线性回归和灰色预测模型案例.pdf

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1、 年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 货运量 7691 10923 9329 Z9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909 预测未来 2015 年到 2020 年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学

2、的假设和判断.灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。建模原理 模型的求解 原始序列为：)16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149 9926 9329 10923 7691()6(),.1()0()0()0(xxx 构造累加生成序列)131159,114250,98469,84567,71580,59085,48018,37869,27943

3、,18614,7691()6(),.1()1()1()1(xxx 归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.对(1)X作紧邻均值生成,.2)1()(21)()1()1()1(kkzkzkz MATLAB 代码如下：x=7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159;z(1)=x(1);for i=2:6 z(i)=*(x(i)+x(i-1);end format long g z z=Columns 1 through 3 7691 Columns 4 thr

4、ough 6 32906 Columns 7 through 9 91518 Columns 10 through 11 因此)53551.5 42943.5 32906 23278.5 13152.5()5(),.1()1()1()1(zzz 构造 B 矩阵和 Y 矩阵；对参数进行最小二乘估计，采用 matlab 编程完成解答如下：B=-32906 -91518 ,ones(10,1);Y=18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159;format long g a=inv(B*B)*B*Y 结果如下：a=即=，u

5、=59277 u=则 GM(1,1)白化方程为 59277x085.0)1(dtdx 预测模型为：697376.471-471.705067)1(k*0.085)1(ekx 再次通过线性回归模型对货运量进行预测：线性回归预测模型：一、定义 一元线性回归预测是处理因变量 y 与自变量 x 之间线性关系的回归预测法.二、模型的建立：1，设年份 y,货运量 x y 随 x 的变化函数，建立一元线性回归方程：Y=0+1x 其中0、1称为回归系数。散点图如下：首先根据 x、y 的现有统计数据，在直角坐标系中作散点图，观察 y 随 x 而变是否为近似的线性关系。若是，则求出的0、1值，就可确定其数学模型，

6、然后由 x 的未来变化去求相应的 y 值。,2，确定方法最小二乘法 使拟合的数值与实际值的总方差为最小，即拟合程度最好，则得两者之差ei 根据极值原理，式（）对 a、b 分别求偏导，并令其=0，得 z 三，模型的求解：运用 MATLAB 软件对数据进行一元线性回归分析：代码如下：x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001;222iiiiQiiaaabaaaba bxyyxyx 222iiiiiiiQyb xxyibbybxbxbybxxyxxyxx 2002(7.4.8)iiiixyxxxxyybxxixxyybxxiSS令

7、其，即所以 x=ones(11,1)x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;plot(x,y,+);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b,bint,stats,rcoplot(r,rint);结果：b=+006*bint=+006*stats=+005*（注：+006*为1*106 后同理）回归系数 回归系数估计值 回归系数置信区间 0+005*+006*（）+006*（）1 +005*+006*+006*R2=+005*F=+005*p s2=+005*因为，p,所以可

8、知回归方程为 y=-1579600+800 x 先观察观察模型残差：如图所示，应该剔除第 2 组数据。MATLAB 代码为：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001;x=ones(10,1)x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;plot(x,y,+);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b,bint,stats,rcoplot(r,rint);结果为：b=+006*bint=+006*stats=+005*（其中：+006

9、*为1*106）同理+005*为1*105 剔除之后结果如下：回归系数 回归系数估计值 回归系数置信区间 0+006*（）+006*（）+005*（）1 +006*+006*+006*R2=F=+005*p s2=+005*将异常数据去除后，再次对去除异常点的数据进行最小二乘法拟合一个多元回归模型，残差图如下：因为，p,无异常数据可剔除 因此，可知最终回归方程为y=-1787900+900 x ,对 ployfit 拟合的函数进行评价与估计。运用 polyconf 函数对多项式评价和置信区间估计，matlab 代码如下：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998

10、1999 2000 2001;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfit(x,y,1)结果为：p=+006*S=R:2x2 double df:8 normr:+003 对 2015 年的货运量预测，即 y=polyconf(p,2015)y=+004 DELTA=+003（其中）所以预测区间为：（+004）-（+003）,（+004）+（+003）即，2015 年的货运量在（）之间。同理对 2016 年的货运量预测，即 y=+004 DELTA=+003 所以预测区间为：（+004）-（+003

11、）,（+004）+（+003）即，2016 年的货运量在（）之间。对 2017 年的货运量预测，即 y=+004 DELTA=+003 所以预测区间为：（+004）-（+003）,（+004）+（+003）即，2017 年的货运量在（）之间。对 2018 年的货运量预测，即 y=+004 DELTA=+003 所以预测区间为：（+004）-（+003）,（+004）+（+003）即，2018 年的货运量在（）之间。对 2019 年的货运量预测，即 y=+004 DELTA=+003 所以预测区间为：（+004）-（+003）,（+004）+（+003）即，2019 年的货运量在（）之间。对 2

12、020 年的货运量预测，即 y=+004 DELTA=+003 所以预测区间为：（+004）-（+003）,（+004）+（+003）即，2020 年的货运量在（）之间。附：MATLAB 代码：1，x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001;x=ones(11,1)x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;plot(x,y,+);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b,bint,stats,rcoplot(

13、r,rint);2，x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001;x=ones(10,1)x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;plot(x,y,+);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b,bint,stats,rcoplot(r,rint);3，x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfit(x,y,1)y=polyconf(p,2015)