法向量求法及应用方法.pdf

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1、平面法向量的求法及其应用 一、平面的法向量 1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,1)nx y或(,1,)nxz，或(1,)ny z，在平面内任找两个不共线的向量,a b。由n，得0n a且0n b，由此得到关于,x y的方程组，解此方程组即可得到n。方法二：任何一个zyx,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,的一次方程。0DCzByAx)0,(不同时为CBA，称为平面的一般方程。其法向量),(CBAn;若平面与 3个坐标轴的交点为)

2、,0,0(),0,0(),0,0,(321cPbPaP,如图所示,则平面方程为:1czbyax,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法):设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin|ba，（为,两者交角，且0），而与,皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由 的方向转为 的方向 时，大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为ba的 方 向,abba。:),(),(222111则设zyxbzyxa21yyba,21zz21xx,21zz21xx 21yy （注：1、二阶行列式:caM cbaddb；2、适合右手定则。）例1、已

3、知，)1,2,1(),0,1,2(ba，试求（1）：;ba（2）：.ab Key:(1)5,2,1(ba;)5,2,1()2(ab 例 2、如图 1-1,在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，图 1-1 C1 C B y F A D x A1 D1 z B1 E 求平面 AEF 的一个法向量n。二、平面法向量的应用 1、求空间角(1)、求线面角：如图 2-1，设n是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，A，则 AB 与平面 所成的角为：图 2-1-1:.|arccos2,2ABnABnABn 图 2-1-2:2|arccos2,ABnABnABn(2)、求面面角:设向量m，n分别

4、是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：|arccos,nmnmnm（图 2-2）;|arccos,nmnmnm(图 2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图 2-3 中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离（1）、异面直线之间距离:m 图 2-2 n m 图 2-3 n|,cos|sinABn)2,2,1(:AE

5、AFnkey 法向量A B 图 2-1-2 C n 图 2-1-1 B nA C 方法指导：如图 2-4,作直线 a、b 的方向向量a、b，求 a、b 的法向量n，即此异面直线 a、b 的公垂线的方向向量；在直线 a、b 上各取一点 A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影 d，则异面直线 a、b 间的距离为|nnABd,其中bBaAbnan,（2）、点到平面的距离:方法指导：如图 2-5,若点 B 为平面外一点，点 A 为平面内任一点，平面的法向量为n，则点 P 到 平面的距离公式为|nnABd（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图 2-6,直线a与平面之间的距离：|AB ndn，其中

6、aBA,。n是平面的法向量 （4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面,之间的距离：|nnABd，其中,AB。n是平面、的法向量。3、证明（1）、证明线面垂直：在图 2-8 中,m向是平面的法向量，a是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am）。（2）、证明线面平行：在图 2-9 中,m向是平面的法向量，a是直线 a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0am）。（3）、证明面面垂直：在图 2-10 中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0nm）图 2-4 n a b A B 图 2-11 m n图 2-10 mn图

7、2-9 ma a图 2-8 a ma图 2-7 A B n A a B n 图 2-6 图 2-5 n A M B N O（4）、证明面面平行：在图 2-11 中,m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm）。三、高考真题新解 1、（2005 全国 I，18）（本大题满分 12 分）已知如图 3-1,四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，PADAB,90底面 ABCD，且 PA=AD=DC=21AB=1，M 是 PB 的中点 （）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 解:以 A 点为原

8、点,以分别以 AD，AB，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz如图所示.)1,0,0().(API，)0,0,1(AD，设平面 PAD 的法向量为)0,1,0(ADAPm)0,1,0(DC又，)1,0,1(DP，设平面 PCD 的法向量为)1,0,1(DPDCn 0nm，nm，即平面 PAD平面 PCD。).(II)0,1,1(AC，)1,2,0(PB，510arccos|arccos,PBACPBACPBAC).(III)21,0,1(CM，)0,1,1(CA，设平在 AMC 的法向量为)1,21,21(CACMm.又)0,1,1(CB,设平面 PCD 的法向量为

9、)1,21,21(CBCMn.)32arccos(|arccos,nmnmnm.面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为)32arccos(.32arccos或 2、(2006 年云南省第一次统测 19 题)(本题满分 12 分)如图 3-2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BC2a，M是AD的中点。()求证：AD平面A1BC；图图 3-1 C D M A P B()求证：平面A1MC平面A1BD1；()求点 A 到平面A1MC的距离。解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.).(I)0,0,2(aBC,),

10、0(1aaBA,设 平 面A1BC的 法 向 量 为)2,2,0(221aaBABCn 又)0,0,2(aAD,0ADn,nAD,即 AD/平面 A1BC.).(II),0,22(aaMC,)0,22(1aaMA,设 平 面A1MC的 法 向 量 为:)22,22,(2221aaaMAMCm,又),2(1aaaBD,),0(1aaBA,设 平 面A1BD1的 法 向 量 为:)2,2,0(2211aaBABDn,0nm,nm,即平面 A1MC平面 A1BD1.).(III设点 A 到平面A1MC 的距离为 d,)22,22,(2221aaaMAMCm是平面 A1MC 的法向量,又)0,0,22(aMA,A 点到平面 A1MC 的距离为:amMAmd21|.四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）