六年级数学工程问题(附例题答案).pdf

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1、第七讲 工程问题 一、知识要点 在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间得基本数量关系就是 工作总量=工作效率工作时间、在小学数学中,探讨这三个数量之间关系得应用题,我们都叫做“工程问题”、举一个简单例子:一件工作,甲做 10 天可完成,乙做 15 天可完成、问两人合作几天可以完成？一件工作瞧成 1 个整体,因此可以把工作量算作 1、所谓工作效率,就就是单位时间内完成得工作量,我们用得时间单位就是“天”,1 天就就是一个单位,因此甲得工作效率就是,乙得工作效率就是,我们想求两人合作所需时间,就要先求两人合作

2、得工作效率,再根据基本数量关系式,得到所需时间=工作量工作效率 =6(天)、两人合作需要 6 天、这就是工程问题中最基本得问题,这一讲介绍得许多例子都就是从这一问题发展产生得、为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),可把工作量多设份额、如上题,10与15得最小公倍数就是30、设全部工作量为 30 份、那么甲每天完成 3 份,乙每天完成 2 份、两人合作所需天数就是 30(3+2)=6(天)实际上我们把这个算式,先用 30 乘了一下,都变成整数计算,就方便些、10 天与 15 天,体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系、或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”、甲、乙工作效率得比就是 1510

3、=32、当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也就是非常实用得、根据,两人合作时,甲应完成全部工作得,所需时间就是(天)、因此,在下面例题得讲述中,我们可以采用“把工作量设为整体 1”得做法,也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等,这样会使我们得解题思路更灵活一些、二、典型例题 例 1、一件工作,甲做 9 天可以完成,乙做 6 天可以完成、现在甲先做了 3 天,余下得工作由乙继续完成、乙需要做几天可以完成全部工作？解析:甲得工效:191/9 乙得工效:161/6 甲三天做了得:1/9 31/3 余下得工作:1 1/3 2/3 乙需做得天数:2/3 1/64(天)例 2、有一

4、工程,甲队单独做 24 天完成,乙队单独做 30 天完成,甲、乙两队合做 8 天后,余下得由丙队做,又做了 6 天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成？解析:1-(1/24+1/30)8=2/5 62/5=15 天 例 3、某工程先由甲单独做 63 天,再由乙单独做 28 天即可完成,若由甲乙两人合作,需 48 天完成,现在甲先单独做 42 天,然后由乙来单独完成,那么还需要多少天？解析:某工程先由甲单独做 63 天,再由乙单独做 28 天可以完成,可瞧成甲乙合作 28 天,甲再另外做了 35 天所以甲得工效为(1-28/48)/35=1/84,乙得工效为 1/48-1/84=1/112 甲

5、先单独做 42 天,然后由乙接着做,还需(1-42*1/84)/(1/112)=56 天 另一个方法:令甲每天做工程得百分比为 x,乙每天做工程得百分比为 y 则 63x+28y=1 48(x+y)=1 求得x=1/84 y=1/112 若甲独做 42 天,则完成工程得 42/84,即 1/2,剩下 1/2 由乙完成,需要 1/21/112=56天 例 4、一项工程,甲乙两人合作 4 天后,再由乙单独做 5 天完成,已知甲比乙每天多完成这项工程得,甲乙单独做这项工程各需要多少天？甲单独做需 X 天,乙单独做需 y 天 4*(1/X+1/Y)+5/Y=1 1/x-1/y=1/30 X=10 Y=

6、15 甲单独做需 10 天,乙单独做需 15 天 设甲单独做需 X 天,那么甲平均每天完成工程得 1/X;因为甲比乙每天多完成这项工程得 30 分之一,就就是说,乙平均每天完成 1/X-1/30;按照已知条件,甲乙合作 4 天,4/X+4*(1/x-1/30),随后,乙单独做了 5 天,5*(1/x-1/30),加在一起,完成了这项工程,即,4/X+4*(1/x-1/30)+5*(1/x-1/30)=1 x=10 乙每天完成 1/10-1/30=1/15,即,乙单独做需 15 天 例 5、一项工程,甲队单独做 20 天完成,乙队单独做 30 天完成、现在她们两队一起做,其间甲队休息了 3 天,

7、乙队休息了若干天、从开始到完成共用了 16 天、问乙队休息了多少天？16 天中甲实际休息了 16-3=13 天 甲完成了 13/20 乙完成了 1-13/20=7/20 需要时间:7/201/30=10、5 天 所以乙休息了 16-10、5=5、5 天 例 6、有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要 10 天,单独完成乙工作要 15 天;李单独完成甲工作要 8 天,单独完成乙工作要 20 天、如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析 1:先让张某单独完成乙,李某单独完成甲。乙还剩 1-8/15=7/15 两人合作时间为:7/15/(1/15+1/20)=4 所以至少

8、要工作:8+4=12(天)解析 2:小李做甲工效高 小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再与小张一起做乙 至少需要:(1-8/15)(1/15+1/20)+8=12 天 例 7、甲、乙合做一件工作要 15 天才能完成,现在甲、乙合做 10 天后,再由乙独做 6 天,还剩下这件工作得1/10,甲单独完成这件工作要多少天？解析:甲乙合作 10 天,完成了:101/152/3 乙独做 6 天完成了:12/31/107/30 乙每天完成:7/3067/180 甲独做需要:1(1/157/180)36(天)例 8、一项工程甲队单独做 15 天可以完成,乙队独坐 10 天可以完成。现在开始两队合作,但中

9、间乙队因另有任务调走,从开始到完成任务,甲队工作了 9 天,乙队比甲队少工作了多少天？解析:甲独做一天得工效为 1/15,乙独做一天得工效为 1/10。合做分想:这项工程甲做了 9 天,剩下得都就是由乙队完成得。可以用工作总量减去甲队 9 天得工作量,求出乙队工作量,再根据乙队得工作量与工效求出乙队得工作时间:(11/159)1/104(天)。所以乙队比甲队少工作天数为:945 例 9、甲、乙合做一件工作,合作 8 天后,乙又独做 5 天,还剩下这件工作得 1/6。已知乙单独完成这件工作要 30 天,那么甲单独完成这件工作要多少天？解析:1-1/30(8+5)-1/6=12/30=2/5 2/

10、58=1/20 所以需要 20 天 例 10、甲、乙合做一件工作,每天能完成全部工作得 1/12,甲单独做 6 天,乙又单独做 10 天后,还剩下全部工作得 11/30 没有完成,甲单独完成全部工作要多少天？解析:6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20 例 11、一项工程,甲单独完成需 12 天,乙单独完成需 9 天。若甲先做若干天后乙接着做,共用 10 天完成,问甲做了几天？解析 1:当做鸡兔同笼问题处理,如果 10 天都就是乙做,能完成:1/910=10/9,超出了:10/9-1=1/9,每天,甲比乙少

11、做:1/9-1/12=1/36,甲做了:1/91/36=4 天 解析 2:设甲做了 X 天 X1/12(10-X)1/91,得出 X4 甲做了 4 天 例 12、一件工作,甲独做要 12 天,乙独做要 18 天,丙独做要 24 天、这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做得天数就是甲做得天数得 3 倍,再由丙接着做,丙做得天数就是乙做得天数得 2 倍,终于做完了这件工作、问总共用了多少天？解析:设甲做了 x 天,则乙做了 3x 天,丙做了 6x 天,所以 x/12+3x/18+6x/24=1,x/2=1 x=2,所以总共用了 2+3*2+6*2=20 天 例 13、一份稿件,甲、乙、丙三

12、人单独打字需要得时间分别就是 20 小时、24 小时、30 小时,现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用 12 小时完成,甲只打了多少小时？解析 1:甲、乙、丙每小时单独打出稿件得 1/20,1/24,1/30,打了 12 小时,则乙与丙分别打了全部稿件得 12/24,12/30,12/24+12/30=9/10,则甲打了稿件得十分之一,(1/10)除以(1/20)=2 甲打了 2 小时 解析 2:方程法:设甲打 x 小时。则:x/20+12*(1/24+1/30)=1,可解出 X=2 例 14、一项工程甲单独完成要 30 天,乙单独完成要 45 天,丙单独完成要 90 天。现在由甲

13、、乙、丙合作完成此工程,在工作过程中甲休息了2天,乙休息了3天,丙没有休息,最后把工程完成了,问完成这项工程前后一共用了多少天？解析 1:方程法设就是第 x 天完成得,(x-2)/30+(x-3)/45+x/90=1 整理,得 x=17 解析 2:(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释:假若甲、乙没休息,那么应该完成总工程得 1+2/30+3/45 例 15、一项工程,甲、乙两人合做 4 天后,再由甲单独做 6 天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这项工程得 1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析 1:思路同第四题,设乙每天完成得工作占整个工作得 x

14、,4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1 x=1/16,x+1/80=3/40,所以甲 40/3 天完成,乙 16 天完成 解析 2:甲比乙多完成全部任务得:1/80*(46)1/8(46 表示甲一共做了 10 天)1-1/87/8(相当于两人均以乙得工效完成得工作量)44614(天)乙每天完成:7/8141/16,甲每天完成:1/161/803/40,单独完成甲要:13/4013 又 1/3(天)例 16、一件工作,甲、乙两人合作 36 天完成,乙、丙两人合作 45 天完成,甲、丙两人合作要 60 天完成、问甲一人独做需要多少天完成？解析:甲乙合作得效率=136=1/36,乙丙合作得

15、效率=145=1/45,甲丙合作得效率=160=1/60,甲乙丙三人合作得效率=(1/36+1/45+1/60)2=1/30 甲工作得效率=1/30-1/45=1/90 三、练习题 1、某工程甲单独干 10 天完成,乙单独干 15 天完成,她们合干多少天才可完成工程得一半？解:天 2、某工程甲队单独做需 48 天,乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天,将工程做完。求乙队在中间单独工作得天数。3、一条水渠,甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后,剩下得乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？4、单独干

16、某项工程,甲队需 100 天完成,乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后,剩下得工程乙队干还需多少天？分析与解:以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天,甲得工作效 5、某项工程,甲单独做需 36 天完成,乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新得工程,那么乙队又做了 18 天才完成任务。问:甲队干了多少天？分析:将题目得条件倒过来想,变为“乙队先干 18 天,后面得工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来,问题就简单多了。答:甲队干了 12 天。6、制作一批零件,甲车间要 10 天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成、乙车间与丙车

17、间一起做,需要 8 天才能完成、现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件 2400 个、问丙车间制作了多少个零件？解一:仍设总工作量为 1、甲每天比乙多完成 因此这批零件得总数就是 丙车间制作得零件数目就是 答:丙车间制作了 4200 个零件、解二:10 与 6 最小公倍数就是 30、设制作零件全部工作量为 30 份、甲每天完成 3 份,甲、乙一起每天完成5 份,由此得出乙每天完成 2 份、乙、丙一起,8 天完成、乙完成 82=16(份),丙完成 30-16=14(份),就知 乙、丙工作效率之比就是 1614=87、已知 甲、乙工作效率之比就是 32=128、综合一起,甲、乙、丙

18、三人工作效率之比就是 1287、当三个车间一起做时,丙制作得零件个数就是 2400(12-8)7=4200(个)、7、搬运一个仓库得货物,甲需要 10 小时,乙需要 12 小时,丙需要 15 小时、有同样得仓库 A 与 B,甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运、最后两个仓库货物同时搬完、问丙帮助甲、乙各多少时间？解:设搬运一个仓库得货物得工作量就是 1、现在相当于三人共同完成工作量 2,所需时间就是 答:丙帮助甲搬运 3 小时,帮助乙搬运 5 小时、解本题得关键,就是先算出三人共同搬运两个仓库得时间、本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部

19、工作量为 60、甲每小时搬运 6,乙每小时搬运 5,丙每小时搬运 4、三人共同搬完,需要 60 2(6+5+4)=8(小时)、甲需丙帮助搬运 (60-6 8)4=3(小时)、乙需丙帮助搬运 (60-5 8)4=5(小时)、8、一件工作,甲独做 12 天完成,乙独做 18 天完成,丙独做 24 天完成。这件工作先由甲做了若干天,然后乙接着做,乙做得天数就是甲做得天数得 3 倍,再由丙接着做,丙做得天数就是乙做得天数得 2 倍,终于做完了这件工作,求这件工作做完共用了多少天？【解析】:解法一:列方程解答。设甲先做了 X 天,则乙接着做了 3 X 天,丙做了(23)X 天,由题意可得:X1/123X1/18(23)X1/241 解得:X2 所以这件工作做完共用时间:2(1323)20(天)。解法二:把甲得工效(一天得工作量)、乙工效得 3 倍、丙工效得 6 倍合起来得工作量瞧作一份,总工作量里有这样得几份,甲就工作了几天,可以求出甲工作得天数为:1(1/1231/18231/24)2(天)所以这件工作做完共用时间:2(1323)20(天)。