近年年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时直线与椭圆的位置关系练习(含解.pdf

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1、第二课时 直线与椭圆的位置关系 1.已知点（2，3）在椭圆+=1 上,则下列说法正确的是(D）（A）点（-2,3）在椭圆外(B)点（3,2）在椭圆上(C)点(2,-3)在椭圆内(D)点（2，3)在椭圆上 解析:由椭圆的对称性知点（2,-3）也在椭圆上。2。直线 y=k（x2）+1 与椭圆+=1 的位置关系是(B)(A）相离(B）相交(C）相切(D)无法判断 解析:直线 y=k(x2)+1 过定点 P(2，1）,将 P（2，1）代入椭圆方程，得+0)的右焦点为 F（3,0),过点 F 的直线交 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为（1，1)，则 E 的方程为(D)（A)+=1(B)+=1

2、（C)+=1（D)+=1 解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解.设 A（x1，y1），B（x2，y2),AB 的中点 D（1，-1)，则 kAB=,x1+x2=2,y1+y2=2,两式相减得：+=0，即=,即=，所以 a2=2b2.又因为 c=3,所以 b2=9，a2=18，椭圆方程为+=1.故选 D。6.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M,N 两点，过原点与线段 MN 中点所在直线的斜率为,则的值是（A）（A)(B)(C）(D)解析：联立方程组(m+n）x22nx+n-1=0,设 M(x1,y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0,y0）,则

3、x0=,y0=1-x0=1=。所以 kOP=。故选 A。7.若点 O 和点 F 分别为椭圆+=1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则的最小值为(A)(A）(B)3(C）8(D)15 解析：a2=9，b2=5，所以 c2=a2b2=4.所以 c=2,所以左焦点 F（-2，0）.设 P(x0,y0)，则+=1.=（x0，y0），=(x0+2，y0),所以=x0(x0+2）+。由得=5-,代入得=+2x0+5=（x0+)2+。因为点 P(x0，y0）在椭圆上，所以3x03，所以当 x0=-时，取最小值.故选 A.8.已知椭圆 C:+y2=1 的右焦点为 F,直线 l:x=2，点 Al，线段

4、 AF 交椭圆 C 于点 B，若=3,则|等于(A）(A）（B)2(C)(D)3 解析：设点 A（2,n),B（x0,y0）.由椭圆 C:+y2=1 知 a2=2，b2=1,所以 c2=1,即 c=1.所以右焦点 F（1，0).由=3，得(1，n)=3(x01，y0）.所以 1=3(x01）且 n=3y0.所以 x0=，y0=n.将 x0,y0代入+y2=1,得(）2+（n)2=1。解得 n2=1,所以|=。9.设椭圆+=1 与直线 x+y=t 有公共点,则实数 t 的取值范围是 。解析：由方程组消去 y,得 16x2+9（t-x）2=144，即 25x218tx+9t2144=0.由=（-1

5、8t)2425(9t2-144）0，得 t225，所以-5t5.答案：-5,5 10。椭圆+=1 上的点到直线 x2y12=0 的距离的最大值为 。解析:设椭圆上的点 P（4cos，2sin）,点 P 到直线的距离 d=当 cos（+）=1 时,距离取得最大值,dmax=4。答案：4 11.设 F1，F2分别为椭圆+=1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,若F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为 .解析:由题F1PF290，不妨设 PF2x 轴;椭圆+=1 的右焦点(3,0)，2c=6,|F2P=.三角形的面积为 6=。答案：12.已知椭圆 E:+=1（ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点

6、为 M,直线 l：3x4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点。若|AF|+|BF=4，点 M 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是 。解析：设椭圆的左焦点为 F1，半焦距为 c,连接 AF1，BF1，则四边形 AF1BF 为平行四边形,所以|AF1|+BF1|=AF+|BF|=4.根据椭圆定义,有AF1|+AF+BF1+|BF=4a,所以 8=4a,解得 a=2。因为点 M 到直线 l:3x-4y=0的距离不小于，即，b1，所以 b21,所以 a2c21,4-c21,解得 0c，所以 0,所以椭圆的离心率的取值范围为(0,.答案：（0，13.已知椭圆 4x2+y2=1 及

7、直线 y=x+m。（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦的长度.解:由方程组消去 y 并整理,得 5x2+2mx+m21=0.(1）因为直线与椭圆有公共点,所以=4m2-20(m21）=2016m20，解得m.即 m 的取值范围为,。(2)由根与系数的关系,得 x1+x2=-,x1x2=。则弦长 l=|x1x2=。当 m=0 时,l 取得最大值为。14。过点 P(1,1）的直线与椭圆+=1 交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点恰为点 P,求 AB所在的直线方程及弦长AB|。解：设 A(x1,y1）,B(x2，y2），由 A，B 两点在椭圆上得两式相

8、减得（x1x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2）=0。显然x1x2，故由得 kAB=.因为点 P 是 AB 的中点,所以有 x1+x2=-2，y1+y2=2.把代入得 kAB=，故 AB 的直线方程是 y-1=(x+1)，即 x2y+3=0。由消去 y 得 3x2+6x+1=0.所以 x1+x2=2，x1x2=,AB|=.15.已知椭圆+=1（ab0）上的点 P 到左、右两焦点 F1，F2的距离之和为 2，离心率为。(1)求椭圆的方程；（2)过右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 A，B 两点。若 y 轴上一点 M 0，满足MA|=|MB，求直线 l 斜率 k 的值。解：(1)|PF

9、1+|PF2|=2a=2，所以 a=.因为 e=，所以 c=1,所以 b2=a2c2=2-1=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1。(2)可得 F2（1,0)，则直线的方程为 y=k（x-1),设 A(x1，y1），B（x2,y2），联立直线与椭圆方程 得(1+2k2)x24k2x+2k2-2=0,所以 x1+x2=，x1x2=,y1+y2=k(x1+x2）-2k=，所以 AB 的中点坐标为 G（，）。k=0 时，不满足条件;当 k0 时,因为MA=MB，所以 kMG=,整理得 2k23k+1=0,解得 k=1 或 k=。16.已知 F1,F2为椭圆 C:+=1 的左、右焦点,点 E 是椭圆 C

10、 上的动点，的取值范围为(B）(A)7,9（B）7,8（C）8,9（D）8,17 解析:由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1（-1，0），F2(1,0）,设 E(x，y），则=(-1x,-y)，=(1x，-y),=x21+y2=x2-1+8 x2=x2+7(-3x3），所以当 x=0 时,有最小值 7，当 x=3 时,有最大值 8,的取值范围为7，8，故选B。17。如图，圆 O 与离心率为的椭圆 T:+=1(ab0)相切于点 M(0,1)，过点 M 引两条互相垂直的直线 l1，l2，两直线与两曲线分别交于点 A,C 与点 B,D（均不重合)。若 P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距

11、离分别为 d1,d2,则+的最大值是(C）（A）4（B）5（C）（D)解析：易知椭圆 C 的方程为+y2=1,圆 O 的方程为 x2+y2=1,设 P(x0,y0),因为 l1l2,则+=PM2=+（y01)2,因为+=1,所以+=4-4+（y01）2=3（y0+）2+,因为1y01,所以当 y0=-时，+取得最大值，此时点 P(,-）.18.已知动点 P（x,y)在椭圆+=1 上,若 A 点的坐标为(3,0），M 为平面内一点,|=1，且=0,则|的最小值为 .解析：由|=1,A（3,0）,知点 M 在以 A(3，0）为圆心,1 为半径的圆上运动，因为=0且 P 在椭圆上运动，所以 PMAM

12、,即 PM 为圆 A 的切线,连接 PA（如图），则=，所以当|min=ac=5-3=2 时,|min=。答案：19。若圆 x2+（y2）2=1 与椭圆+=1 的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为 。解析：如图，圆 x2+(y-2）2=1 圆心为(0,2），半径为 1,则 A(0,3)，则椭圆+=1 焦点在 y 轴上,即=3，则 n=9，等边三角形 ABC 为圆 x2+（y2)2=1 的内接正三角形，则 AC=BC=AB=,所以 DC=，AD=，所以 OD=OA-AD=,所以 C 点坐标为（，），代入椭圆方程+=1,解得 m=1,所以椭圆方程 x2+=1,即 a=3,b=1,c=2

13、，所以椭圆的离心率e=.答案:20。已知椭圆 C：+=1(ab0)的一个长轴顶点为 A(2,0）,离心率为,直线 y=k（x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N,（1）求椭圆 C 的方程;（2）当AMN 的面积为时,求 k 的值。解:(1)因为椭圆一个长轴顶点为 A（2,0）,离心率为,所以所以 b=，所以椭圆 C 的方程为+=1。(2）直线 y=k（x1）与椭圆 C 联立 消元可得(1+2k2）x2-4k2x+2k24=0,设 M(x1,y1），N（x2，y2）,则 x1+x2=,x1x2=,所以MN=，因为 A(2，0）到直线 y=k(x-1)的距离为 d=，所以AMN 的面积 S=|

14、MN|d=,因为AMN 的面积为,所以=,所以 k=1。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of th

15、is article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.