(浙江专用)2022版高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练(四)解析几何.pdf

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1、浙江专用浙江专用 20222022 版高考数学三版高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练轮冲刺抢分练压轴大题突破练四解析几何四解析几何(四四)解析几何解析几何1 1(2022杭州外国语学校模拟(2022杭州外国语学校模拟)抛物线抛物线x x4 4y y的焦点为的焦点为F F，直线，直线l l：y y1 1，假设，假设A A为抛物线为抛物线上第一象限的一动点，上第一象限的一动点，过过F F作作AFAF的垂线交直线的垂线交直线l l于点于点B B，交抛物线于，交抛物线于M M，N N两点两点2 2(1)(1)求证：直线求证：直线ABAB与抛物线相切；与抛物线相切；(2)(2)假设点假设点A A满足满

2、足AMAMANAN，求此时点，求此时点A A的坐标的坐标(1)(1)证明证明由题意得焦点由题意得焦点F F(0,1)(0,1)，设设A A(x x0 0，y y0 0)()(x x0 000，y y0 00)0)，y y0 01 1直线直线AFAF的斜率为的斜率为，x x0 0由题意知直线由题意知直线BFBF斜率存在，那么直线斜率存在，那么直线BFBF的方程的方程为为x x0 0y yx x1 1，1 1y y0 02 2 2 2 y y0 01 1 ，1 1，点点B B的坐标为的坐标为 x x0 0 直线直线ABAB的斜率为的斜率为 1 12 2 x x0 0 x x0 01 1 y y0

3、01 1x x0 0 4 4 ，1 12 2 2 22 2 y y0 01 1 2 2x x0 0 x x0 02 2 x x0 01 1 x x0 0 4 4 1 12 2根据导数的几何意义得根据导数的几何意义得y yx x在点在点A A(x x0 0，y y0 0)处的处的4 4切线斜率为切线斜率为，2 2直线直线ABAB与抛物线相切与抛物线相切(2)(2)解解由由(1)(1)知知A A(x x0 0，y y0 0)，直线直线MNMN的方程为的方程为y yx x1 1，1 1y y0 0 x x0 0 x x0 0 x x4 4y y，由由 x x0 0y yx x1 1，1 1y y0

4、02 22 24 4x x0 0消去消去y y整理得整理得x xx x4 40 0，1 1y y0 03 3由题意知，由题意知，00，设设M M(x x1 1，y y1 1)，N N(x x2 2，y y2 2)，4 4x x0 0那么那么x x1 1x x2 2，x x1 1x x2 24 4，1 1y y0 0 x x2 21 1y y1 1y y0 04 44 4由由题题意意得得直直线线AMAM的的斜斜率率为为x x1 1x x0 0 x x1 1x x0 0 x x1 1x x0 04 4，x x2 20 0同理直线同理直线ANAN的斜率为的斜率为x x2 2x x0 04 4，x x

5、1 1x x0 0 x x2 2x x0 04 42 20 04 41 1，整理得整理得y y2 2y y0 03 30 0，又因为又因为A A(x x0 0，y y0 0)在第一象限，在第一象限，解得解得y y0 03(3(舍负舍负)，代入抛物线方程得代入抛物线方程得x x0 02 2 3 3，所以存在点所以存在点A A(2(2 3 3，3)3)，使得，使得AMAMANAN.2.2.如图，直线如图，直线y y2 2mxmx2 2m mm m与抛物线与抛物线C C：x x 1 1 y y相交于相交于A A，B B两点，定点两点，定点M M ，1 1.2 2 4 42 22 2(1)(1)证明：

6、线段证明：线段ABAB被直线被直线y yx x平分；平分；(2)(2)求求MABMAB面积取得最大值时面积取得最大值时m m的值的值(1)(1)证明证明设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，y y2 2mxmx2 2m m2 2联立方程组联立方程组 m m，y yx x2 2，得得x x2 22 2mxmx2 2m m2 2m m0 0，4 4m m2 24(24(2m m2 2m m)0)0，即，即 00m m11，x x1 1x x2 22 2m m，x x1 1x x2 22 2m m2 2m m，那么那么x x1 1x x2 22 2m m，y

7、 y2 2x x2 21 1y y2 2x x1 12 2 x x2 21 1x x2 2 2 2x x1 1x x2 22 22 22 2m m，线段线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为(m m，m m)，线段线段ABAB被直线被直线y yx x平分平分(2)(2)解解|ABAB|x x2 21 1x x2 2 y y2 21 1y y2 2 1 14 4m m2 24 4m m2 24 4m m(0(0m m1)1)，5 5|1|12 2m m2 2m m|点点M M到直线到直线ABAB的距离为的距离为d d，2 21 14 4m m1 1MABMAB的面积的面积S S|ABAB|d d2

8、 2 m mm m|1|12(2(m mm m)|(0)|(0m m1)1)，1 1令令 m mm mt t，那么，那么 00t t，2 22 22 22 22 2 1 1 S St t|1|12 2t t|t t2 2t t 00t t，2 2 2 23 3 1 1 2 2 000)0)于于B B，C C两点，两点，C C是是ABAB的中点的中点2 2(1)(1)求证：点求证：点C C的纵坐标是定值；的纵坐标是定值；(2)(2)过点过点C C作与直线作与直线l l倾斜角互补的直线倾斜角互补的直线l l交椭交椭圆于圆于M M，N N两点，求两点，求p p的值，使得的值，使得BMNBMN的面积最

9、的面积最大大2 2 t t(1)(1)证明证明易知易知A A(0(0，1)1)，不妨设，不妨设B B t t，2 2p p t tt t2 22 2p p ，那么那么C C，4 4p p 2 2把点把点C C代入抛物线方程得代入抛物线方程得2 2 t t 2 2t t2 2p p2 2 2 2p p，得，得t t4 4p p，4 4p p 2 2 4 4p p2 2p p1 1y yC C 为定值为定值4 4p p2 2(2)(2)解解点点C C是是ABAB中点，中点，S SBMNBMNS SAMNAMN，7 7直线直线l l的斜率的斜率k k1 1 1 1 2 2t t2 2，3 3t t3

10、 3直线直线l l的斜率的斜率k k，t t1 13 3 t t 直线直线l l的方程为的方程为y y x x，2 2t t 2 2 即即y yx x2 2，不妨记，不妨记m m，3 33 3t tt t那么那么l l：y ymxmx2 2，代入椭圆方程整理得代入椭圆方程整理得(2(2m m1)1)x x8 8mxmx6 60 0，3 36464m m24(224(2m m1)01)0，即，即m m ，2 22 22 22 22 22 2设设M M(x x1 1，y y1 1)，N N(x x2 2，y y2 2)，8 8m m6 6那么那么x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2

11、 22 2，2 2m m1 12 2m m1 1|MNMN|1 1m m|x x1 1x x2 2|2 2m m3 32 2 2 2 1 1m m2 2，2 2m m1 12 22 22 28 83 3A A到到MNMN的距离的距离d d2 2，m m1 11 1所以所以S SBMNBMNS SAMNAMN|MNMN|d d2 22 2m m3 33 3 2 22 22 2m m1 12 23 3 2 22 2m m3 32 24 42 2m m2 23 33 3 2 23 3 2 2.4 42 2 4 4当且仅当当且仅当 2 2m m3 32 22 24 42 2m m3 32 2，7 7即

12、即m m 时，等号成立，此时满足时，等号成立，此时满足00，2 21818t t9 9所以所以t t2 2，p p.m m7 74 414142 29 92 2x x4 4(2022余高、缙中、长中模拟(2022余高、缙中、长中模拟)对于椭圆对于椭圆2 2a ay y2 22 21(1(a a b b0)0)，有如下性质：假设点，有如下性质：假设点P P(x x0 0，y y0 0)是是b b椭圆外一点，椭圆外一点，PAPA，PBPB是椭圆的两条切线，那么切是椭圆的两条切线，那么切2 29 9x x0 0 x xy y0 0y y点点A A，B B所在直线的方程是所在直线的方程是2 22 21

13、.1.利用此结利用此结a ab b论解答以下问题：论解答以下问题：椭圆椭圆C C：y y1 1 和点和点P P(2(2，t t)()(t tR)R)，过点，过点P P2 2作椭圆作椭圆C C的两条切线，切点是的两条切线，切点是A A，B B，记点，记点A A，B B到直线到直线POPO(O O是坐标原点是坐标原点)的距离是的距离是d d1 1，d d2 2.(1)(1)当当t t0 0 时，求线段时，求线段ABAB的长；的长；|ABAB|(2)(2)求求的最大值的最大值d d1 1d d2 2解解(1)(1)因为点因为点P P(2(2，t t)，直线，直线ABAB的方程是的方程是 2 2x x

14、2 2tyty2 2，即即x xtyty1 1，当，当t t0 0 时，直线时，直线ABAB的方程是的方程是x x1 1，此时此时|ABAB|2.2.(2)(2)由由(1)(1)知直线知直线ABAB的方程是的方程是x xtyty1 1，直线直线POPO的方程是的方程是txtx2 2y y0 0，1010 x x2 22 2 x xytyt1 1，联立联立 2 22 2 x x2 2y y2 2得得(t t2)2)y y2 2tyty1 10 0，2 22 200，设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，那么，那么(txtx1 12 2y y1 1)()(

15、txtx2 22 2y y1 1)0)b b0)0)的离心率为的离心率为，左、右焦点分别为，左、右焦点分别为b b2 2F F1 1，F F2 2，椭圆，椭圆C C过点过点(0(0，3)3)，T T为直线为直线x x4 4 上上的动点，过点的动点，过点T T作椭圆作椭圆C C的切线的切线TATA，TBTB，A A，B B为切点为切点2 22 2(1)(1)求证：求证：A A，F F2 2，B B三点共线；三点共线；(2)(2)过点过点F F2 2作一条直线与曲线作一条直线与曲线C C交于交于P P，Q Q两点，两点，过过P P，Q Q作直线作直线x x4 4 的垂线，垂足依次为的垂线，垂足依次

16、为M M，N N.求证：直线求证：直线PNPN与与MQMQ交于定点交于定点c c1 1证明证明(1)(1)由得由得 ，b b 3 3，a a2 2又又a ab bc c，解得，解得a a2 2，b b 3 3，所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 1.1.4 43 3设设T T(4(4，t t)，A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，12122 22 22 2x x2 2y y2 2那么切线那么切线TATA，TBTB的方程分别为的方程分别为x x1 1x xy y1 1y y4 43 31 1，x x2 2x xy y2 2y y4 43 31 1，由于

17、切线由于切线TATA，TBTB过点过点T T(4(4，t t)，所以所以x x1 1y y1 1t t3 31 1，x x2 2y y2 2t t3 31 1，即即x x1 1y y1 11 1，x x2 2y y2 21 1，3 33 3所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为x xy y1.1.3 3易知直线易知直线ABAB过点过点F F2 2(1,0)(1,0)，所以所以A A，F F2 2，B B三点共线三点共线(2)(2)当直线当直线PQPQ的斜率存在时，的斜率存在时，设过点设过点F F2 2的直线为的直线为t tt tt ty yk k(x x1)(1)(k k0)，0)，y yk

18、 k x x1 1，2 22 2联立联立 x xy y 1 1，4 43 32 22 22 2得得(3(34 4k k)x x8 8k k x x4 4k k12120 0，那么那么(8 8k k)4(34(34 4k k)(4)(4k k12)012)0，13132 22 22 22 22 2设设P P(x x1 1，y y1 1)，Q Q(x x2 2，y y2 2)，x x1 1x x2 2，8 8k k4 4k k1212那么那么x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 22 2，3 34 4k k3 34 4k k过过P P，Q Q作直线作直线x x4 4 的垂线，垂足依

19、次为的垂线，垂足依次为M M，N N，那么那么M M(4(4，y y1 1)，N N(4(4，y y2 2)，2 22 2y y2 2y y1 1那么直线那么直线PNPN：y yy y2 2(x x4)4)，4 4x x1 1x x1 1y y2 24 4y y1 1令令y y0 0，那么，那么x xy y2 2y y1 1x x1 1k k x x2 21 1 4 4k k x x1 11 1 k k x x2 2x x1 1 x x1 1x x2 25 5x x1 14 4，x x2 2x x1 1y y2 2y y1 1直线直线MQMQ：y yy y1 1(x x4)4)，x x2 24

20、 44 4y y2 2x x2 2y y1 15 5x x2 24 4x x1 1x x2 2令令y y0 0，得，得x x，y y2 2y y1 1x x2 2x x1 12 2 4 4k k1212 因因为为 2 2x x1 1x x2 28 85(5(x x1 1x x2 2)8 82 23 34 4k k4040k k2 22 23 34 4k k14142 20 0，x x1 1x x2 25 5x x1 14 45 5x x2 24 4x x1 1x x2 2所以所以.x x2 2x x1 1x x2 2x x1 1 5 5 因此直线因此直线PNPN与与MQMQ交于定点交于定点D

21、D，0 0.2 2 当当PQPQx x轴即直线轴即直线PQPQ的斜率不存在时，可得的斜率不存在时，可得PNPN 5 5 与与MQMQ交于点交于点，0 0.2 2 5 5 故直线故直线PNPN与与MQMQ交于定点交于定点D D，0 0.2 2 6.6.如图，过椭圆如图，过椭圆M M：y y1 1 的右焦点的右焦点F F作直线作直线2 2交椭圆于交椭圆于A A，C C两点两点x x2 22 2(1)(1)当当A A，C C变化时，变化时，在在x x轴上求定点轴上求定点Q Q，使得使得AQFAQFCQFCQF；(2)(2)在在(1)(1)的条件下，设直线的条件下，设直线QAQA交椭圆交椭圆M M的另

22、一的另一个交点为个交点为B B，连接，连接BFBF并延长交椭圆于点并延长交椭圆于点D D，当四，当四1515边形边形ABCDABCD的面积取得最大值时，求直线的面积取得最大值时，求直线ACAC的方的方程程解解(1)(1)设设A A(x x1 1，y y1 1)，C C(x x2 2，y y2 2)，Q Q(q q,0),0)，当当A A，C C不在不在x x轴上时，设直线轴上时，设直线ACAC的方程为的方程为x xtyty1 1，代入椭圆代入椭圆M M的方程，的方程，可得可得(2(2t t2 2)y y2 22 2tyty1 10.0.由题意知，由题意知，00，那么那么y y2 2t t1 1

23、1 1y y2 22 2t t2 2，y y1 1y y2 22 2t t2 2，由意题知由意题知k ky y1 1AQAQk kCQCQx xy y2 21 1q qx x2 2q qy y1 1 x x2 2q q y y2 2 x x1 1q q x x1 1q q x x2 2q q y y1 1 tyty2 21 1q q y y2 2 tyty1 11 1q q x xq q x x1 12 2q q 2 2tyty1 1y y2 2 1 1q q y y1 1y y2 2 x xq q 0 0，1 1q q x x2 2即即 2 2tyty1 1y y2 2(1(1q q)()(

24、y y1 1y y2 2)0 0，1616整理得整理得2 2t t2 2t t(1(1q q)0 0，由题意知无论由题意知无论t t取何值，取何值，上式恒成立，上式恒成立，那么那么q q2 2，当当A A，C C在在x x轴上时，轴上时，定点定点Q Q(2,0)(2,0)依然可使依然可使AQFAQFCQFCQF成立，所以点成立，所以点Q Q的坐标是的坐标是(2,0)(2,0)(2)(2)由由(1)(1)知知AQFAQFCQFCQF，即即BQFBQFCQFCQF.所以所以BQBQ，CQCQ关于关于x x轴对称，轴对称，所以所以BDBD，CACA关于关于x x轴对称，轴对称，所以所以B B，C C

25、关于关于x x轴对称，轴对称，A A，D D关于关于x x轴对称，轴对称，所以四边形所以四边形ABCDABCD是一个等腰梯形是一个等腰梯形那么四边形那么四边形ABCDABCD的面积的面积S S(t t)|x x1 1x x2 2|y y1 1y y2 2|t t|y y1 1y y2 2|t t1 1|t t|882 22 2.t t2 2 由对称性不妨设由对称性不妨设t t00，2 22 2t t4 43 3t t2 22 2求导可得求导可得S S(t t)882 23 3，t t2 2 令令S S(t t)0 0，17173 3 1717可得可得t t，2 22 2 由于由于S S(t t)在在 0 0，在在 3 3 1717 上单调递增，上单调递增，2 2 3 3 1717，上单调递减，上单调递减，2 2 2 23 3 1717所以当所以当t t时，四边形时，四边形ABCDABCD的面积的面积S S取取2 2得最大值得最大值此时，直线此时，直线ACAC的方程是的方程是x x3 3 1717y y1.1.2 21818