全等三角形经典模型总结.pdf

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1、全等三角形相关模型总结一、角均分线模型(一）角均分线的性质模型辅助线：过点G 作 GE射线 ACA、例题1、如图，在 ABC 中，C=90，AD 均分 CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB的距离是cm.2、如图，已知，1 2，3 4，求证：AP 均分 BAC.B、模型牢固1、如图，在四边形ABCD 中，BC AB，AD CD，BD 均分 ABC，求证：A C 180.1（二）角均分线垂线，等腰三角形必表现A、例题辅助线：延长ED 交射线 OB 于 F辅助线：过点E 作 EF射线 OB例 1、如图，在ABC 中，ABC 3 C，AD 是 BAC 的均分线，BE AD 于

2、F.1求证：BE(ACAB).例 2、如图，在 ABC 中，BAC 的角均分线 AD 交 BC 于点 D，且 AB AD，作 CM AD 交AD 的延长线于M.求证：AM12(ABAC).2（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON 上取点 B，使 OB OA，从而使 OAC OBC.A、例题1、如图，在 ABC 中，BAC=60，C=40，AP 均分 BAC 交 BC 于 P，BQ 均分 ABC交 AC 于 Q，求证：AB BP BQ AQ.2、如图，在 ABC 中，AD 是 BAC 的外角均分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB PC 与 AB A

3、C 的大小，并说明原由.3B、模型牢固1、在 ABC 中，AB AC，AD 是 BAC 的均分线，P 是线段 AD 上任意一点（不与 A 重合）.求证：ABAC PB PC.2、如图，ABC 中，AB AC，A 100，B 的均分线交 AC 于 D，求证：ADBDBC.3、如图，ABC 中，BCAC，C 90，A 的均分线交 BC 于 D，求证：AC CD AB.4二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角极点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将 ABD 逆时针旋转 90，得 ACM ABD，从而推出 ADM为等腰直角三角形（2）辅助线作法：过点 C 作 MC BC，使 CM BD

4、，连接 AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上转动的旋转全等：操作过程：连接AD.（1）使 BFAE（或 AF CE），导出 BDF ADE.（2）使 EDF BAC 180，导出 BDF ADE.A、例题1、如图，在等腰直角 ABC 中，BAC 90，点 M、N 在斜边 BC 上滑动，且 MAN45，试试究 BM、MN、CN 之间的数量关系.5 .2、两个全等的含有 30，60角的直角三角板 ADE 和 ABC，按以以下图放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME、MC.试判断 EMC 的形状，并证明你的结论.B、模型牢固1、已知，以以下图，R

5、tABC 中，AB AC，BAC90，O 为 BC 中点，若 M、N 分别在线段 AC、AB 上搬动，且在搬动中保持AN CM.（1）试判断 OMN 的形状，并证明你的结论（2）当 M、N 分别在线段AC、AB 上搬动时，四边形AMON 的面积如何变化？2、在正方形ABCD 中，BE 3，EF 5，DF4，求 BAE DCF 为多少度.6（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，以以下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角ABC 中，AC BC，ACB 90，满足 P

6、B PC，AP AC，求证：BCP 15 .P 为三角形ABC内部一点，7三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：以以下图，在 ABC 中，AB AC，BAC 90，D 为 AC 中点，AF BD 于点 E，交 BC 于 F，连接 DF.求证：ADB CDF.变式 1、已知：以以下图，在接 NF.ABC 中，AB AC，AM CN，AF BM 于 E，交 BC 于 F，连求证：（1）AMB CNF；（2）BM AF FN.变式 2、在变式1 的基础上，其他条件不变，可是将BM 和 FN 分别延长交于点P，求证：（1）PM PN；（2）PB PF AF.8四、手拉手模型1、ABE 和 ACF 均

7、为等边三角形结论：（1）ABF AEC.（2）BOE BAE60 .（3）OA 均分 EOF.（四点共圆证）拓展：ABC 和 CDE 均为等边三角形结论：（1）AD BE；（2）ACB AOB；（3）PCQ 为等边三角形；（4）PQ AE；（5）APBQ；（6）CO 均分 AOE；（四点共圆证）（7）OA OBOC；（8）OEOC OD.（7），（8）需构造等边三角形证明）9例、如图，点 M为锐角三角形 ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM以 AB为一边向外作等边三角形 ABE，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60获取 BN，连接 EN（1）求证：AMB ENB；（2）若 AM+BM+CM

8、的值最小，则称点 M为 ABC 的费尔马点若点 M为 ABC 的费尔马点，试求此时 AMB、BMC、CMA 的度数；（3）小翔受以上启示，获取一个作锐角三角形费尔马点的简略方法：如图，分别以的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边 ACF，连接 CE、BF，设交点为即为 ABC 的费尔马点试说明这种作法的依据ABCM，则点 M102、ABD 和 ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE CD；（2）BE CD.3、四边形 ABEF 和四边形 ACHD 均为正方形结论：（1）BD CF；（2）BD CF.变式 1、四边形 ABEF 和四边形 ACHD 均为正方形，证：（1）T 为 FD

9、中点；（2）SVABCSVADF.BC 交 FD 于 T，求11 AS变式 2、四边形 ABEF 和四边形 ACHD 均为正方形，T 为 FD 中点，TA 交 BC 于 S，求证：AS BC.4、如图，以 ABC 的边 AB、AC 为边构造正多边形时，总有：12180360n12五、半角模型条件：1,且 +=180，两边相等.2思路：1、旋转辅助线：延长CD 到 E，使 ED=BM，连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN，连 AFF、B、M三点共将 ADN绕点 A 顺时针旋转 90得 ABF，注意：旋转需证线结论：（1）MN BM DN；（2）CVCMN=2 AB；（3）AM、AN 分

10、别均分 BMN、MND.2、翻折（对称）辅助线：作AP MN 交 MN 于点 P将 ADN、ABM分别沿 AN、AM翻折，但必然要证明M、P、N 三点共线 .13A、例题例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上搬动，且满足 MN BMDN，求证：（1）MAN 45；（2）CVCMN=2 AB；（3）AM、AN 分别均分 BMN 和 DNM.变式：在正方形 ABCD 中，已知 MAN45，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上搬动，AHMN，垂足为 H，（1）试试究线段 MN、BM、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB AH14例 2、在四边形 ABCD 中，B D 180，AB AD，若 E、F 分别为边 BC、CD 上的点，且满足 EFBE DF，求证：EAF1BAD.2变式：在四边形 ABCD 中，B 90，D 90，AB AD，若的点，且 EAF1BAD，求证：EF BEDF.2 E、分别为边 BC、CD 上15 F