工业机器人运动学-3逆运动学.ppt

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1、第三章第三章 工业机器人的运动学工业机器人的运动学-3主要内容主要内容 u 数学基础数学基础齐次坐标变换齐次坐标变换u 机器人运动学方程的建立（正运动学）机器人运动学方程的建立（正运动学）u 机器人逆运动学分析（逆运动学）机器人逆运动学分析（逆运动学）三、逆运动学方程三、逆运动学方程（Inverse Kinematic Equations）3.1引言3.2逆运动学方程的解3.3斯坦福机械手的逆运动学解3.4欧拉变换的逆运动学解3.5RPY变换的逆运动学解3.6球坐标变换的逆运动学解3.7本章小结3.1 3.1 引言引言 (Introduction)所谓逆运动学方程的解，就是已知机械手直角坐标空

2、间的位姿（pose）T6，求出各节变量nordn。T6=A1A2A3A4A5A6（3.1）逆运动学方程解的步骤如下：（1）根据机械手关节坐标设置确定AnAn为关节坐标的齐次坐标变换，由关节变量和参数确定。关节变量和参数有：an连杆长度;n连杆扭转角;dn相邻两连杆的距离;n相邻两连杆的夹角。对于旋转关节n为关节变量，而对于滑动关节dn为关节变量。其余为连杆参数，由机械手的几何尺寸和组合形态决定。（2）根据任务确定机械手的位姿T6T6为机械手末端在直角坐标系（参考坐标或基坐标）中的位姿，由任务确定，即式（2.37）给出的表达式T6=Z-1XE-1确定。它是由三个平移分量构成的平移矢量P（确定空间

3、位置）和三个旋转矢量n，o，a（确定姿态）组成的齐次变换矩阵描述。（3）由T6和An（n1，2，6）和式（4.1）求出相应的关节变量n或dn。3.2 逆运动学方程的解（逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations）根据式（3.1）T6=A1A2A3A4A5A6分别用An（n1，2，5）的逆左乘式（3.1）有A1-1T6=1T6(1T6=A2A3A4A5A6)（3.2）A2-1A1-1T6=2T6(2T6=A3A4A5A6)（3.3）A3-1A2-1A1-1T6=3T6(3T6=A4A5A6)（3.4）A4-1A3-1A2-1A1-1T6=4T6(4T

4、6=A5A6)（3.5）A5-1A4-1A3-1A2-1A1-1T6=5T6(5T6=A6)（3.6）根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可求出关节变量n或dn。3.3 斯坦福机械手的逆运动学解斯坦福机械手的逆运动学解 （Inverse solution of Stanford manipulator）在第三章我们推导出StanfordManipulator的运动方程和各关节齐次变换式。下面应用式（3.2）（3.6）进行求解：这里 f11=C1 xS1 y(3.10)f12=-z(3.11)f13=-S1 xC1 y(3.12)其中 x=nxoxaxpxT，y=ny

5、oyaypyT，z=nzozazpzT由前节得到的斯坦福机械手运动学方程式（2.48）为C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S61T6=S4C5C6+C4C6-S4C5S6+C4C600C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（3.13）01比较式（3.9）和式（3.13）矩阵中的第三行第四列元素相等得到 f13（p）=d2（3.14）或 -S1 pxC1py=d2（3.15）令 px=r cos （3.16）py=r s

6、in （3.17）其中 （3.18）（3.19）将式（3.16）和式（3.17）代入式（3.15）有 sincon1consin1 d2/r （0 d2/r 1）（3.20）由式（3.20）可得 sin(1)d2/r （0 1 ）（3.21）con(1)（3.22）这里号表示机械手是右肩结构（）还是左肩结构（）。由式（3.21）、（3.22）和（3.18）可得到第一个关节变量1的值（3.23）根据同样的方法，利用式（3.9）和式（3.13）矩阵元素相等建立的相关的方程组，可得到其它各关节变量如下：（3.24）（3.25）（3.26）（3.27）（3.28）注意：l在求解关节变量过程中如出现反正

7、切函数的分子和分母太小，则计算结果误差会很大，此时应重新选择矩阵元素建立新的方程组再进行计算，直到获得满意的结果为止。同样，如果计算结果超出了机械手关节的运动范围，也要重新计算，直到符合机械手关节的运动范围。l由于机械手各关节变量的相互耦合，后面计算的关节变量与前面的关节变量有关，因此当前面关节变量的计算结果发生变化时，后面关节变量计算的结果也会发生变化，所以逆运动方程的解不是唯一的，我们应该根据机械手的组合形态和各关节的运动范围，经过多次反覆计算，从中选择一组合理解。由此可见，求解机械手的逆运动方程是一个十分复杂的过程。3.4 3.4 欧拉变换的逆运动学解欧拉变换的逆运动学解 （Invers

8、e solution of Inverse solution of Euler Angles ）由前节知欧拉变换为Euler(,)Rot(z,)Rot(y,)Rot(z,)（3.29）我们用T来表示欧拉变换的结果，即TEuler(,)（3.30）或TRot(z,)Rot(y,)Rot(z,)（3.31）其中（3.32）（3.33）比较式（3.32）和式（3.33）有（3.34）（3.35）（3.36）（3.37）（3.38）（3.39）（3.40）（3.41）（3.42）由式（3.42）可解出角（3.43）由式（3.40）和式（3.43）可解出角（3.44）由式（3.36）和式（3.43）可解

9、出角（3.45）这 里 需 要 指 出 的 是，在 我 们 采 用 式（3.43）式（3.45）来计算、时都是采用反余弦函数，而且式（3.43）和式（3.45）的分母为sin，这会带来如下问题：1）由于绝对值相同的正负角度的余弦相等，如coscos（-），因此不能确定反余弦的结果是在那个象限；2）当sin接近于0时，由式（3.43）和式（3.45）所求出的角度和是不精确的；3）当0或180时，式（3.43）和式（3.45）无数值解。为此，我们必须寻求更为合理的求解方法。由三角函数的知识我们知道，反正切函数tan1（x/y）所在的象限空间可由自变量的分子和分母的符号确定（如图3.1所示），因此如

10、果我们得到欧拉角的正切表达式，就不难确定欧拉角所在的象限。为此，我们采用前节的方法，用Rot(z,)1左乘式（3.31）有Rot1(z,)TRot(y,)Rot(z,)（3.46）yxyyxyxxyx图3.1正切函数所在象限即（3.47）将上式写成如下形式（3.48）式中（3.49）（3.50）（3.51）同样，上面三个式子中的x、y、z分别表示n、o、a、p矢量的各个分量，如（3.52）比较式（3.48）等号两边矩阵的第2行第3列元素可知（3.63）即（3.54）由此可得到（3.55）或（3.56）结果得到（3.57）或（3.58）上述结果相差180，可根据实际系统的组合形态从中选择一个合理

11、解。如果ay和ax都为0，则式（3.57）和式（3.58）无定义，这是一种退化现象，此时值可任意设置，如0。由于角已求出，比较式（3.48）等号两边矩阵第1行第3列和第3行第3列元素相等有（3.59）（3.60）或（3.61）（3.62）由此可得（3.63）同样比较式（3.48）等号两边矩阵的第2行第1列和第2行第2列元素可知（3.64）（3.65）或（3.66）（3.67）由此可得（3.68）至此，我们求出了欧拉变换的逆运动学解。3.5 RPY变换的逆运动学解变换的逆运动学解（Inverse solution of Inverse solution of RPY）第三章介绍的摇摆、俯仰和偏转

12、(RPY)变换的表达式如下T=RPY(,)Rot(z,)Rot(y,)Rot(x,)（3.69）用Rot1(z,)左乘上式得到Rot1(z,)TRot(y,)Rot(x,)（3.70）将上式写成式（3.48）的形式（3.71）式中（3.72）（3.73）（3.74）由式（3.71）等号两边矩阵的第2行第1列元素相等有（3.75）由此得到（3.76）或（3.77）角已求出，根据式（3.71）等号两边矩阵的第3行第1列和第1行第1列元素相等有（3.78）（3.79）由此可得（3.80）进一步比较式（3.71）等号两边矩阵元素，由第2行第3列和第2行第2列元素相等有（3.81）（3.82）由此可得（

13、3.83）至此，我们求出了RPY的逆运动学解。3.6 球坐标变换的逆运动学解球坐标变换的逆运动学解 （Inverse solution of Inverse solution of Spherical Coordinates）前节介绍的球坐标变换的表达式如下T=Sph(,)=Rot(z,)Rot(y,)Trans(0,0,)（3.84）用Rot1(z,)左乘上式得到Rot1(z,)T=Rot(y,)Trans(0,0,)（3.85）将上列矩阵方程的第4列元素写出有（3.86）由上式第2行元素相等有（3.87）由式（3.87）可得到（3.88）或（3.89）由式（3.86）第1行和第3行元素相等

14、有（3.90）（3.91）由此可得（3.92）为了获得平移量，我们用Rot1(y,)左乘式（3.85）Rot1(y,)Rot1(z,)T=Trans(0,0,)（3.93）上式第4列元素是（3.94）由上式第3行元素相等得到（3.95）至此，我们求出了球坐标变换的逆运动学解。3.7 3.7 本章小结（本章小结（SummarySummary）l解逆运动方程是应用齐次坐标变换原理，从机器人末端执行器的直角坐标空间到关节坐标的变换（T6 n、dn），它是求解正运动方程的逆过程（n、dn T6），是机器人运动学的重要内容，是机器人控制的依据。l要注意的是正运动方程的解是唯一解，而逆运动方程的解不是唯一解，因此选择合理解是解逆运动方程的一项重要内容。