA,DAC与CBD是弧CD所对的圆周角,DACCBD,DACDBA；2 证明：AB为直径,

16、ADB90,DEAB于E,DEB90,ADE+BDEDBE+BDE90,ADEDBEDAC,PDPA,DFA+DAFADE+BDE90,PDFPFD,PDPF,PAPF,即P是线段AF的中点；3 解：CBDDBA,CD3,CDAD3,.由勾股定理得：AB5,即O的半径为 2.5,由DEABADBD,即：5DE34,DE2.4 即DE的长为 2.4 9.2019XX 二模如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,且ACBDCE 1 判断直线CE与O的位置关系,并证明你的结论；2 若tanACB12,BC4,求O的半径 答案见解析 解析1 直线

17、CE与O相切,证明：连接OE,OAOE,EAOAEO,ACBDCE,AEOACBDCE,四边形ABCD是矩形,BCAD,.ACBDAC,ACBDCE,DACDCE,由D90,得：DCE+DEC90,AEO+DEC90,OEC90,即OEEC,OE为半径,直线CE与O相切；2 解：在RtACB中,ABtanACBBC=1242,由勾股定理得：AC25,ACBDCE,tanDCEtanACB12,在RtDCE中,CDAB2,DEDCtanDCE2121,由勾股定理得：CE5,在RtCOE中,CO2CE2+OE2,OE=OA,25OA2OA2+52,解得：OA3 54,即O的半径是3 54 10.2019XX 三模如图,在ABC中,ACBC,AB是C的切线,切点为点D,直线AC交C于点E、F,且CF=12AC,1 求证：ABF是直角三角形；2 若AC6,则直接回答BF的长是多少.答案见解析.解析1 证明：连接CD,则CFCD,AB是C的切线 CDAB,ADCBDC90,在RtACD中,CF=12AC,CDCF=12AC,A30 ACBC,ABCA30,ACB120,BCDBCF60,BCBC,BCDBCF,BFCBDC90,ABF是直角三角形 2 解：由1 知：ACBC,CDAB,ADBDBF,在RtACD中,A30,AC6,CD3,AD=3CD33BF33.