高中理科数学公式大全(完整版).pdf

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1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-高中数学公式大全（最新整理版）01.集合与简易逻辑 1.元素与集合的关系 UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.3.包含关系 ABAABBUUABC BC A UAC B UC ABR 4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB.5集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(

2、0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.7.一元二次方程的实根分布 依据：若()()0f m f n，则方程0)(xf在区间(,)m n内至少有一个实根.设qpxxxf2)(，则（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或2402pqpm；（2）方程0)(xf在区间(,)m n内有根的充要条件为()()0f m f n 或2()0()0402f mf npqpmn 或0)(0)(nfmf或0)(0)(mfnf；（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0f m 或2402pqpm.8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的

3、条件依据(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()f x txL.(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t(t为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manf x txL.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc或2040abac.9.真值表 非 或 且 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 10.四种命题的相互关系 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与

4、逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件 （1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.02.函数 11.函数的单调性(1)设2121,xxbaxx那么 1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xba

5、xfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.12.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy 和)(xgu 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy 是增函数.13奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 14.若函数)(xfy 是偶函数，则)

6、()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.15.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.16 若)()(axfxf,则函数)(xfy 的图象关于点)0,2(a对称;若)()(axfxf,则函数)(xfy 为周期为a2的周期函数.17.函数()yf x的图象的对称性-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-(1)函数()yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)()faxf x.(2)函数()yf x的图象关于直线2a

7、bx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx.18.两个函数图象的对称性 (1)函数()yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x(即y轴)对称.(2)函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称.(3)函数)(xfy 和)(1xfy的图象关于直线 y=x 对称.19.若将函数)(xfy 的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.20互为反函数的两个函数的关系 abfbaf)()(1.21.若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为)(11bxf

8、ky,并不是)(1bkxfy,而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f xcx,()()(),(1)f xyf xf yfc.(2)指数函数()xf xa,()()(),(1)0f xyf x f yfa.(3)对数函数()logaf xx,()()(),()1(0,1)f xyf xf yf aaa.(4)幂函数()f xx,()()(),(1)f xyf x f yf.(5)余弦函数()cosf xx,正弦函数()sing xx，()()()()()f xyf x f yg x g y，0()(0)1,lim1xg xfx.23.几

9、个函数方程的周期(约定 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa()()(2)(3)(4)f x

10、 f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.24.分数指数幂 -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.25根式的性质 （1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.26有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数

11、，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.28.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).29对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.03.数 列 30.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产

12、值y，有(1)xyNp.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).32.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-211()22dnad n.33.等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或11,11,1nnaa qqqsna q.34.等比差数列 na:11,(0)nnaqad ab q的通项

13、公式为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为 (1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq.04.三角函数 35常见三角不等式 （1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.36.同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan=cossin，tan1cot.37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)sin,nnconco 38.和角与差角公式 si

14、n()sincoscossin;cos()coscossinsin;(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-tantantan()1tantan.22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);22cos()cos()cossin.sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).39.二倍角公式 sin 2sincos.2222cos 2cossin2cos112sin .22tantan21tan.40.三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx

15、，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.41.正弦定理 2sinsinsinabcRABC.42.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.43.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB.44.三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB 222CAB222()CAB.45.实数与向量的积的运算律 设

16、、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.46.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=a c+bc.47.平面向量基本定理 -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 48向量平行的坐标表示 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，

17、则 a b(b0)12210 x yx y.49.a与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos 50.ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 51.平面向量的坐标运算(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设 a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy

18、，则 ab=1212()x xy y.52.两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).53.平面两点间的距离公式 ,A Bd=|ABAB AB 222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).54.向量的平行与垂直 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 A|bb=a 12210 x yx y.ab(a0)ab=012120 x xy y.55.线段的定比分公式 设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则 121

19、211xxxyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）.56.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.57.点的平移公式 xxhxxhyykyykOPOPPP.注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为(,)h k.58.“按向量平移”的几个结论-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（1）点(,)P x y按向量 a=(,)h k平移后得到点(,)P xh yk.(2)函数(

20、)yf x的图象C按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,则C的函数解析式为()yf xhk.(3)图象C按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,若C的解析式()yf x,则C的函数解析式为()yf xhk.(4)曲线C:(,)0f x y 按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,则C的方程为(,)0f xh yk.(5)向量 m=(,)x y按向量 a=(,)h k平移后得到的向量仍然为 m=(,)x y.59.三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OA

21、OBOC.（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.06.不 等 式 60.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式 22222()()(),.abcdacbda b c dR（5）bababa.61.极值定理 已知yx,都是正数，则有 （1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy

22、有最大值241s.推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22（1）若积xy是定值,则当|yx 最大时,|yx 最大；当|yx 最小时,|yx 最小.（2）若和|yx 是定值,则当|yx 最大时,|xy最小；当|yx 最小时,|xy最大.62.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 22xaxaaxa.22xaxaxa或xa.63.无理不等式（1）()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（2）2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.（3）2()0()()

23、()0()()f xf xg xg xf xg x.64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 07.直线和圆的方程 65.斜率公式 2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.66.直线的五种方程 （1）点斜式 11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 y

24、kxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).67.两条直线的平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb;12121llk k.(2)若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；68.夹角公式

25、(1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k )-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-(2)12211212tan|ABA BA AB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B).直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2.69.1l到2l的角公式 (1)212 1tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k )(2)12211212tanABA BA AB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B

26、).直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2.70四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其中k是待定的系数;经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0AxB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k一定而b变动时，表示平行直线系方程 与直线0AxByC平行的直线系方程是0A

27、xBy(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量 71.点到直线的距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).72.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossinxarybr.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy).73.圆系方程(1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是 12121

28、12112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线AB的方程,是待定的系数(2)过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数 (3)过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数 74.点与圆的位置关系 点00(,)P x

29、y与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 若2200()()daxby，则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.76.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21 条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.77.圆的切线方程 (1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆

30、上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF.当00(,)xy圆外时,0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr;斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.08.圆锥曲线方程 78.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxa

31、yb.79.椭圆22221(0)xyabab焦半径公式 )(21caxePF，)(22xcaePF.80椭圆的的内外部 -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.81.椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab

32、.（3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.96.双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式 21|()|aPFe xc，22|()|aPFexc.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222bya

33、x.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.84.双曲线的切线方程 (1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab.（3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.100.抛物线pxy22的焦半径公式 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212

34、122.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-85.抛物线pxy22上的动点可设为 P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)x y，其中 22ypx.86.二次函数2224()24bac byaxbxca xaa(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p.(2)点00(,)P x

35、y在抛物线22(0)ypx p 的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的外部22(0)ypx p.(3)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p.(4)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p 的外部22(0)xpy p.88.抛物线的切线方程 (1)抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx.（2）过抛物线pxy22外一点00(

36、,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp x x.（3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC.89.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1(,)0f x y,2(,)0fx y 的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0f x yf x y(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max,ka b.当22min,ka b时,表示椭圆;当2222min,max,a bka b时,表示双曲线.90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或 2222211212(1)()|1tan|1tABkxxxx

37、yyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy 消去y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.91.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y 关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fx xyy.（2）曲线(,)0F x y 关于直线0AxByC成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB.92.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程-

38、WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.09.立体几何 93证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.94证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.95证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.96证明直线与直线的垂

39、直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.97证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.98证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab 1

40、00.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.101.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0)，ab存在实数使 a=b PAB、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB.|AB CDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线.102.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的存在实数对,x y,使paxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对,x y,使MPxMAyMB，或对空间任一定点 O，有序实数对,

41、x y，使OPOMxMAyMB.103.对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当1k 时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当1k 时，若O平面 ABC，则 P、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面 C AB、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC(1)ODxy OAxOByOC（O平面 ABC）.104.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 pxaybzc

42、 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOC.105.向量的直角坐标运算 设a123(,)a a a，b123(,)b b b则(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa(R)；(4)ab1 1223 3aba ba b；106.设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则 ABOBOA=212121(,)xx yy zz.107空间的线线平行或垂直 设111(,)ax y z，222(,)bxy z，则 a b(0)ab b1

43、21212xxyyzz；ab0a b12121 20 x xy yz z.109.空间两点间的距离公式 若 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则 ,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz.110.点Q到直线l距离 221(|)()|ha ba ba(点P在直线l上，直线l的方向向量 a=PA，向量 b=PQ).111.异面直线间的距离|CD ndn(12,l l是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离).112.点B到平面的距离|AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.113.异面

44、直线上两点距离公式 2222cosdhmnmn.2222cos,dhmnmnEA AF.2222cosdhmnmn（EAAF）.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-(两条异面直线 a、b 所成的角为，其公垂线段AA的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F，AEm,AFn,EFd).已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c和1S,则 1Scl斜棱柱侧.1VS l斜棱柱.114.球的半径是 R，则 其体积343VR,其表面积24SR 115.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对

45、角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.116柱体、锥体的体积 13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.10.排列组合二项定理 117.分类计数原理（加法原理）12nNmmm.118.分步计数原理（乘法原理）12nNmmm.119.排列数公式 mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)注:规定1!0.120

46、.排列恒等式 (1）1(1)mmnnAnmA;（2）1mmnnnAAnm;（3）11mmnnAnA;（4）11nnnnnnnAAA;（5）11mmmnnnAAmA.(6)1!2 2!3 3!(1)!1n nn.121.组合数公式 -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn).122.组合数的两个性质(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.注:规定10nC.123.组合恒等式（1）11mmnnnmCCm;（2）1mmnnnCCnm;（3）11mmnnnCCm;（4）nrrnC0=

47、n2;（5）1121rnrnrrrrrrCCCCC.(6)nnnrnnnnCCCCC2210 负整数解有 11n mnC 个.124.二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式 rrnrnrbaCT1)210(nr，.11、12.概率与统计 125.等可能性事件的概率 ()mP An.126.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)127.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)128.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B).129.n

48、 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率()(1).kkn knnP kC PP 131.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)iPi;（2）121PP.132.数学期望 1 122nnEx Px Px P 133.数学期望的性质-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（1）()()E abaEb.（2）若(,)B n p,则Enp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则1Ep.134.方差 2221122nnDxEpxEpxEp 135.标准差

49、=D.136.方差的性质(1)2D aba D；(2）若(,)B n p，则(1)Dnpp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则2qDp.137.方差与期望的关系 22DEE.138.正态分布密度函数 22261,2 6xfxex ，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数 221,2 6xf xex .140.回归直线方程 yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx.141.相关系数 12211()()niiinniiiixxyyrxxyy 1222211()()nii

50、inniiiixxyyxnxyny.|r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.13.极 限 142.特殊数列的极限 （1）0|1lim11|11nnqqqqq 不存在或.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（2）1101100()lim()()kkkktttnttkkta nanaaktbnb nbbkt不存在.（3）111lim11nnaqaSqq（S无穷等比数列11na q(|1q)的和）.143.函数的极限定理 0lim()xxf xa00lim()lim()xxxxf xf xa.144.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g