按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现.pdf

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1、按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB现、DIT-FFT 算法的基本原理基2FFT算法的基本思想是把原始的N点序列依 次分解成一系列短序列，充分利用旋转因子的周 期性和对称性，分别求出这些短序列对应的DFT,再进行适当的组合，得到原N点序列的DFT最 终达到减少运算次数，提高运算速度的目的。按时间抽取的基2FFT算法，先是将N点输入序 列x(n)在时域按奇偶次序分解成2个N/2点序 列x1(n)和x2(n)，再分别进行DFT运算，求出 与之对应的X1(k)和X2(k)，然后利用图1所示 的运算流程进行蝶形运算，得到原N点序列的DFT只要N是2的整数次幂，这种分解就可一 直进行下去，直到其

2、DFT就是本身的1点时域序 列。还幺)X=纸(十啟尽閃X2(小X(业十押丿2)=%0丄-1州址2(上)流图图蝶形运算1 DIT-FFT、DIT-FFT 算法的运算规律及编程思想1.原位计算对N=2点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运M算组成。在同一级中，每个蝶的输入数 据只对本蝶有用，且输出节点与输入节点在同一 水平线上，这就意味着每算完一个蝶后，所得数 据可立即存入原输入数据所占用的数组元素（存储单元），经过M级运算后，原来存放输入序列 数据的N个存储单元中可依次存放X（k）的N个 值，这种原位（址）计算的方法可节省大量内存。2.旋转因子的变化规律N点DITFFT运算流图中，每个蝶

3、形都要乘以 旋转因子WN，p称为旋转因子的指数。例如N=8=2时各级的旋转3因子：第一级：L=1，有1个旋转因子：WNWIN/4=W=J2LJ=0第二级：J=0,1L=2，有2个旋转因子：WN=WN/2=W；第三级：J=0,1,2,3L=3，有4个旋转因子：WN=WN=W；对于N=2的一般情况，第L级共有2个不同的 旋转因ML-1子：WN=：J=0,1,2,JWL,2-1L-122X2M=L-M=N2L-M故：按照上面两式可以确定第因子卩一屯=呛严=昭尸L级运算的旋转P二”严,3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2个蝶形M-L中；4、同一级中，蝶形运算使用

4、相同旋转因子之间 相隔的“距离”第L级中，蝶距：D=2；L5、同一蝶形运算两输入数据的距离在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶形的2个输入数据相距：B=2。L-16、码位颠倒输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关系为 倒位关系。将十进制顺序数用I表示，与之对应的二进制是 用IB表示，十进制倒序数用J表示，与之对应 的二进制是用JB表示。十进制顺序数I增加1,相当于IB最低位加1且逢2向高位进1,即相 当于JB最高位加1且逢2向低位进1。JB的变 化规律反映到J的变化分为两种情况，若JB的 最高位是0(JN/2),则直接由加1(J JJ

5、+N/2)得到下一个倒序值，若JB的最高位是1(J全N/2),则要先将最高位变0(J J J-N/2),再在 次高位加1(J J J+N/4)，但次高位加1时，同 样要判断0、1值，如果是0(JN/4),则直接 加1(J J J+N/4),否则要先将次高位变0(J J J-N/4)再判断下一位，依次类推，直到完 成最高位加1，逢2向右进位的运算。I=J时不 需要交换，只对IJ时的情况进行数据交换即可，数据倒序程序框图如如2。7、蝶形运算的规律序列经过时域抽选后，存入数组中，如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位 计算，蝶形运算可表示成如下形式：XL(J)=XL-1(J)+WNp X L

6、-1(J+B)XL(J)=XL-I(J)-WN-XL-1(J+B)Pp=JX2M-L,J=0,1,2,，2L-1 18 DIT-FFT程序框图根据DIT-FFT原理和过程，DIT-FFT的完整程序框图如图2:(1)倒序：输入自然顺序序列x(n),根据倒序规 律，进行倒序处理；循环层1:确定运算的级数，L=1M(N=2)；确定一蝶M形两输入数据距离B=h循环层2:确定L级的B=2个旋转因子；旋转 因子指L-1数p=JXz,J=0B-1;M-L(4)循环层3:对于同一旋转因子，用于同一级2M-L个蝶形运算中：k的取值从J到N-1，步长为(使用同一旋转因子的蝶形相距的距离)(5)完成一个蝶形运算2L

7、图2数据倒序程序框图图3 DIT-FFT的完整程序框图三、程序源代码设计函数fun cti onmyDitFFT(x n)完成一个序列的DIT-FFT运算:y=myDitFFT(x n)M=n extpow2(le ngth(x n);N=2 M;Adisp(调用fft函数运算的结果:),if len gth(x n)=K;J=J-K;K=K/2;endJ=J+K;enddisp(倒序后各存储单元的数据:),disp(x n);%分级按序依次进行蝶形运算disp(运算级次：),disp(L);B=2A(L-1);for R=0:B-1;%各级按序蝶算P=2A(M-L)*R;for K=R:2A

8、L:N-2;%每序依次计算T=x n(K+1)+x n(K+B+1)*WN(P+1);xn(K+B+1)=x n(K+1)-x n(K+B+1)*WN(P+1);xn(K+1)=T;endenddisp(本级运算后各存储单元的数据:),disp(xn);end在主函数中调用myDitFFT(xn)函数实现DIT-FFT并和直接DFT运算结果做对比：xn=0,1,2,3,4,5,6,7;myDitFFT(x n);调用fft函数运算的结果：1至7列28.0000+0.0000i-4.0000+9.6569i-4.0000+4.0000i-4.0000+1.6569i-4.0000+O.OOOOi

9、-4.0000-4.0000-4.0000i8列-4.0000-9.6569i调用myDitFFT(xn)函数运行的结果：输入到各存储单元的数据：06712345倒序后各存储单元的数据：03742615运算级次：1本级运算后各存储单元的数据：4-48-410-41.6569i6-4运算级次:2本级运算后各存储单兀的数据:1至7列12.0000+0.0000i-4.0000+0.0000i16.0000+0.0000i-4.0000+O.OOOOi8列-4.0000-4.0000i运算级次:3本级运算后各存储单元的数据1至7列28.0000+0.0000i-4.0000+4.0000i-4.00

10、00+0.0000i-4.0000-4.0000i-4.0000-9.6569i-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000+4.0000i-4.0000i+4.0000i+9.6569i+1.6569i-1.6569i经对比可知DIT-FFT与直接DFT的运行结果完全 相同。四、总结经过验证可发现DIT-FFT较直接DFT运算有着明 显的优势，我们可以将这个函数运用在多个领域 以简化运算，例如计算离散时间序列的卷积或计 算IDFT时都可以应用到DIT-FFT算法，我感受 到数字信号处理中科学思想的魅力。由于对设计 思路的缺乏，我在设计程序时，在网络上查找了 很多有关DIT-FFT的资料，经过学习他人的解决 思路最后才整理出DIT-FFT的程序，在有些地方我自己理解的还不是很透彻，比如在实现数据倒 序的程序我认为比较困难；当然即使自己想不到 能学习一下别人的思路也是很好的，这个程序的 代码量并不大，我自身的能力还很低，要在以后 的学习中不断进步才能完成更加复杂的任务。这 次课程设计让我对快速傅里叶变换有了更多的 了解，也认识到了科学计算方法的重要性，我感到很充实。参考文献-百度百科；按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现J.电子技术，2011(2)数字信号处理(第四版)西安电子科技大学出版社高希全丁玉美编