初中圆知识点及练习题.pdf

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1、.第三章第三章 圆圆【课标要求】【课标要求】（1 1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算）认识圆并掌握圆的有关概念和计算知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.利用圆的对称性探索弧、利用圆的对称性探索弧、弦、弦、圆心角之间的关系，圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说并会进行简单计算和说理理.探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和

2、说理.了解三角形外心、三角形外接圆和圆接三角形的概念了解三角形外心、三角形外接圆和圆接三角形的概念.掌握圆接四边形的性质掌握圆接四边形的性质（2 2）点与圆的位置关系）点与圆的位置关系能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.（3 3）直线与圆的位置关系）直线与圆的位置关系 能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.了解切线的概念了解切线的概念.能

3、运用切线的性质进行简单计算和说理能运用切线的性质进行简单计算和说理.掌握切线的识别方法掌握切线的识别方法.了解三角形心、三角形切圆和圆的外切三角形的概念了解三角形心、三角形切圆和圆的外切三角形的概念.能过圆上一点画圆的能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（4 4）圆与圆的位置关系）圆与圆的位置关系了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系.掌握两圆公切线的定义掌握两圆公

4、切线的定义并能进行简单计算并能进行简单计算（5 5）圆中的计算问题）圆中的计算问题.掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.了解圆锥的高、母线等概念了解圆锥的高、母线等概念.结合生活中的实例结合生活中的实例(模型模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图了解圆柱、圆锥的侧面展开图.会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用.能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积能综

5、合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.2 2、基础知识、基础知识（1 1）掌握圆的有关性质和计算）掌握圆的有关性质和计算弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两条劣弧如果两条劣弧（优弧）（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分

6、弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同一圆，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一在同一圆，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半半.圆接四边形的性质圆接四边形的性质:圆的接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的对角圆的接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的对角.（2 2）点与圆的位置关系）点与圆的位置关系设点与圆心的距

7、离为设点与圆心的距离为则点在圆外则点在圆外，圆的半径为，圆的半径为，；点在圆点在圆；点在圆上点在圆上过不在同一直线上的三点有且只有一个圆过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外一个三角形有且只有一个外接圆接圆.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3 3）直线与圆的位置关系）直线与圆的位置关系设圆心到直线设圆心到直线 的距离为的距离为则直线与圆相离则直线与圆相离，圆的半径为，圆的半径为，；直线与圆相交；直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相切切线

8、的性质切线的性质:与圆只有一个公共点；与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径.切线的识别切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.三角形的心是三角形三条角平分线的交点三角形的心是三角形三条角平分线的交点.三角形的心到三角形三边的距离相等三角形的心到三角形三边的距离相

9、等.切线长切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角平分这两条切线的夹角.（4 4）圆与圆的位置关系）圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种圆与圆的位置关系有五种:外离、外离、外切、相交、切、含外切、相交、切、含.设两圆心的距离为设两圆心的距离为，两圆的半径为，两圆的半径为，则两圆外离，则两圆外离两圆外切两圆外切两圆相交两圆相交两圆切两圆切两圆含两圆含

10、两个圆构成轴对称图形，连心线两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知由对称性知:两圆相切，连心线经过切点两圆相切，连心线经过切点.两圆相交，连心线垂直平分公共弦两圆相交，连心线垂直平分公共弦.两圆公切线的定义两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同两个圆在公切线同旁时旁时,这样的公切线叫做外公切线这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做公切线这样的公切线叫做公切线.公切线上两个切点的距离叫做公切线的长公切线上两个切点的距离叫

11、做公切线的长.（5 5）与圆有关的计算）与圆有关的计算弧长公式：弧长公式：扇形面积公式：扇形面积公式：（其中为（其中为圆心角的度数，圆心角的度数，为半径）为半径）圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积底面周长高圆柱的侧面积底面周长高圆柱的全面积侧面积底面积圆柱的全面积侧面积底面积圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长的半径等于圆锥的母线长圆锥体可以看成

12、是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体圆锥的侧面积圆锥的侧面积3 3、能力要求、能力要求底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底面积底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底面积例例 1 1 如图，如图，ACAC 为为O O 的直径，的直径，B B、D D、E E 都都是是O O 上的点，求上的点，求A+A+B+B+C C 的度数的度数.【分析】由【分析】由 ACAC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结连结 AEAE，这样将，这样将CADCAD（A A）、）、C C 放在了放在了

13、AECAEC 中，中，而而B B 与与EADEAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解刃而解【解】【解】连结连结 AEAEACAC 是是O O 的直径的直径AEC=90AEC=90O OCAD+CAD+EAD+EAD+C=90C=90O OB=B=EADEAD.CAD+CAD+B+B+C=90C=90【说明】这里通过将【说明】这里通过将B B 转化为转化为EADEAD，从而使原本没有联系的，从而使原本没有联系的A A、B B、C C 都在都在AECAEC 中，又利用“直径对直角”得到它们的和是中，又利用“直径对直角”得到它们的和是 9090 解题中一方面

14、注意到了隐含条件“同解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法角），很好地体现了“转化”的思想方法一、知识点：一、知识点：、确定圆的条件、确定圆的条件1 1过已知两点的圆的圆心组成的图形是过已知两点的圆的圆心组成的图形是_，_确定一个圆确定一个圆2.2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_，它的圆心叫做三角形，它的圆心叫做三角形的的_，它是三角形

15、它是三角形_的交点；的交点；这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的_-_-3 3三角形外心的位置：三角形外心的位置：锐角三角形的外心在锐角三角形的外心在_;_;直角三角形的外心是直角三角形的外心是_;_;钝角三角形的外心在钝角三角形的外心在_直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系1 1直线和圆的位置关系有三种：直线和圆的位置关系有三种：（1 1）_；（2 2）_；（3 3）_2 2当直线和圆当直线和圆 _公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆心到直线的距离公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆心到直线的距离_半径；半径；当直线和圆当直线和圆 _公共点时，公共点时，叫做直线和圆相切，叫做直线和圆相切，此时圆

16、心到直线的距离此时圆心到直线的距离_半径；半径；当直线和圆当直线和圆 _公共点时，公共点时，叫做直线和圆相离，叫做直线和圆相离，此时圆心到直线的距离此时圆心到直线的距离_半径；半径；3 3切线的性质：圆的切线切线的性质：圆的切线_O OO O练习二练习二PAPA是是e O O的切线的切线 _ 或：或：PAPA 切切O O于点于点A A_4 4判定直线为圆的切线：判定直线为圆的切线：经过经过_，并且垂直于并且垂直于_的直线是圆的的直线是圆的如图可表述为：如图可表述为：切线。切线。O OP PA A_ PAPA是是e O O的切线的切线_ 5 5和三和三 角形各边角形各边 _的圆叫的圆叫 做三角形

17、做三角形 的的_，它的圆心它的圆心 叫做叫做 三角形三角形 的的如图可表述为：如图可表述为：_，是是三三角角形形_的的交交点点;这这个个三三角角形形叫叫做做圆圆的的._-_-6.6.过圆外一点可引圆的过圆外一点可引圆的_条切线，这个点到各个切点的距离条切线，这个点到各个切点的距离_。二、一些常见关系及辅助线作法：二、一些常见关系及辅助线作法：7.7.已知已知O O中，直径中，直径CDCDABAB于点于点E E，若若a ar r，则，则AOBAOB_，d d_（用含（用含r r的代数式表示）的代数式表示）若若a a2 2r r，则，则AOBAOB_，d d_（用含（用含r r的代数式表示）的代数

18、式表示）若若a a3 3r r，则，则AOBAOB_，d d_（用含（用含r r的代数式表示）的代数式表示）8.8.已知已知 ABCABC是是O O的接三角形，的接三角形，I I的外切三角形。设的外切三角形。设O O的半径为的半径为R R，I I的半径为的半径为r r。若若 ABCABC的周长为的周长为s s，则，则 ABCABC的面积与的面积与s s，r r的关系为的关系为_若若 ABCABC是边长为是边长为a a的等边三角形，则的等边三角形，则R R_，r r_（用含（用含a a的代数式表示）的代数式表示）若若 ABCABC是直角边长为是直角边长为a,ba,b，斜边长为斜边长为c c的直角

19、三角形，的直角三角形，则则R R_，r r_（用含（用含a,b,ca,b,c的代数式表示）的代数式表示）若若 ABCABC是直角边长为是直角边长为a a的等腰直角三角形，则的等腰直角三角形，则R R_，r r_（用含（用含a a的代的代数式表示）数式表示）若若 ABCABC是腰长为是腰长为a a，顶角为，顶角为 120120的等腰三角形，则的等腰三角形，则R R_（用含（用含a a的代数式表的代数式表示）示）9.9.已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接_得得_10.10.证明一条直线是圆的切线方法：证明一条直线是圆的切线方法：证明直线和圆只有一个公共点（

20、不常用）证明直线和圆只有一个公共点（不常用）已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为_，证明，证明_已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为_，证明，证明_11.11.作作 ABCABC的外接圆的方法：分别作两边的的外接圆的方法：分别作两边的_，使这两条直线交于点，使这两条直线交于点O O，以以为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。所作的圆就是为半径作圆。所作的圆就是 ABCABC的外接圆。的外接圆。1212作作ABCABC的切圆的方法：分别作两角的的切圆的方法：分别作两角的_，使这两条线段交于点，使这两

21、条线段交于点I I；过过I I作作IEIEBCBC于于E E；以；以I I为圆心，为圆心，IEIE为半径作圆。所作的圆就是为半径作圆。所作的圆就是ABCABC的切圆。的切圆。三、课堂练习题：三、课堂练习题：1313下列命题中，真命题的个数是下列命题中，真命题的个数是（）经过三点一定可以作圆；经过三点一定可以作圆；任意一个圆一定有一个接三角形，任意一个圆一定有一个接三角形，并且只有一个接三角形。并且只有一个接三角形。任意一个三角形一定有一个外接圆，任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，并且只有一个外接圆，三角形的外心到三角形的三三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。个顶点距离相等

22、。A.4A.4 个个B.3B.3 个个C.2C.2 个个D.1D.1 个个1414如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A A、B B、C C，其中，其中B B点坐标为（点坐标为（4 4，4 4），则该，则该圆弧所在的圆的圆心的坐标圆弧所在的圆的圆心的坐标。.第第 1414 题题第第 1515 题题第第 1616 题题15.15.图中图中ABCABC外接圆的圆心坐标是外接圆的圆心坐标是16.16.如图，方格纸上一圆经过（如图，方格纸上一圆经过（2 2，5 5），（2 2，3 3）两点，则该圆圆心的坐标为）两点，则该圆圆心的坐标为17.17.一只猫观察到一老鼠洞

23、的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在_地方，才能最省力地顾及到三个洞口。地方，才能最省力地顾及到三个洞口。18.18.圆外切平行四边形是圆外切平行四边形是_形，圆接平行四边形是形，圆接平行四边形是_形。形。1919已知直线已知直线a a：y yx x3 3 和点和点A A（0 0，3 3），B B（3 3，0 0）.设设P P为为a a上一点，试判断上一点，试判断P P、A A、B B是否在同一个圆上。是否在同一个圆上。20.20.如图，已知圆的接三角形如图，已知圆的接三角形ABCABC中，中，ABABACAC，D

24、 D是是BCBC边上的一点，边上的一点，E E是直线是直线ADAD的延的延长线与长线与ABCABC外接圆的交点。外接圆的交点。2 2（1 1）求证：）求证：ABABADAD AEAE（2 2）当）当D D为为 BCBC 延长线上一点时，第（延长线上一点时，第（1 1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。果不成立，请说明理由。21.21.直线直线ABAB经过经过O O上一点上一点C C，且，且OAOAOBOB，CACACBCB，求证直线，求证直线ABAB是是O O的切线。的切线。A A22.22.直角梯形直角梯形ABCDABCD中，中，

25、A AB B9090，ADADBCBC，E E为为ABAB上一点，上一点，DEDE平分平分ADCADC，CECE 平分平分BCDBCD，则以，则以 ABAB 为直径的圆与边为直径的圆与边CDCD有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？E EB B四、课后练习题：四、课后练习题：1.Rt1.RtABCABC中，中，C C9090，BCBC5 5，ACAC1212 则其外接圆半径为则其外接圆半径为2.2.若直角三角形的两直角边长分别为若直角三角形的两直角边长分别为6 6，8 8，则这个三角形的外接圆直径是，则这个三角形的外接圆直径是3.3.等腰三角形等腰三角形 ABCABC 接于半径为接于半径为 5

26、5cmcm的的O O中，中，若底边若底边 BCBC8 8cmcm，则则ABCABC的面积是的面积是4.4.在在 RtRtABCABC中，如果两条直角边的长分别为中，如果两条直角边的长分别为3 3、4 4，那么，那么 RtRtABCABC的外接圆的面积为的外接圆的面积为5.5.等边三角形的边长为等边三角形的边长为4 4，则此三角形外接圆的半径为，则此三角形外接圆的半径为6 6边长为边长为 6 6 的正三角形的切圆的半径是（的正三角形的切圆的半径是（）.D DC C.3 3D.2D.22 27 7ABCABC 中中A A9090，ABABACAC，以，以A A为圆心的圆切为圆心的圆切BCBC于于，

27、若，若BCBC1212CMCM，则，则A A的半径的半径d d为为cmcm8.8.如图，如图，ABAB是是的直径，的直径，CABCAB3030，过，过C C作作的切线交的切线交 ABAB 的延长线于的延长线于D D，ODOD1515cmcm，则则ABABcmcmA.A.3 3B.2B.23 3C.C.第第 8 8 题题第第 1313 题题第第 1515 题题9.9.已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为 2 2，那么这个三角形的切圆的半径为，那么这个三角形的切圆的半径为。10.10.RtRt ABCABC中，中，C C9090，ABAB1010，ACAC6 6，以，以 C C

28、 为圆心作为圆心作C C与与ABAB相切，则相切，则C C的半径为的半径为。11.11.已知已知O O的直径为的直径为 6 6，P P为直线为直线 l l 上一点，上一点，OPOP3 3，那么直线，那么直线l l与与O O的位置关系是的位置关系是12.12.若一个直角三角形的斜边长为若一个直角三角形的斜边长为1010，其切圆半径为，其切圆半径为 2 2，则这个三角形的周长是，则这个三角形的周长是。13.13.如图，如图，PAPA切切于点于点A A，POPO交交于点于点，若，若PAPA，BPBP4 4，则，则的半径为的半径为（）5 55 5B.B.C.2C.2D.5D.54 42 214.14.

29、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是（以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是（）A.A.等腰三角形等腰三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.锐角三角形锐角三角形D.D.钝角三角形钝角三角形1515 如图，是一块残破的圆轮片，如图，是一块残破的圆轮片，A A、B B、C C是圆弧上的三点是圆弧上的三点作出弧作出弧ACBACB所在的所在的O O（不写作法，保留作图痕迹）（不写作法，保留作图痕迹）如果如果ACACBCBC6060cmcm，ACBACB120120，求该残破圆轮片的半径。求该残破圆轮片的半径。A.A.1616已知圆的直经为已知圆的直经为 13cm1

30、3cm，如果直线和圆心的距离为，如果直线和圆心的距离为 4.5cm4.5cm，那么直线和圆有，那么直线和圆有公共公共点。点。17.17.在在 RtRtABCABC 中，中，ACBACB9090，ABAB5cm5cm，ACAC3cm3cm，以点，以点 C C 为圆心，为圆心，r r 为半径的为半径的圆与圆与 ABAB 有何位置关系？为什么？有何位置关系？为什么？1818如图，如图，ABAB 是是O O 的直径，的直径，C C 为为O O 上一点，上一点，ADADCDCD，（点点 D D 在在O O 外）外）ACAC 平分平分BADBAD（1 1）求证：）求证：CDCD 是是O O 的切线的切线（

31、2 2）若）若 DCDC、ABAB 的延长线相交于点的延长线相交于点E E，且，且 DEDE1212，ADAD9 9，求，求 BEBE 的长。的长。1919如图，在如图，在 RtRtABCABC 中，中，B B9090，BACBAC 的平分线交的平分线交 BCBC 于于 D D，E E 为为 ABAB 上一点，上一点，.DEDEDCDC，以，以 D D 为圆心，为圆心，DBDB 的长的半径作圆，求证：的长的半径作圆，求证：（1 1）ACAC 是是D D 的切线的切线（2 2）AB+EBAB+EBACAC2020一个圆球放置在一个圆球放置在 V V 形架中，如图是它的平面示意图，形架中，如图是它的平面示意图，CACA 和和 CBCB 是是O O 的切线，切点的切线，切点分别为分别为 A A，B B，如果，如果O O 的半径为的半径为2 2 3 3cmcm 且且 ABAB6m6m，求，求ACBACB 的度数。的度数。21.21.如图，如图，ABCABC 接于接于O O，ADAD 是是ABCABC 的高，的高，O O 的直径的直径 AEAE 交交 BCBC 于点于点 F F，点，点 P P 在在BCBC 的延长线上，的延长线上，CAPCAPB B（1 1）求证：）求证：PAPA 是是O O 的切线的切线（2 2）求证：）求证：PCPC PBPBPDPD PFPF.