二次函数的实际应用(典型例题分类).pdf

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1、 1 二 次 函 数 与 实 际 问 题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y()与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造 一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y()与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数 关系式？当x 为

2、多长时，花园面积最大？2 例二：某商店经营 T 恤衫,已知成批购进时单价是 2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是 13.5元时,销售量是 500件,而单价每降低 1元,就可以多售出 200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为 x 元，(0 x 13.5)元，那么（1）销售量可以表示为_；（2）销售额可以表示为_；（3）所获利润可以表示为_；（4）当销售单价是_元时，可以获得最大利润，最大利润是_。变式练习 2：某果园有 100棵橙子树,每一棵树平均结 600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和

3、每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子.（1）问题中有哪些变量？其中自变量是_,因变量是_.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_棵橙子树,这时平均每棵树结_个橙子.（3）如果橙子的总产量为 y 个，请你写出 x 与 y 之间的关系式_.（4）果园里种_棵橙子树橙子的总产量最多，最多是_。3 例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图 10 所示。（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽 3m，车与箱共高 4.5m

4、，此车能否通过隧道？并说明理由。变式练习 3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面宽64米，水位上升 3 米就达到警戒水位线 CD，这时水面宽34米，若洪水到来时，水位以每小时 0.25 米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？xy例 2 图 DCBAO 4 变式练习 4：如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为 8米，两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，则校门的高度为 。（精确到 0.1 米）例四：一家化工厂原来每月利润为 120 万元，从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环

5、境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的 1 至 x 月（1 x 12）的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10 x+90,第二年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平。（1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月（1 x 12）的利润和为 y,写出 y 关于 x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于 700万元？（2）当 x 为何值时，使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安装回收净化设备时 x 个月的利润和相等？（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。6 米 4米 8 米 题图 BAO 第 3 题图 5 变式练习 5：一快餐店试销某种套餐，试销一段时

6、间后发现，每份套餐的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元(不含套餐成本)若每份售价不超过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高 1 元，每天的销售量就减少 40 份 为 了便于结算，每份套餐的售价 x(元)取整数，用 y(元)表示该店日净收入(日净收 入每天的销售额套餐成本每天固定支出)求 y 与 x 的函数关系式；若每份套餐售价不超过 10 元，要使该店日净收入不少于 800 元，那么每份售价最少不低于多少元？该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？例题五：心理学家研究发现，

7、一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力 y 随时间 t的变化规律有如下关系（04 黄冈）（1）讲课开始后第 5 分钟与讲课开始第 25 分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解 24 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到 180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？224100(010)240(1020)7380(2040)ttt

8、yttt 6 例题六：如图，等腰 RtABC的直角边 AB，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点 P 沿射线 AB 运动，点 Q 沿边 BC 的延长线运动，PQ与直线相交于点 D。(1)设 AP的长为 x，PCQ的面积为 S，求出 S 关于 x 的函数关系式；(2)当 AP 的长为何值时，S PCQ=SABC 变式练习 6：在矩形 ABCD中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B以 1cm/秒的速度移动，同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/秒的速度移动。如果 P、Q 两点在分别到达 B、C 两点后就

9、停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于 8cm2（2）设运动开始后第 t 秒时，五边形 APQCD的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；t 为何值时 S 最小？求出 S 的最小值。C D Q B P A 7 课后练习：一，利润问题：1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件（1）若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商

10、场平均每天盈利最多？二，面积问题：2，如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上 (1)设长方形的一边 ABx m，那么 AD 边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为 y m2，当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？8 3.如图 1，RtPMN中，P 90，PMPN，MN8cm，矩形 ABCD的长和宽分别为 8cm和 2cm，C 点和 M 点重合，BC 和 MN 在一条直线上。令 RtPMN不动，矩形 ABCD沿 MN所在直线向右以每秒 1cm的速度移动（如图 2），直到 C 点与 N 点重合为止。设移动 x秒后，矩形 ABCD与PMN重叠部分的面积为 y2cm。求 y 与 x 之间的函数关系式。