公共基础(数理化)精讲班第一章高等数学(二)-.pdf

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1、 环球网校学员专用资料第1页/共5页 第二节 空间的平面和直线 1.平面及方程（1）平面的点法式方程:设平面过点),(000zyx，法向量为,CBAn,则平面方程为 0)()()(000zzcyyBxxA 这个方程就叫做平面的点法式方程。【例题 1-6】过点)1,0,1(且与平面0194zyx平行的平面方程为（）。（A）034zyx；（B）032zyx；（C）0192zyx；（D）0942zyx 解：由于所求平面与平面0194zyx平行，而平面0194zyx的法向量为4,1,1n，故所求平面的法向量可为4,1,1n，再由其过点)1,0,1(，利用平面的点法式方程，有 0)1(4)0(1)1(1

2、zyx 即034zyx，故选 A。（2）平面的一般方程:0AxByCzD 其中,nA B C为平面的法向量，特别地 当0D时，平面过原点；当0A时，平面平行于x轴,这时若0D，平面不经过x轴，若0D，则平面经过x轴【例题 1-7】设平面的方程为34520 xyz,以下选项中错误的是:(A)平面过点(1,0,1)(B)平面的法向量为345ijk (C)平面在z轴 的截距是25 (D)平面与平面2220 xyz垂直 环球网校学员专用资料第2页/共5页 【解析】平面34520 xyz的法向量为1(3,4,5)n ，平面2220 xyz的法向量为2(2,1,2)n ，两 个 平 面 垂 直 的 充 要

3、 条 件 是 法 向 量 的 数 量 积 为 零，而12(3)(2)4(1)5(2)80n n ，故(D)选项错误。将点(1,0,1)代入34520 xyz满足，(A)正确；显然345ijk是平面的法向量，(B)正确；将0 xy代入34520 xyz，解得25z ，平面在z轴 的截距是25，(C)正确。正确答案应选：D （3）两平面的夹角 两平面的夹角就是他们法向量的夹角，规定夹角90。设平面1和2的法向量分别为1111,nA B C和2n222,A B C，则 2121cosnnnn)20(222222212121212121CBACBACCBBAA（4）两平面垂直、平行的充要条件 0212

4、1212121CCBBAAnn 2121212121CCBBAAn/n/（5）点到平面的距离 点0000(,)Mxyz到平面0AxByCzD的距离为 222000CBADCzByAxd 2.直线及方程（1）空间的直线是两个平面的交，故空间直线的一般方程为:0022221111DzCyBxADzCyBxA 方向向量 22211121CBACBAkjinns 环球网校学员专用资料第3页/共5页 注：空间的线必须用两个式子表达。（2）对称式方程:设直线过点),(000zyx，方向向量为,pnms,则直线方程为 pzznyymxx000 如果mnp、中有一个为零，例如0n，这时直线方程为 000 xx

5、zzmpyy。【例题 1-8】已知平面过点)0,1,1()1,0,0()1,1,0(,则与平面垂直且过点)1,1,1(的直线的对称方程为:(A)110111zyx (B)1,1111yzx (C)1111zx (D)110111zyx 解:由 于 直 线 与 平 面 垂 直，故 平 面 的 法 向 量 就 是 直 线 的 方 向 向 量。而 平 面过 点)0,1,1()1,0,0()1,1,0(，向量1,1,1和0,1,0在平面内，所以平面的法向量010111kjinki,所求直线的方向向量为ki,故应选(B).（3）参数式方程:000,()xxmtyynttzzpt 【例题 1-9】设直线的

6、方程为12233xtytzt ,则直线:(A)过点(1,2,3),方向向量为23ijk (B)过点(1,2,3),方向向量为23ijk (C)过点(1,2,3),方向向量为23ijk (D)过点(1,2,3),方向向量为23ijk 解：由所给方程知直线过点(1,2,3)，方向向量为23ijk,也可为23ijk,故应选(D).环球网校学员专用资料第4页/共5页 （4）两直线的夹角 两直线的夹角是用他们方向向量的夹角来表达，同样为保证夹角的唯一性，规定夹角90。设直线 L1、L2的方向向量为 1111smnp、和2222smnp、，则 2121cosssss)20(2222222121212121

7、21pnmpnmppnnmm【例题 1-10】设有直线1135:121xyzL，与23:112xtLytzt ，则1L与2L的夹角等于：(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【解析】1L的方向向量1(1,2,1)s，2L的方向向量2(1,1,2)s ，故 2222221(1)(2)(1)1 21cos21(2)1(1)(1)2 所以6 正确答案应选：D （5）两直线垂直、平行的充要条件 02121212121ppnnmmssLL 2121212121ppnnmms/sL/L（6）直线与平面的夹角 直线L和它在平面上的投影直线的夹角称为直线L和平面的夹角。设直线L的方向向量pnms、，平面的法向

8、量为,CBAn，记直线L和平面的夹角为，直线L的方向向量s和平面的法向量n的夹角为，则2，故有 sincosn sn s222222(0)2AmBnCpABCmnp（7）直线与平面垂直、平行的充要条件 CpBnAmn/sL 环球网校学员专用资料第5页/共5页 0CpBnAmns/L【例题 1-11】设直线的方程为1xyz,平面的方程为20 xyz,则直线与平面：(A)重合 (B)平行不重合 (C)垂直相交 (D)相交不垂直 解:直线的方向向量为(1,1,1)s，平面的法向量为(1,2,1)n，1 2 10s n ，这两个向量垂直，直线与平面平行，又直线上的点(0,1,0)不在平面上，故直线与平面不重合，应选 B。