工程数学(近世代数).ppt

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1、近世代数近世代数高等工程数学高等工程数学2代数结构部分v第4章 知识准备v第5章 群v第6章 环和域3第4章 知识准备v二元运算定义及其实例二元运算定义及其实例v 运算的表示运算的表示v 二元运算的性质二元运算的性质交换律、结合律、消去律交换律、结合律、消去律分配律分配律v 二元运算的特异元素二元运算的特异元素单位元单位元零元零元可逆元素及其逆元可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义定义设设S 为集合为集合,映射映射f：SSS 称为称为S 上的二上的二元运算元运算,简称为简称为二元运算二元运算.也称也称S 对对f 封闭封闭.例例1(1)N上的加法、乘法上的加法、乘法.(2)Z上：加法、减

2、法、乘法上：加法、减法、乘法.(3)非零实数集非零实数集R*上的二元运算上的二元运算:乘法、除法乘法、除法.(4)设设S=a1,a2,an,ai aj=ai，为为S上二上二元运算元运算.5二元运算的实例（续）(5)设设Mn(R)表示所有表示所有n 阶阶(n2)实矩阵的集实矩阵的集合，即合，即矩阵加法和乘法都是矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算上的二元运算.(6)幂集幂集P(S)上的二元运算：上的二元运算：,.(7)SS 为为S 上的所有函数的集合：合成运算上的所有函数的集合：合成运算.6二元运算的表示算符算符：,等符号等符号表示二元运算表示二元运算对二元运算对二元运算 ，如果，如果x 与

3、与y 运算得到运算得到z，记做，记做x y=z；表示二元或一元运算的方法：表示二元或一元运算的方法：公式公式、运算表运算表7公式表示公式表示例例2设设R 为实数集合，如下定义为实数集合，如下定义 R 上的二元运上的二元运算算：x,yR,x y=x.那么那么3 4=30.5(-3)=0.5运算表运算表（表示有穷集上的二元运算）（表示有穷集上的二元运算）二元运算的表示（续）8运算表的形式 a1a2an a1 a2.ana1a1a1a2a1ana2a1a2a2a2an.ana1ana2anan9运算表的实例（续）例例3Z5=0,1,2,3,4,模模5加法加法 的运算表的运算表 01234012340

4、12341234023401340124012310二元运算的性质 定义定义设设 为为S 上的二元运算上的二元运算,(1)如果对于任意的如果对于任意的x,y S 有有x y=y x,则称运算在则称运算在S 上满足上满足交换律交换律.(2)如果对于任意的如果对于任意的x,y,z S 有有(x y)z=x (y z),则称运算在则称运算在S 上满足上满足结合律结合律.(3)(3)如果对于任意的如果对于任意的 x,y,z S，若若x y=x z，则，则y=z若若y x=z x,则则y=z那么称那么称 运算满足运算满足消去律消去律.11消去律实例实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律关于普通加法

5、和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律乘法不满足消去律.Zn关于模关于模n加法满足消去律，当加法满足消去律，当n为素数时关于为素数时关于模模n乘法满足消去律乘法满足消去律.当当n为合数时关于模为合数时关于模n乘乘法不满足消去律法不满足消去律.12二元运算的性质（续）定义定义设设 和和 为为S 上两个不同的二元运算上两个不同的二元运算,如果如果 x,y,zS 有有(x y)z=(x z)(y z)z (x y)=(z x)(z y)则称则称 运算对运算对 运算满足运算满足分配律分配律.13实例分析集合运算分配律 Z,Q

6、,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配 Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n 阶实矩阵集合阶实矩阵集合,n 2；14二元运算的特异元素单位元单位元定义定义设设 为为S上的二元运算上的二元运算,如果存在如果存在e S，使，使得对任意得对任意xS 都有都有 e x=x e=x，则称则称e是是S 中关于中关于 运算的运算的单位元单位元.单位元也叫做单位元也叫做幺元幺元.定理定理 若若 S 中关于运算存在单位元，则中关于运算存在单位元，则 单位元单位元是是唯一的唯一的.15二元运算的特异元素（续）零元零元设设

7、 为为S 上的二元运算上的二元运算,如果存在如果存在S，使，使得对任意得对任意xS 都有都有 x=x =)，则称则称是是S 中关于中关于 运算的运算的零元零元.定理定理 若若 S 中关于运算存在零元，则中关于运算存在零元，则 零元是零元是唯一的唯一的.16二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元可逆元素及其逆元令令e 为为S 中关于运算中关于运算 的单位元的单位元.对于对于xS，如，如果存在果存在yS 使得使得 y x=x y=e，则称则称y是是x 的的逆元逆元.如果如果x 的逆元存在，则唯一，记为的逆元存在，则唯一，记为x-1,称称x 是是可逆的可逆的.17实例分析集合运算单位元零元逆元Z,

8、Q,R普通加法+0无X 的逆元x普通乘法10X 的逆元x1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元X矩阵乘法 n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元X1（X是可逆矩阵）P(B)并B的逆元为交BB 的逆元为B对称差无X 的逆元为X18例题分析解解(1)运算可交换，可结合运算可交换，可结合.任取任取x,y Q,x y=x+y+2xy=y+x+2yx=y x,任取任取x,y,z Q,(x y)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz

9、+4xyz例例4设设 运算为运算为Q上的二元运算，上的二元运算，x,y Q,x y=x+y+2xy,(1)运算是否满足交换和结合律运算是否满足交换和结合律?说明理由说明理由.(2)求求 运算的单位元、零元和所有可逆元运算的单位元、零元和所有可逆元.19给定给定x，设，设x 的逆元为的逆元为y,则有则有x y=0成立，即成立，即 x+y+2xy=0(x=1/2)因此当因此当x 1/2时，时，是是x 的逆元的逆元.例题分析（续）(2)设设 运算的单位元和零元分别为运算的单位元和零元分别为e 和和，则对于，则对于任意任意x 有有x e=x 成立，即成立，即 x+e+2xe=x e=0由于由于 运算可

10、交换，所以运算可交换，所以0是幺元是幺元.对于任意对于任意x 有有x =成立，即成立，即x+2x =x+2x =0=1/220代数系统定义与实例定义定义非空集合非空集合S 和和S 上上k 个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2,fk 组成的系统称为一个组成的系统称为一个代数系统代数系统,简称简称代数代数，记做记做 V=.21实例,是代数系统，是代数系统，+和和分别表示普通加法和乘法分别表示普通加法和乘法.是代数系统，是代数系统，+和和分别表示分别表示n 阶阶(n2)实矩阵的加法和乘法实矩阵的加法和乘法.是代数系统，是代数系统，Zn0,1,n-1，和和 分别表示模分别表示模n 的加法和乘法，

11、的加法和乘法，x,yZn，x y=(xy)modn，x y=(xy)modn也是代数系统，也是代数系统，和和为并和交，为并和交，为绝对补为绝对补22v5.1群的定义与性质群的定义与性质v5.2子群子群v5.3循环群循环群v5.4置换群置换群第5章 群235.1 群的定义及性质v群的定义群的定义v群中的相关概念群中的相关概念有限群、无限群与群的阶有限群、无限群与群的阶Abel群群群中元素的幂群中元素的幂元素的阶元素的阶v群的性质群的性质幂运算规则、幂运算规则、群方程的解群方程的解消去律消去律群的运算表的排列群的运算表的排列24群的定义定义定义设设G是非空集合，是非空集合，为为G上的二元运算上的二

12、元运算.如果如果(1)此运算是封此运算是封闭的；的；（2）此运算）此运算满足足结合律；合律；（3）存在单位元存在单位元eG，即对任意，即对任意x G，有有 e x=x e =x（4）对）对G 中的任何元素中的任何元素x 都有都有x 1G，即，即 x 1 x=x x 1 =e则称则称G 关于关于 是是群群.有时也记作有时也记作25群的实例群的实例(1),是群；是群；,不是群不是群.(2)是群，而是群，而不是群不是群.(3)是群是群.Zn=0,1,n 1，为模为模 n 加加.26Klein四元群设设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，上的运算由下表给出，称为称为Klein四元群四元群 e a

13、 b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 运算表特征：运算表特征：对称性对称性-运算可交换运算可交换 主对角线元素都是幺元主对角线元素都是幺元 -每个元素是自己的逆元每个元素是自己的逆元 a,b,c 中任两个元素运算中任两个元素运算 都等于第三个元素都等于第三个元素.27二、群中的相关概念若群若群G 是有穷集，则称是有穷集，则称G 是是有限群有限群，否则称为，否则称为无限群无限群.群群G 的所含元素的个数称为群的所含元素的个数称为群G的的阶阶有限群有限群G 的阶记作的阶记作|G|.若群若群G中的二元运算是可交换的，则称中的二元运算是可交换的，则称

14、G为为交换交换群群或或阿贝尔阿贝尔(Abel)群群.28实例和和是无限群是无限群是有限群，也是是有限群，也是n 阶群阶群Klein四元群四元群 G=e,a,b,c是是4阶群阶群上述群都是交换群上述群都是交换群n 阶阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群是非交换群.29 实例实例在在中有中有2 3=(2 1)3=13=1 1 1=0在在中有中有(2)3=23=2+2+2=6定义定义设设G是群，是群，xG，nZ，则，则x 的的n 次幂次幂xn 定义为定义为二、群中的相关概念30设设G是群，是群，xG，使得等式，使得等式xk=e 成立的最小正成立的最

15、小正整数整数k 称为称为x 的的阶（或周期）阶（或周期），记作，记作|x|=k，称，称x为为k 阶元阶元.若不存在这样的正整数若不存在这样的正整数k，则称，则称x 为为无限阶元无限阶元.在在中，中，2和和4是是3阶元，阶元，3是是2阶元，阶元，1和和5是是6阶元，阶元，0是是1阶元阶元在在中，中，0是是1阶元，其它整数的阶都不存在阶元，其它整数的阶都不存在.二、群中的相关概念31三、群的性质-幂运算规则定理定理1设设G 为群为群,则则G 中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1)xG，(x 1)1=x.(2)x,yG，(xy)1=y 1x 1.(3)xG，xnxm=xn+m，n,mZ.(4)xG，

16、(xn)m=xnm，n,mZ.注：注：(xy)n=(xy)(xy)(xy),是是n 个个xy 运算，运算，G为为交换群，才有交换群，才有(xy)n=xnyn.32三、群的性质-群方程存在唯一解定理定理2G为群，为群，a,bG，方程，方程ax=b 和和ya=b 在在G中有解且仅有惟一解中有解且仅有惟一解.a 1b 是是ax=b的解的解.ba 1是是ya=b 的唯一解的唯一解.33三、群的性质-消去律定理定理3G 为群，则为群，则G适合消去律，即适合消去律，即 a,b,cG有有(1)若若ab=ac，则，则b=c.(2)若若ba=ca，则，则b=c.34三、群的性质-运算表排列规则定理定理4 设设

17、G 为有限群，则为有限群，则 G 的运算表中每行每列的运算表中每行每列都是都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列）中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同的置换都不相同.注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.a b c d a b c d b c d a b a c d c d b a d b a c a b c d a b c d a b c d c d a b b c d a d a b c 35v5.1群的定义与性质群的定义与性质v5.2子群子群v5.3循环群循环群v5.4置换群置换群第5章 群36子群子群v定义定义v子群的判定

18、定理子群的判定定理v重要的几类子群重要的几类子群37子群的定义定义定义设设G 是群，是群，H 是是G 的非空子集，如果的非空子集，如果H 关关于于G 中的运算构成群，则称中的运算构成群，则称H 是是G 的的子群子群,记作记作HG.若若H 是是G 的子群，且的子群，且H G，则称，则称H 是是G 的的真子群真子群，记作，记作HG.实例实例nZ（n是自然数）是整数加群是自然数）是整数加群的的子群子群.当当n1时时,nZ 是是 Z 的真子群的真子群.对任何群对任何群G 都存在子群都存在子群.G 和和e都是都是G 的的子群，称为子群，称为G 的的平凡子群平凡子群.38子群判定定理判定定理1设G 为群，

19、H 是G 的非空子集.H 是G 的子群当且仅当 x,yH 有有xy 1H.判定定理2设G 为群，H 是G 的非空子集.H 是G 的子群当且仅当 x,yH 有有xyH且且x 1H.39重要子群生成子群生成子群定义定义设设G 为群，为群，aG，令，令 H=ak|kZ，则则H 是是G 的子群，称为的子群，称为由由a 生成的子群，记作生成的子群，记作.证证首先由首先由a知道知道.任取任取am,al，则，则am(al)1=am a l=am l根据判定定理可知根据判定定理可知G.40实例整数加群整数加群，由由2生成的子群是生成的子群是=2k|kZ=2Z模模6加群加群中中由由2生成的子群生成的子群=0,2

20、,4Klein四元群四元群G=e,a,b,c 的所有生成子群是：的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c.41群G的中心C 设G 为群,令C=a|aG且xG有ax=xa，则C 是G 的子群，称为G 的中心.证eC.C是G 的非空子集.任取a,bC，证明ab1与G 中所有的元素都可交换.xG，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知CG.重要子群（续）42v5.1群的定义与性质群的定义与性质v5.2子群子群v5.3循环群循环群v5.4置换群置换群第5章 群43循环群循环群v定义定义

21、v循环群的分类循环群的分类v生成元生成元v循环群的子群循环群的子群44循环群的定义定义定义设设G 是群，若存在是群，若存在aG 使得使得G=ak|kZ 则称则称G 是是循环群循环群，记作，记作G=，称，称a 为为G 的的生成生成元元.实例实例整数加群整数加群G=模模 6加群加群G=45循环群的分类设设循环群循环群 G=，根据生成元，根据生成元a 的阶可以分的阶可以分成两类：成两类：n 阶循环群和无限循环群阶循环群和无限循环群.设设G=是循环群，若是循环群，若a 是是n 阶元，则阶元，则G=a0=e,a1,a2,an 1那么那么|G|=n，称，称G 为为n 阶循环群阶循环群.若若a 是无限阶元，

22、则是无限阶元，则G=a0=e,a1,a2,这时称这时称G 为为无限循环群无限循环群.46循环群的生成元定理定理设设G=是循环群是循环群.(1)若若G是无限循环群，则是无限循环群，则G 只有只有a 和和a 1两个生成元两个生成元.(2)若若G 是是n 阶循环群，则阶循环群，则ar 是是G 的生成元当且仅当的生成元当且仅当r 是小于等于是小于等于n 且与且与n 互质的正整数互质的正整数.47(1)设设G=e,a,a11是是12阶循环群，阶循环群，则小于或等于则小于或等于12且与且与12互素的数是互素的数是1,5,7,11,由定理可知由定理可知a，a5，a7和和a11是是G 的生成元的生成元.(2)

23、设设G=是模是模9的整数加群，的整数加群，则小于或等于则小于或等于9且与且与9互素的数是互素的数是1,2,4,5,7,8.根据定理，根据定理，G的生成元是的生成元是1,2,4,5,7和和8.(3)设设G=3Z=3z|zZ,G上的运算是普通加法上的运算是普通加法.那么那么G只有两个生成元：只有两个生成元：3和和 3.生成元的实例48循环群的子群定理定理设设G=是循环群是循环群.(1)设设G=是循环群，则是循环群，则G 的子群仍是循环群的子群仍是循环群.(2)若若G=是无限循环群，则是无限循环群，则G 的子群除的子群除e以外都是无限以外都是无限循环群循环群.(3)若若G=是是n 阶循环群，则对阶循

24、环群，则对n 的每个正因子的每个正因子d，G 恰好含有一个恰好含有一个d 阶子群阶子群.49（1）G=是无限循环群，对于自然数是无限循环群，对于自然数mN，1的的m 次幂次幂是是m，m 生成的子群是生成的子群是mZ，mN.即即=0=0Z=mz|zZ=mZ，m0(2)G=Z12是是12阶循环群阶循环群.12的正因子是的正因子是1,2,3,4,6和和12，因此因此G 的子群是：的子群是：1阶子群阶子群=0，2阶子群阶子群=0,63阶子群阶子群=0,4,8，4阶子群阶子群=0,3,6,96阶子群阶子群=0,2,4,6,8,10，12阶子群阶子群=Z12子群的实例50v5.1群的定义与性质群的定义与性

25、质v5.2子群子群v5.3循环群循环群v5.4置换群置换群第5章 群51置换群置换群v置换及置换的表示置换及置换的表示vN次对称群次对称群52n元置换的定义定义定义设设S=1,2,n,S上的双射函数上的双射函数:SS 称为称为S上的上的n元置换元置换.一般将一般将n 元置换元置换记为记为例如例如S=1,2,3,4,5,则则都是都是5元置换元置换.53n元置换的表示v置换符号表示置换符号表示 v轮换表示轮换表示v对换表示对换表示54k 阶轮换与对换定义定义设设是是S=1,2,n上的上的n 元置换元置换.若若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik 1)=ik,(ik)=i1且保持且保持S 中的其他

26、元素不变，则称中的其他元素不变，则称为为S上的上的k 次轮换次轮换，记，记作作(i1i2ik).若若k=2，称，称为为S上的上的对换对换.例如例如5元置换元置换分别是分别是5阶和阶和2阶轮换阶轮换=(12345),=(13),其中其中也叫做对换也叫做对换55n元置换分解为轮换设设S=1,2,n，对于任何，对于任何S 上的上的n 元置换元置换，一一定可以写成若干个轮换的乘积定可以写成若干个轮换的乘积=12t 56分解实例例例设设S=1,2,8,=(15236)(4)(78)=(15236)(78)=(18342)(567)注意：在轮换分解式中，注意：在轮换分解式中，1阶轮换可以省略阶轮换可以省略

27、.57n元置换的乘法与求逆两个两个n 元置换的元置换的乘法乘法就是函数的复合运算就是函数的复合运算n元置换的求元置换的求逆逆就是求反函数就是求反函数.例例设设使用轮换表示是：使用轮换表示是：=(154)(23)(1423)=(152)=(1423)(154)(23)=(354)-1=(154)-1(23)-1=(451)(23)=(145)(23)58n元置换群及其实例考虑所有的考虑所有的n 元置换构成的集合元置换构成的集合Sn （1）Sn关于置换的乘法是封闭的关于置换的乘法是封闭的.（2）置换的乘法满足结合律）置换的乘法满足结合律.（3）恒等置换）恒等置换(1)是是Sn 中的单位元中的单位元

28、.（4）对于任何）对于任何n元置换元置换Sn，逆置换，逆置换 1是是的逆元的逆元.这就这就证明了证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为关于置换的乘法构成一个群，称为n次对称群次对称群.n元对称群的子群称为元对称群的子群称为n次置换群次置换群.例设S=1,2,3，3次对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)59S3 的运算表(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)

29、(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)60S3的子群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)，A3=(1),(123),(132)，=(1)=(1),(12),=(1),(13),=(1),(23)61第6章 环与域v环的定义与实例环的定义与实例v特殊的环特殊的环 交换环交换环 含幺环含幺环 无零因子环无零因子环 整环整环 域域 62环的定义定义定义 设设是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果满足以下条件如果满足以下条件:（1）构成

30、交换群构成交换群（2）构成半群（封闭，结合律）构成半群（封闭，结合律）（3）运算关于运算关于+运算适合分配律运算适合分配律则称则称是一个是一个环环.63环的实例 (1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为通的加法和乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有有理数环理数环Q，实数环实数环R和和复数环复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加关于矩阵的加法和乘法构成环，称为法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)设设Zn0,1,.,n1，和和 分别表示模分别表示模n的的加法和乘法，则加法和

31、乘法，则构成环，称为构成环，称为模模n的整的整数环数环.64环中的相关概念通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.环中加法单位元记作环中加法单位元记作0乘法单位元（如果存在）记作乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素对任何元素x，称，称x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x.若若x 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.65特殊的环定义定义 设设是环，是环，(1)若环中乘法若环中乘法适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环.(2)若环中乘法若环中乘法存在单位元，则称存在单位元，则称R是

32、是含幺环含幺环.(3)若若 a,bR，a b=0a=0或或b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环.(4)若若R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R 是是整环整环.(5)若若R为整环，为整环，|R|1,且且 a R*=R 0，a 1 R,则称则称R 为为域域.66 零因子的定义与存在条件设设是环，若存在是环，若存在ab=0,且且a 0,b 0,称称a 为左零因子，为左零因子，b为右零因子，环为右零因子，环R 不是无零因子环不是无零因子环.实例实例，其中，其中2 3=0，2和和3都是零因子都是零因子.无零因子环的条件：无零因子环的条件：可以证明

33、：可以证明：ab=0a=0或或b=0消去律消去律67特殊环的实例(1)整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交换环、都是交换环、含幺环、无零因子环和整环含幺环、无零因子环和整环.其中除其中除Z之外都是域之外都是域(2)令令2Z=2z|zZ，则，则构成交换环和无零因子环构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3)设设n Z,n 2,则则n 阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环也不是整环.(4)构成

34、环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环环和整环.注意：对于一般的注意：对于一般的n,Zn是整环且是域是整环且是域n是素数是素数.68例题判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.(1)A=a+bi|a,b Q,i2=1,运算为复数加法和乘法运算为复数加法和乘法.(2)A=2z+1|z Z,运算为普通加法和乘法运算为普通加法和乘法(3)A=2z|z Z,运算为普通加法和乘法运算为普通加法和乘法(4)A=x|x0 x Z,运算为普通加法和乘法运算为普通加法和乘法.(5)，运算为普通加法和乘法，运算为普通加法和乘法解解(2),(4),(5)不是环不是环.为什么？为什么？(1)是环是环,是整环是整环,也是域也是域.(3)是环是环,不是整环和域不是整环和域.