关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版.pdf

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1、 关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版 Last revision on 21 December 2020 高中数学不等式专题教师版 一、高考动态 考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式 （4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b 二、不 等 式 知识要点 1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa（2）不等式的分类：绝

2、对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）（6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11(10),0ab abab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)1,(0nZnbabann且（开方法则）3.几个重要

3、不等式（1）0,0|,2aaRa则若（2）)2|2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b都是正数，那么.2abab（当仅当 a=b 时取等号）极值定理：若,x yRxyS xyP则：1 如果 P 是定值,那么当 x=y时，S 的值最小；2 如果 S 是定值,那么当 x=y时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.3,3abcabcRabc(4)若、则（当仅当 a=b=c 时取等号）0,2baabab(5)若则（当仅当 a=b 时取等号）（7）|,bababaRba则、若 4.几个着名不等式 （1）平均不等式：如果

4、 a,b 都是正数，那么 222.1122abababab（当仅当 a=b 时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：特别地，222()22ababab（当 a=b时，222()22ababab）幂平均不等式：22122221).(1.nnaaanaaa 注：例如：22222()()()acbdabcd.常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnn 11111(1)121nnnnnnnnnn （2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223

5、222122322212332211321321)();,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有 则称 f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解（4）.指数不等式：转化为

6、代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x为正数）：2311 24(1)2(1)(1)()22 327xxxxx 2222232(1)(1)1 242 3(1)()22 3279xxxyxxyy 类似于22sincossin(1 sin)yxxxx，111|()2xxxxxx与 同号，故取等 三、利用均值不等式求最值的方法 均值不等式abab ab200(，当且仅当 ab 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但

7、是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑 1.凑系数 例 1.当04x时，求yxx()82的最大值。解析：由04x知，820 x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系数即可。当且仅当282xx，即 x2 时取等号。所以当 x2 时，yxx()82的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项 例 2.已知x 54，求函数f xxx()42145的最大值。解析：由题意知

8、450 x，首先要调整符号，又()42145xx不是定值，故需对42x 进行凑项才能得到定值。xx54540，f xxxxx()()42145541543 2541543231()xx 当且仅当54154xx，即x 1时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离 例 3.求yxxxx271011()的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当x 10，即x 1时 yxx214159()（当且仅当 x1 时取“”号）。当x 10，即x 1时 yxx521411()（当且仅当 x3 时取“”号）。yxxxx2710

9、11()的值域为()，19。评注：分式函数求最值，通常化成ymg xAg xB Am()()()00，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换 例 4.已知abab0021，求tab11的最小值。解法 1：不妨将11ab乘以 1，而 1 用 a2b 代换。当且仅当2baab时取等号，由22121122baababab，得 即ab21122时，tab11的最小值为32 2。解法 2：将11ab分子中的 1 用ab2代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到tbaab32，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得tab11的最小值。三、换元 例 5.求函数yxx22

10、5的最大值。解析：变量代换，令tx 2，则xttytt222021()，则 当 t0 时，y0 当t 0时，ytttt12112 2124 当且仅当21tt，即t 22时取等号。故xy 3224时，max。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方 例 6.求函数yxxx21521252()的最大值。解析：注意到2152xx与的和为定值。又y 0，所以02 2y 当且仅当2152xx，即x 32时取等号。故ymax 2 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用

11、均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式 一、选择题 1若a0，b0，且 ln(ab)0，则1a1b的最小值是()B1 C4 D8 解析：由a0，b0，ln(ab)0，得 ab1，a0，b0.故1a1babab1ab1ab2211224.当且仅当ab12时，上式取等号.答案：C 2已知不等式(xy)1xay9 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C9 D16 解析：(xy)1xay1xyayxa.x0，y0，a0，1axyyxa

12、1a2a.由 91a2a，得a2a80，(a4)(a2)0.a0，a2，a4，a的最小值为 4.答案：B 3已知函数f(x)lg5x45xm的值域为 R，则m的取值范围是()A(4，)B4，)C(，4)D(，4 解析：设g(x)5x45xm，由题意g(x)的图像与x轴有交点，而 5x45x4，故m4，故选 D.答案：D 4当点(x，y)在直线x3y20 上移动时，表达式 3x27y1 的最小值为()A3 B5 C1 D7 解析：方法一：由x3y20，得 3yx2.3x27y13x33y13x3x21 3x93x1 2 3x93x17.当且仅当 3x93x，即 3x3，即x1 时取得等号 方法二

13、：3x27y13x33y123x33y12 3217.答案：D 5已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 解析：2xyx(2y)x2y22，原式可化为(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.当x2，y1 时取等号 答案：B 6(2013苍山调研)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则1x13y的最小值是()A2 B22 C4 D23 解析：由 lg2xlg8ylg2，得 lg2x3ylg2.x3y1，1x13y1x13y(x3y)2x3y3yx4.答案：C 二、填空题 7设x、yR，且xy0，则x21y21x24y2的最小值为_ 解析：x21y21

14、x24y2144x2y21x2y2142 49.当且仅当 4x2y21x2y2时等号成立，即|xy|22时等号成立.答案：9 8(2013台州调研)若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_ 解析：ab4ab10，b4a1a1，ab4ab1.(a1)(b2)ab2ab26a2b1 6a4a1a121 6a4a132a11 6a86a11 6(a1)6a115.a1，a10.原式6(a1)6a1152 661527.当且仅当(a1)21，即a2 时等号成立 最小值为 27.答案：27 9(2013聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均

15、速度v(千米/小时)之间有函数关系：y920vv23v1 600(v0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v_千米/小时 解析：v0，y920v1 600v39202 v1 600v3920803，当且仅当v1 600v，即v40 千米/小时时取等号.答案：40 三、解答题 10已知x0，y0，z0，且xyz1.求证：1x4y9z36.解析：x0，y0，z0，且xyz1，1x4y9z(xyz)1x4y9z14yx4xyzx9xz4zy9yz142 yx4xy2 zx9xz24zy9yz14461236.当且仅当x214y219z2，即x16，y13，z12时等号成立 1x4y9z3

16、6.11某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽 解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S m2，则半圆的周长为y2 m.操场周长为 400 m，所以 2x2y2400，即 2xy400(0 x200,0y400)Sxy12(2x)(y)122xy2220 000.由 2xy，2xy400，解得 x100，y200.当且仅当 x100，y200时等号成立 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和200 m 时，矩形区域面积最大 12

17、已知x，y都是正实数，且xy3xy50.(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值 解析：(1)由xy3xy50，得xy53xy.2xy5xy53xy.3xy2xy50.(xy1)(3xy5)0.xy53，即xy259，等号成立的条件是xy.此时xy53，故xy的最小值是259.(2)方法一：xy53xy3xy2234(xy)2，34(xy)2(xy)50.即 3(xy)24(xy)200.即(xy)23(xy)100.xy103.等号成立的条件是xy，即xy53时取得 故xy的最小值为103.方法二：由(1)知，xy53xy，且(xy)min259，3(xy)min253.(xy)min2535103，此时xy53.