平面及其方程三版.ppt

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1、第四节第四节平面及其方程平面及其方程点的轨迹点的轨迹.方程的概念方程的概念平面的点法式方程平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程两平面的夹角两平面的夹角一、点的轨迹一、点的轨迹.方程的概念方程的概念平面解析几何把平面曲线当作点的轨迹，平面解析几何把平面曲线当作点的轨迹，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹。点的几何轨迹。水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：曲面方程的概念曲面方程的概念以下

2、给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解例例4 4方程方程的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为

3、点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点解解取取所

4、求平面方程为所求平面方程为化简得化简得由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量三、平面的一般方程三、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过轴；轴；平面平行于平面平行于轴；轴；平面平行于平面平行于坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论情形情形.类似地可讨论类似地可讨论情形情形.下表给出几种平面的特殊情况：下表给出几种平面的特殊情况：条件例子特点条件例子特点1D=0 Ax+By+Cz=0 平面过原点平面过原点2A，B，C中有一个为中有一个为0 Ax+Cz+D=0 平面与平面与y

5、轴平行轴平行 Ax+Cz=0 平面过平面过y轴轴3A，B，C中有二个为中有二个为0 Ax+D=0 平面平行于平面平行于yoz坐标面坐标面 Ax=0 平面即为平面即为yoz坐标面坐标面取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为

6、所求平面方程为定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.四、两平面的夹角四、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例6 6研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.解解点到平面距离公式点到平面距离公式平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）五、小结五、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练习习题题练习题答案练习题答案