解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案.pdf

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1、 第 1 页 共 12 页 解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理 1、正弦定理：在 ABC 中，RCcBbAa2sinsinsin（R 为 ABC 外接圆半径）。2、变形公式：（1）化边为角：2 sin,2 sin,2 sin;aRA bRB cRC （2）化角为边：sin,sin,sin;222abcABCRRR （3）:sin:sin:sina b cABC （4）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC.3、三角形面

2、积公式：21111sinsinsin2sin sin sin22224ABCabcSahabCacBbcARABCR 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）二、余弦定理 1、余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222 Bacacbcos2222cabacB2cos222 Cabbaccos2222abcbaC2cos222 2、余弦定理可以解决的问题：第 2 页 共 12 页 北 东 hil （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，

3、求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图 1）.图 1 图 2 图 3 图 4 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为（如图 2）.3、方向角 相对于某一正方向的水平角（如图 3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图 4）.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012 天津理）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,a b

4、c,已知8=5bc,=2CB,则cosC（）A725 B725 C725 D2425【答案】A【解析】85,bc由正弦定理得8sin5sinBC，又2CB，8sin5sin 2BB，所以8sin10sincosBBB，易知247sin0,cos,coscos22cos1525BBCBB.2、（2009 广东文）已知ABC中，CBA,的对边分别为,a b c若62ac且75A，则b 北 东 南 西 B 目标 lh 第 3 页 共 12 页 ()A2 B42 3 C42 3 D62【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045)sin30 cos45sin45 cos304A

5、 由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B 由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选 A 3、（2011 浙江）在ABC中，角,A B C所对的边分,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB()A-12 B12 C-1 D 1【答案】D【解析】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA.4、（2012 福建文）在ABC中,已知60,45,3BACABCBC,则AC _.【答案】2 【解析】由正弦定理得32sin45sin60ACAC 5、（2011 北京）在ABC中，若15,sin43bB

6、A，则a .【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,sin43bBA所以55 2,13sin34aa 6、（2012 重庆理）设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,且35cos,cos,3,513ABb则c _【答案】145c 第 4 页 共 12 页【解析】由35412cos,cossin,sin513513ABAB,由正弦定理sinsinabAB得43sin13512sin513bAaB,由余弦定理2222142cos259056 05acbbcAccc 7、（2011 全国）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知sincsin2

7、sinsinaACaCbB.（I）求 B；（）若075,2,Abac求，.【解析】（I）由正弦定理得2222acacb 由余弦定理得2222cosbacacB.故2cos2B，因此45B （II）sinsin(3045)A sin30 cos45cos30 sin 45264 故sin2613sin2AabB sinsin6026sinsin45CcbB.8、（2012 江西文）ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求 cosA;（2）若 a=3,ABC 的面积为2 2,求 b,c.【解析】（1）3(coscossinsi

8、n)16coscos3coscos3sinsin13cos()11cos()3BCBCBCBCBCBCA 则1cos3A.（2）由（1）得2 2sin3A,由面积可得 bc=6,则根据余弦定理 2222291cos2123bcabcAbc则2213bc,第 5 页 共 12 页 两式联立可得32ba或32ab.9、（2011 安徽）在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC 上的高.【解析】：ABC180，所以 BCA，又12cos()0BC，12cos(180)0A，即1 2cos0A，1cos2A，又 0A180，所以

9、A60.在 ABC 中，由正弦定理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又ba，所以 BA，B45，C75，BC 边上的高 ADACsinC2sin752sin(4530)2(sin 45 cos30cos45 sin30)2321312()22222.10、（2012 辽宁理）在ABC中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.（I）求cosB的值;（）边 a,b,c 成等比数列,求sinsinAC的值.【解析】（I）由已知12,cos32BAC ABCBB（）解法一：2bac，由正弦定理得23sinsinsin4ACB，解法二：2222

10、221,cos222acbacacbacBacac，由此得22abacac，得ac 第 6 页 共 12 页 所以3,sinsin34ABCAC【课堂练习】1、（2012 广东文）在ABC中,若60A,45B,3 2BC,则AC（）A4 3 B2 3 C3 D32 2、（2011 四川）在 ABC 中，222sinsinsinsinsinABCBC，则 A 的取值范围是（）A(0,6 B,)6 C(0,3 D,)3 3、（2012 陕西理）在ABC中,角,A B C所对边长分别为,a b c,若2222abc,则cosC的最小值为（）A32 B22 C12 D12 4、（2012 陕西）在AB

11、C中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A23 B22 C21 D21 5、（2011 天津）如图，在 ABC 中，D 是边 AC 上的点，且,23,2ABCDABBD BCBD则 sinC 的值为()A33 B36 C63 D66 6、（2011 辽宁）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A2 3 B2 2 C3 D2 7、（2012 湖北文）设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,320 cosbaA,则sin:si

12、n:sinABC为（）A432 B567 C543 D654 8、（2011 上海）在相距 2 千米的AB两点处测量目标C，若0075,60CABCBA，则AC两点之间的距 第 7 页 共 12 页 离是 千米。9、（2012 重庆文）设ABC的内角ABC、的对边分别为abc、,且1cos4abC=1，=2，,则sinB _ 10、（2012 北京文）在 ABC 中,若3a,3b,3A,则C的大小为_.11、（2012 陕西文）在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2,B=6,c=23,则 b=_ 12、（2012 北京理）在 ABC 中,若2a,7bc,

13、1cos4B ,则b _.13、已知 ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_.14、如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A的距离是多少？15、（2009 安徽理）在ABC 中，sin()1CA,sinB=13.（I）求 sinA 的值；（II）设 AC=6，求ABC 的面积.16、（2012 安徽文）设ABC的内角,A B C所对的边为,a b c,

14、且有2sincossincoscossinBAACAC（）求角A的大小;（II）若2b,1c,D为BC的中点,求AD的长.17、（2011 江苏）在 ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA 求 A 的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.18、（2012 天津文）在ABC中,内角,A B C所对的分别是,a b c.已知22,2,cos4acA.（I）求sinC和b的值;（II）求cos(2)3A的值.19、（2010 陕西）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的

15、D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即即前往营救，30 45 75 A C D 15 第 8 页 共 12 页 其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？20、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知 6000CD 米，45ACD，75ADC，目标出现于地面点B处时，测得30BCD，15BDC（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.【课后作业】1、（2009 全国卷文）已知ABC 中，12cot5A ，则cos A()A1213 B513 C 513 D 1213 2、（20

16、09 全国卷理）已知ABC中，12cot5A ，则cos A()A.1213 B.513 C.513 D.1213 3、（2012 湖南文）在 ABC 中,AC=7,BC=2,B=60,则 BC 边上的高等于（）A32 B3 32 C362 D3394 4、在 ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则角 A 等于（）A 3 B 23 C 34 D 56 5、在 ABC 中，若 acosAbcosB，则 ABC 的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 6、在 ABC 中，abc156，则 sinAsinBsinC 等于 ()A

17、156 B651 C615 D不确定 7、（2009 湖南文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于 ，AC的取值范围为 .8、（2012 湖北理）设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若()()abc abcab,则角C _.9、在 ABC 中，已知 c10 2，C60，a20 33，则A .10、在 ABC 中，已知三边满足（abc)(abc)3ab，则C 等于 .11、在 ABC 中，若 a2b2 tanAtanB，则 ABC 是 .12、在 ABC 中，已知 B135，C15，a5，那么此三角形的最大边的长是 .第 9 页 共 12 页 13、在 ABC 中

18、，已知 sin2Bsin2Csin2A 3 sinAsinC，求 B 的度数.14、如图，在 ABC 中，已知角 B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，求 AB.15、（2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b.16、（2009 浙江理）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC （I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值 17、已知 ABC 的三个内角 A、B、C 依次成等差数列，又三边 a、b、c 依次成等比数列，求证

19、：该三角形为正三角形.18、（2011 山东）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos2cos2cosACcaBb，（）求sinsinCA的值；（）若1cos,24Bb，求ABC的面积 S。19、某观测站C在目标A南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距 31 千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走 20 千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为 180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18 30，经过120秒后又看到山顶

20、的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m）.A C D 31 21 B 20 35 25 东 北 A B D M 第 10 页 共 12 页 【参考答案】【课堂练习】1-7、BCCCD DD 8、6 9、154 第 11 页 共 12 页 10、2 11、2 12、4 13、24 14、10 2 km 15、3sin3A，3 2ABCS 16、7,32AAD 17、1,sin33AC 18、sinC=74，1b 321cos(2)38A 19、需要 1 小时 20、1000 42米【课后作业】1-6、DDBBDA 7、2，)3,2(8、23 9、45 10、60 11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B150 14、5 62 15、40(bb或舍）第 12 页 共 12 页 16、1sin22ABCSbcA，2 5a 17、证法一：A、B、C 成等差数列，则 2BAC，又 ABC180，3B180，B60，再由 a、b、c 成等比数列，可得 b2ac，因此用余弦定理 b2a2c22accosB，aca2c22ac12，即（ac）20，ac，AC 又 B60，ABC 为正三角形.18、sin2sinCA，154S 19、15 千米 20、18130m