离散数学2017秋综合练习题.pdf

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1、精品 精品 离散数学综合练习题 一、判断下列命题是否正确如果正确，在题后括号内填“/”；否则，填“”（1）空集是任何集合的真子集 （）（2）是空集 （）（3）aaa,（）（4）如果BAa，则Aa或Ba （）（5）设集合,321aaaA，,321bbbB，则 ,332211bababaBA （）（6）设集合1,0A，则 1,0,0,0,1,0,是A2到A的关系 （）（7）关系的复合运算满足交换律 （）（8）设21,为集合 A 上的等价关系,则21也是集合 A 上的等价关系 ()（9）设是集合A上的等价关系,则当ba,时，ba ()（10）设21,为集合 A 上的等价关系,则 2121 ()（11

2、）集合 A 上的任一运算对 A 是封闭的 （）（12）设 A 是集合，AAA:，bba，则是可结合的（）（13）设,G是群如果对于任意Gba,，有 222)(baba 则,G是阿贝尔群 （）（14）设 a 是群,G的元素，记|yaayGyyH且 则,H是,G的子群 （）（15）是格 （）（16）设 a，b 是格,L的任意两个元素，则 ababba （）（17）设,B是布尔代数，则,B是格 （）（18）设集合,baA，则,Aba是格 （）（19）设,B是布尔代数，则对任意Bba,，有 baba （）（20）设,B是布尔代数，则对任意Ba，都有Bb，使得 0,1baba （）（21）n 阶完全图的

3、任意两个不同结点的距离都为 1.（）精品 精品（22）在有向图中，结点iv到结点jv的有向短程即为jv到iv 的有向短程 （）（23）强连通有向图一定是单向连通的 （）（24）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路 （）（25）设图 G 是连通的，则任意指定 G 的各边方向后所得的有 向图是弱连通的 （）（26）设 A 是某个无向图的邻接矩阵，则TAA(TA是A的转置 矩阵)（）（27）设有向图 D 的可达矩阵为 1000110011101111P 则G是单向连通的 （）（28）有生成树的无向图是连通的 （）（29）由 r 棵树组成的森林的结点数 n 与边数 m 有下列关系：m=n-r.（

4、）（30）如果有向图 D 仅有一个结点的入度为 0，其余结点的入度都为 1，则 D 是有向树 （）（31）“如果 872，则三角形有四条边”是命题 （）（32）设QP,都是命题公式，则QP 也是命题公式 （）（33）命题公式QP,的真值分别为 0，1，则QP 的真值为 0（以上是在对QP,所包含的命题变元的某个赋值下）（）（34）逻辑结论是正确结论 （）（35）设BA,都是谓词公式，则BA 也是谓词公式 （）（36）设BA,都是谓词公式，BA，则BA 是永真式 （）（37）设CBA,都是命题公式，则 )()(CACBA 也是命题公式 （）（38）命题公式QP,的真值分别为 0，1，则QP 的真

5、值为 0（以上是在对QP,所包含的命题变元的某个赋值下）（）（39）设c是个体域中某个元素，则 )()()()(cQcPxxQxxP 其中QP,都是谓词 （）（40）),(),(yxxAyyxyAx （）二、填空题（1）设A有n个元素，则集合A的幂集)(AP中有 个元素。（2）设,A，则A2=.（3）设集合BA,中元素的个数分别为5#A，7#B，且9)(#BA，精品 精品 则集合BA中元素的个数)(#BA .（4）设集合4,1001|ZxxxxA的倍数，是，5,1001|ZxxxxB的倍数，是，则BA中元素的个数为 .(5)设21,为集合 A 上的二元关系,则21 .(6)集合A上的二元关系为

6、传递的充分必要条件是 (7)设1：a称b为母亲，2：b称c为父亲，则21：,(8)设N为自然数的集合，“”为自然数的小于等于关系，N的子集9,7,5A，则A的下确界为 ，下确界为 ,(9)设 10 人集合E赵茵，钱小滨，孙丽春，赵萍，钱浩，李靖华，李秀娟，钱钰，李惠芝，李莉上的同姓关系为，则等价类赵=，钱=，(10)设,baA,是 A2 上的包含于关系，,则有=.(11)设S为非空有限集，代数系统),(SP中，)(SP对运算的单位元为 ，零元为 .(12)循环群33,I的生成元为 .(13)循环群66,I的所有子群为 .(14)代数系统,Z中（其中Z为整数集合，+为普通加法），对任意的Ix，其

7、1x .(15)在整数集合Z上定义运算为baba2，则,Z的单位元为 .(16)设10,4,3,2,1T,在代数系统max,T中，max,T的单位元为 ，可逆元为 .(17)设,G是群，则对于任意的Gba,，方程 和 有唯一解。(18)设,G是群，对任意Gcba,，如果,caba，则 .(19)设,G是群，e为单位元，若G元素a满足aa 2，则a .(20)在整数集合Z上定义运算为abbaba，则,Z的单位元为 .(21)设EVT,为树，T中有 4 度，3 度，2 度分支点各 1 个，问T中有 片树叶。(22)为了从（n，m）连通无向图得到一棵生成树，必须删除 G 的 条边 (23)设树 T

8、中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余都是 4 度结点，问 T 中有 个 4 度结点。(24)无环有向图的关联矩阵的所有元素之和为 (25)n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 (26)图G为n阶无向完全图，则G共有 条边。(27)设G为),(mn图，则图中结点度数的总和为 。(28)设图G有 6 结点，若各结点的度数分别为：1，4，4，3，5，5，则G共有 条边。(29)无向图G是由)2(kk棵树组成的森林，至少要添加 条边才能使G成为一棵树。(30)在任何图EVG,中，奇数结点必为 个。(31)设:p 天气很冷，:q老王还是来了，则命题“虽然天气很冷,但老王还是来了”符号化为 .精

9、品 精品 (32)设:p天下雨，:q 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨,我就骑自行车上班”符号化为 .(33)设:p经一事,:q长一智，则命题“不经一事,不长一智”符号化为 .(34)设qp,的真值为 0，r的真值为 1，则命题公式)(rqp的真值为 .(35)设qp,的真值为 0，sr,的真值为 1，则命题公式)()(sqrp的真值为 .(36)由n个命题变项可以组成 个不等值的命题公式。(37)设个体域,21naaaA，公式)()(xFx在A上消去量词后应 为 .(38)设xxN:)(是自然数，xxF:)(是奇数，xxG:)(是偶数，则命题“任何自然数不是奇数就是偶数”符号化为 .(3

10、9)设xxF:)(是素数，xxG:)(是偶数，2:a，则命题“2 既是偶数又是素数”符号化为 .(40)设xxG:)(是金子，xxF:)(是发光的，则命题“金子是发光的,但发光的不一定是金子”符号化为 .三、选择题（每题后面有四个选项，四个选项中只有一个是正确的，请将正确的所对应的字母填在括号内）（1）设R为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （）A.Rxxx且,01|2 BRxxx且,09|2 C.Rxxxx且,1|D.Rxxx且,1|2（2）设BA,为集合，若BA，则一定有 （）A.B BB C.BA D.BA （3）下列各式中不正确的是 （）A.B C.D.,（4）设,aaA，则下列各式

11、中错误的是 （）A.Aa2 BAa2 C.Aa2 D.Aa2（5）设 2,1A，cbaB,，dcC,，则)(CBA为 （）A.cc,2,1,Bcc,2,1 C.2,1cc D.2,1,cc（6）设bA,0，3,1 bB，则BA的恒等关系为 （）A.3,3,1,1,0,0bb B3,3,1,1,0,0 C.3,3,0,0bb D.0,3,3,1,1,0bb （7）集合10,2,1A上的二元关系,10|),(Ayxyxyx且，则的 性质为 （）A.自反的；B对称的；C.反对称的；D.反自反的.（8）设cbaA,上的二元关系如下，则具有传递性的为 （）A.abbaacca,1 B acca,2 C.

12、cbabccba,3 精品 精品 D.aa,4（9）设为集合A上的等价关系，对任意Aa，其等价类 a为 （）A.空集；B非空集；C.是否为空集不能确定；D.|Axx.（10）映射的复合运算满足 （）A.交换律 B结合律 C.幂等律 D.分配律（11）在整数集Z上，下列哪种运算是可结合的 （）A.baba B,maxbaba C.baba2 D.|baba（12）设集合10,4,3,2,1A，下面定义的哪种运算关于集合A不是封闭的 （）A.,maxyxyx B,minyxyx C.,GCDyxyx，即yx,的最大公约数 D.,LCMyxyx，即yx,的最小公倍数（13）下列哪个集关于减法运算是封

13、闭的 （）A.N（自然数集）；B)(|2整数集Ixx；C.|12Ixx；D.|是质数xx.（14）设Q是有理数集，在Q定义运算为abbaba，则,Q的单位元 为 （）A.a；Bb；C.1；D.0（15）下列代数系统,G中，哪一个不构成群 （）A.,10,1G是模 11 乘法；B.,2,1,0G是模 3 加法；C.),(有理数集QG普通加法；D.,QG普通乘法.（16）循环群33,I 的生成元为 1 和 2，它们的周期为 （）A.5 B6 C.3 D.9（17）循环群55,I 的所有子群为 （）A.55,I B5,0 C.55,I和5,0 D.（18）循环群,Z的所有生成元为 （）A.1，0 B

14、-1，2 C.1，2 D.1，-1（19）有限布尔代数的元素个数必定等于 （）A.n2；B2n；C.n2；D.n4.（20）在下面偏序集的哈斯图中，哪一个是格 （）精品 精品 A B C D（21）仅由孤立点组成的图称为 （）A.零图；B平凡图；C.完全图；D.多重图.（22）仅由一个孤立点组成的图称为 （）A.零图；B平凡图；C.多重图；D.子图.（23）在任何图G中必有偶数个 （）A.度数为偶数的结点；B度数为奇数的结点；C.入度为奇数的结点；D.出度为奇数的结点.（24）设G为有n个结点的无向完全图，则G的边数为 （）A.)1(nn B)1(nn C.2)1(nn D.2)1(n（25）

15、图G和G的结点和边分别存在一一对应关系是GG（同构）的 （）A.充分条件；B必要条件；C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件.（26）给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列 （）A.)3,2,2,1,1(B)2,2,2,1,1(C.)3,3,3,1,0(D.)5,4,4,3,1(（27）在有n个结点的连通图G中，其边数 （）A.最多1n条；B至少1n条；C.最多n条；D.至少n条.（28）mnijmM是无向图EVG,的关联矩阵，Vvi是G中的孤立点，则（）A.iv对应的一行元素全为 0；Biv对应的一行元素全为 1；C.iv对应的一列元素全为 0；D.iv对应的一列元素全为 1

16、.（29）任何无向图G中结点间的连通关系是 （）A.偏序关系；B等价关系；C.既是偏序关系又是等价关系；D.既不是偏序关系也不是等价关系.（30）有向图EVG,，其中,fedcbaV，,dacbbaE,efed，则有向图EVG,是 （）A.强连通图；B单向连通图；C.弱连通图；D.不连通图.（31）下面哪个联结词不可交换 （）A.；B；C.；D.（32）命题公式qqpp)(是 （）A.矛盾式；B非永真式的可满足式；C.重言式；D.等价式.（33）下列哪一组命题公式是等值的 （）精品 精品 A.qp，qp；B)(pqp，)(qpp；C.)(qpq，)(qpq；D.)(qpp，q（34）下面哪一个

17、命题是假命题 （）A.如果 2 是偶数，那么一个公式的析取范式唯一；B如果 2 是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一；C.如果 2 是奇数，那么一个公式的析取范式唯一；D.如果 2 是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一.（35）设论域为整数集，下列公式中哪个值为真 （）A.)0)()(yxyx；B.)0)()(yxxy；C.)0)()(yxyx；D.)0)()(yxyx.（36）设谓词xxP:)(是奇数，xxQ:)(是偶数，谓词公式)()()(xQxPx在哪个论域中是可满足的 （）A.自然数；B整数；C.实数；D.以上均不成立.（37）命题“没有不犯错误的人”符号化为(设xxA:)(是人,xx

18、B:)(犯错误)（）A.)()()(xBxAx；B.)()()(xBxAx；C.)()()(xBxAx；D.)()()(xBxAx.（38）设个体域,baA，公式)()()()(xSxxPx在A上消去量词后应为（）A.)()(xSxP；B.)()()()(bSaSbPaP；C.)()(bPaP；D.)()()()(bSaSbPaP.（39）在谓词演算中，下列各式中，哪一个是正确的 （）A.),()(),()(yxAxyyxAyx；B.),()(),()(yxAxyyxAyx；C.),()(),()(yxAyxyxAyx；D.),()(),()(yxBxyyxAyx.（40）“学习有如逆水行舟，

19、不进则退”。设:p学习如逆水行舟，:q学习进步，:r学习退步。则命题符号化为 （）A.)(rqp；B)(rqp；C.)(rqp；D.)(rqp.四、解答题 1.设 AdcbaA,上的关系,cddcabbaddccbbaa 试（1）写出的关系矩阵；（2）验证是A上的等价关系；（3）求出A的各元素的等价类。2.设24,12,8,6,4,3,2A，A是上的整除关系，画出,A的哈斯图。3.设集合 32,24,16,12,8,6,3,2A,是A上的整除关系,画出,A的哈斯图；精品 精品 4.设集合6,5,4,3,2,1A,是A上的整除关系，试求：（1）集合A的最大元，最小元（2）子集5,3,21A和6,

20、3,22A的上界、下界、上确界和下确界。5.在下面的无向图G中，回答下列问题 a e d b c （1）写出da,之间的所有初级通路；（2）写出da,之间的所有短程，并求),(dad；（3）判断无向图G是否为欧拉图并说明理由。6.下列各图是否为欧拉图，是否为哈密尔顿图？为什么？a b 1v 2v 3v c d e 4v 5v 6v f g h i 7v 8v 9v (1)(2)7.下列图形中最少需添加几条边才能成为欧拉图 a a b e b d c d c （1）（2）8.有向图D如下图所示 精品 精品 v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 (1)求D的邻接矩阵A；

21、(2)求D中长度为 4 的通路数和回路数，并找出D中从1v到4v长度为 4 的所有通路。(3)D是哪类连通图？9.设有向图EVD,，,54321vvvvvV，其邻接矩阵为 0010110000010101000001010A(1)画出有向图D；(2)D中长度为 4 的通路有多少条？其中有多少条为回路？(3)D是那类连通图？10.设连通图G如下图所示，求它的一棵生成树 a b c e f 答案不唯一。五、构造下列推理的证明 1.证明 prrqqp,),(2.证明 qtrstsrpqp,3.证明 rsqpsrqp,),(精品 精品 4.证明)()()()()()(),()()()(xRxQxxQx

22、CxxRxWxCx 5.构造下列推理的证明：每个学术委员会的成员都是专家并且是大学生，有些成员是青年人，所以有些成员是青年专家。6.“有些病人相信所有的医生，病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子。”在一阶逻辑中证明以上推理是正确的。六、证明题 1.设21,为集合A上的等价关系,试证21也是集合A上的等价关系。2.设wu,为无向连通图G中任意两个顶点，证明：若2),(wud，则存在顶点v，使得),(),(),(wudwvdvud 3.证明下面四个矩阵关于矩阵乘法运算构成群。1001，1001，1001，1001 4.设,G 是一个群，试证 G 是交换群 当且仅当对任意的Gba,有 222)(ba

23、ba.5.设a是群,G的元素，记|yaayGyyH且，证明,H是,G的子群 6.设,G是一个群，取定Gu，定义 buaba1*，Gba,证明,*G是一个群。精品 精品 离散数学综合练习题答案 一、判断下列命题是否正确（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）错误；（5）错误；（6）正确；（7）错误；（8）正确；（9）正确；（10）错误；（11）正确；（12）正确；（13）正确；（14）正确；（15）正确；（16）正确；（17）正确；（18）正确；（19）正确；（20）正确；（21）正确；（22）错误；（23）正确；（24）正确；（25）正确；（26）正确；（27）正确；（28）正确；（29）正

24、确；（30）错误；（31）正确；（32）错误；（33）错误；（34）错误；（35）错误；（36）正确；（37）正确；（38）正确；（39）错误；（40）错误.二、填空题（1）n2；（2）,；（3）3；（4）40；(5)12(6)；(7)a称c为外祖父；(8)5，9；(9)赵=赵茵，赵萍，钱=钱小滨，钱浩，钱钰，孙=孙丽春，李=李靖华，李秀娟，李惠芝，李莉.(10),AAAbbbAaaaAba(11)S,；(12)1 和 2；(13)6,0，6,3,0，6,4,2,0，66,I；(14)x；(15)2；(16)1，1；(17)bxa，bay；(18)cb；(19)e；(20)0；(21)5；(2

25、2)m-n1；(23)1；(24)0；(25)1；(26)2)1(nn；(27)m2；(28)11；(29)1k；(30)偶数；精品 精品(31)qp；(32)qp；(33)qp；(34)0；(35)0；(36)n22；(37)()()(21naFaFaF；(38)()()()(xGxFxNx；(39)()(aGaF；(40)()()()()()(xGxFxxFxGx.三、选择题（1）A；（2）C；（3）C；（4）B；（5）B；（6）A；（7）B；（8）D；（9）B；（10）B；（11）B；（12）D；（13）B；（14）D；（15）D；（16）C；（17）C；（18）D；（19）C；（20）

26、A；（21）A；（22）B；（23）B；（24）C；（25）B；（26）B；（27）B；（28）A；（29）B；（30）C；（31）B；（32）C；（33）B；（34）A；（35）A；（36）D；（37）D；（38）B；（39）B；（40）B.四、解答题 1.解（1）的关系矩阵为 1100110000110011M（2）从的关系矩阵可知：是自反的和对称的。又由于 MMM110011000011001111001100001100111100110000110011 所以是传递的。因为是自反的、对称的和传递的，所以是A上的等价关系。（3）,baba，,dcdc 2.解：24 8 12 4 6 2

27、 3 3.解：精品 精品 32 24 16 12 8 6 2 3 4.解：由于是A上的整除关系，所以是A上的偏序关系，,A的 哈斯图为 4 6 2 3 5 1（1）集合A的最大元：无，最小元：1（2）子集 上界 下界 上确界 下确界 5,3,21A 无 1 无 1 6,3,22A 6 1 6 1 5.解：（1）da,之间的所有初级通路共有 7 条，分别为 aed，aecd，aebcd，abed，abcd，abecd，abced（2）da,之间的长度最短的通路只有 1 条，即aed，因而它是da,之间 唯一的短程，2),(dad（3）由于无向图G中有两个奇度顶点3)deg(,3)deg(cb，所

28、以无向图G没有欧拉图回路，因而不是欧拉图。6.解：图（1）中各顶点的度数为 4)deg(a，4)deg(b，4)deg(c，4)deg(d，4)deg(e，2)deg(f，4)deg(g，4)deg(h，2)deg(i 由于图（1）中各顶点的度数均为偶数，所以图（1）为欧拉图。回路abihecdgfa为经过图（1）中每个结点一次且仅一次的回路，所以回路abihecdgfa为哈密尔顿回路，因此图（1）是哈密尔顿图。图（2）中各顶点的度数为 2)deg(1v，4)deg(2v，3)deg(3v，4)deg(4v，5)deg(5v，4)deg(6v，2)deg(7v，4)deg(8v，2)deg(9

29、v 由于图（2）中有两个奇度顶点，所以图（2）存在欧拉图通路，但是没有欧拉图回路，因此图（2）不是欧拉图。精品 精品 回路2356987412vvvvvvvvvv为经过图（2）中每个结点一次且仅一次的回路，所以回路2356987412vvvvvvvvvv为哈密尔顿回路，因此图（2）是哈密尔顿图。7.解 由于(1)只有两个奇度结点，b,e.因此，要由(1)得到一个欧拉图，必须使它们的度数都为偶数。最少需添加一条边才能使(1)为欧拉图。由于(2)有 4 个奇度结点，因此，要由(2)得到一个欧拉图，必须使它们的度数都为偶数。最少需添加两条边才能使(2)为欧拉图。例如，可在(1)中添加边(b,e),在

30、(2)中添加边(a,b),(c,d)a a b e b d c d c （1）（2）8.解：(1)求D的邻接矩阵 0100100001000121A；(2)10000100100013212A,01001000010034213A,10000100100046214A D中长度为 4 的通路数为164141)4(ijija，其中对角元素之和为 3，D中长度为 4 的回路有 3条。由于4A中4)4(14a，所以D中1v到4v长度为 4 的通路有 4 条。即6411eeee，6764eeee，6521eeee，6531eeee，其中6521eeee为简单通路。(3)由于 2200220022008

31、1484432AAAAB 精品 精品 由B可知道D是单向连通图。9.解：(1)有向图D为 4v 3v 5v 1v 2v (2)由于 00404400000404040000040404A D中长度为 4 的通路数为 32。因对角元素之和为 0，故D中无长度为 4 的回路。(4)从图可得D的可达矩阵为 1111111111111111111111111P 从P可知D是强连通的。10.解：a b c e f 五、构造下列推理的证明 1.证明：r 前提引入；rq 前提引入；q 析取三段论；)(qp 前提引入；qp 置换；p 析取三段论。精品 精品 2.证明 t 前提引入；ts 前提引入；s 拒取式；

32、rs 前提引入；r 假言推理；rp 前提引入；p 拒取式；qp 前提引入；q 析取三段论。3.证明 ps 前提引入；s 前提引入；p 析取三段论；)(rqp 前提引入；rq 假言推理；q 前提引入；r 假言推理。4.证明：)()()(xQxCx 前提引入；)()(cQcC EI；)(cC 化简；)()()()(xRxWxCx 前提引入；)()()(cRcWcC UI；)()(cRcW 假言推理；)(cR 化简；)(cQ 化简；)()(cRcQ 合取引入(10)()()(xRxQx EG 5.解：设xxF:)(是学术委员会的成员，xxG:)(是专家，xxH:)(是大学生，xxR:)(是青年人。前

33、提)()()(),()()()(xRxFxxHxGxFx 结论)()()()(xRxGxFx 证明：)()()(xRxFx 前提引入；)()(cRcF EI；)()()()(xHxGxFx 前提引入；)()()(cHcGcF UI；)(cF 化简；)()(cHcG 假言推理；)(cR 化简；)(cG 化简；精品 精品 )()()(cRcGcF 合取引入(10)()()()(xRxGxFx EG 6.解：记xxF:)(是病人，xxG:)(是医生，xxH:)(是骗子，xyxL:),(相信y。则上述推理符号化为 前提：),()()(yxLyGyxFx ),()()(yxLyHyxFx 结论：)()(

34、xHxGx 证明：),()()(yxLyGyxFx 前提引入；),()()(yaLyGyaF 存在量词消去规则；)(aF 化简规则；),()()(yxLyHyxFx 前提引入；),()()(yaLyHyaF 全称量词消去规则；),()(yaLyHy 假言推理规则；),()(yaLyH 全称量词消去规则；)(),(yHyaL 置换；),()(yaLyGy 化简规则；（10）),()(yaLyG 全称量词消去规则；（11）)()(yHyG （10）假言三段论规则；（12）)()(xHxGx （11）全称量词引入规则；六、证明题 1.证明：由于21,是自反的，所以对任意Aa,21,aaaa,因而21

35、,aa，即21是自反的。若21,ba，则21,baba,由于21,是对称的，所以21,abab,从而21,ab，即21是对称的。若21,cbba，则 21,cbbacbba,由于21,是传递的，所以21,caca,从而21,ca，即21是传递的。由于21是自反的、对称的和传递的，所以21是等价关系。2.证明：由于G的连通性，wu,之间必存在短程)2(,121lwvvuvPl，则lwud),(，取v为P上除wu,外的任意一点)11(livi，都有ivu,之间的短程为ivvuvP211，wvi,之间的短程为wvvvPlii112.否则，若ivu,之间存在比ivvuvP211短的短程ivuuuP21

36、1，则wvvvuuuPlii1121比P短，这与P为wu,之间的短程矛盾。同理可证：wvvvPlii112为wvi,之间的短程。精品 精品 因而),(),(wvdvudii等于1P的长度加上2P的长度，而1P的长度加上2P的长度为P的长度，即为l，所以),(),(),(wudlwvdvudii.3.证明：令A为由上述四个矩阵组成的集合，是矩阵乘法运算，容易验证上述四个矩阵关于矩阵乘法运算是封闭的。(1)由矩阵乘法运算知识知，是可结合的；(2)任取矩阵Aba00，由于 baba00100100，baba00001001 所以矩阵1001是运算的单位元。(3)由于 100110011，100110

37、011，100110011，100110011，所以A中每个元素都是可逆的。由上面的 1，2，3 知，,A是群。4.解：充分性 若在群,G中，对任意的Gba,有222)(baba.则 )()()()(bababbaa bababbaa)()(abba 从而,G 是一个交换群。必要性 若,G 是一个交换群，对任意的Gba,有abba，则 bababbaa)()()()()()(bababbaa 即222)(baba.5.证明：由于对任意的Hyx,，有 ayyaaxxa,所以 ayaaxayx111)()(ayaax)()(11 aayxa1)()(ayaxa1)()(aayxa11)(1yxa 精品 精品 即 Hyx1，由子群的判定定理知,H是,G的子群。6.证明 显然，*是G上的二元运算。先证结合律成立。Gcba,，有 cubuacba11)(*)*()(11cubua)*(1cbua)*(*cba 即运算是可结合的.由于Ga，有 auuaua1*aauuau1*故u是运算*的单位元.最后证明Ga，uau1是a在,*G中的逆元。由于)()(*111uauuauaua uauua11)(uaa)(1 u auuauauau111)(*)(auuau)(11)(1aau u 因此,*G是一个群.