概率论与统计学34章.ppt

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1、Ch3-1103.4 3.4 二维二维 r.v.函数的分布函数的分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,g(x,y)为已知的二元函数,转化为(X,Y)的事件 3.4问题方法求 Z=g(X,Y)的概率分布Ch3-111当(X,Y)为离散r.v.时,Z 也离散当(X,Y)为连续r.v.时，其中Ch3-112的几何意义：DzCh3-113例例1 1 设二维r.v.(X,Y)的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 0求的概率分布离散型二维离散型二维 r.v.的函数的函数离散型Ch3-114解解 根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0

2、)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0Ch3-115故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX-Y-1 0 1 2 3Ch3-116PX Y-2 -1 0 1 PY/X-1 -1/2 0 1Ch3-117q 设 X B(n1,p),Y B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布q 设 X P(1),Y P(2),且独立，可加性则 X+Y B(n1+n2,p)则 X+Y P(1+2)Ch3-118X P(1),Y P(2),则Z=X+Y 的可能取值为 0,1,2,Poisso

3、n分布可加性的证明分布可加性的证明Ch3-119问题 已知r.v.(X,Y)的d.f.数，g(x,y)为已知的二元函数，求 Z=g(X,Y)的d.f.方法q 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为(X,Y)的事件q 建立新的二维r.v.(Z,X)或(Z,Y),求其边缘分布得Z 的d.f.二维连续二维连续r.v.函数的分布函数的分布连续型Ch3-120(1)和的分布：和的分布：Z=X+Y 设(X,Y)的联合d.f.为 f(x,y),则 zzx+y=z或Ch3-121特别地，若X,Y 相互独立，则或或称之为函数 f X(z)与 f Y(z)的卷积 Ch3-122例例2 2已知(X,Y)的

4、联合 d.f.为Z=X+Y,求 f Z(z)解法一解法一 （图形定限法）由公式（1）例3Ch3-123zxz=xz=2xx=112当 z 2,zzzz当 0 z 1,当 1 z 2,f Z(z)=0Ch3-124这比用分布函数做简便Ch3-125解法二解法二 （不等式组定限法）考虑被积函数取非零值的区域令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0，1，2当 或 时不等式组 无解当 时不等式组 解为当 时不等式组 解为Ch3-126Ch3-127 正态随机变量的结论q 若X,Y 相互独立,则q 若(X,Y)则 若相互独立则推广推广Ch3-128另一种计算 f Z(z)的方法q 构造一个新的二

5、维 r.v.(Z,V),q 求(Z,V )的联合 d.f.f(z,v)q 求边缘密度 f Z(z)另法其中随机变量代换法Ch3-129设存在唯一的反函数：h,s 有连续的偏导数,则已知(X,Y)的联合 d.f.f XY(x,y)求(Z,V)的 p.d.f.f ZV(z,v)的公式记Ch3-130证Ch3-131例如 已知(X,Y)的联合d.f.f(x,y)，Z=X/Y,求 f Z(z)令(2)商的分布：商的分布：Z=X/Y Ch3-132例例3 3 已知(X,Y)的联合分布函数为求Z=X/Y 的 p.d.f.解解例4Ch3-133Ch3-134(3)极值分布：即极大极值分布：即极大(小小)值的

6、分布值的分布离散随机变量的极值分布可直接计算仅就独立情形讨论极值分布Ch3-135maxX,Y P1 00.75 0.25 例例4 X,Y 相互独立,都服从参数为 0.5 的0-1分布.求 M=maxX,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25例5Ch3-136设连续随机变量X,Y 相互独立独立,X FX(x),Y FY(y),M=maxX,Y,N=minX,Y,求 M,N 的分布函数.Ch3-137Ch3-138推广推广相互独立，且设则Ch3-139例例5 5 系统 L 由相互独立的 n 个元件组(4)L 为 n 个取 k 个的表决系统 (即 n 个元件

7、中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时，系统 L 才正常工作).例6(3)冷贮备 (起初由一个元件工作,其它 n 1 个元件做冷贮备,当工作元件失效时,贮备的元件逐个地自动替换)；成,其连接方式为 (1)串联;(2)并联；Ch3-140若 n 个元件寿命分别为且求在以上 4 种组成方式下,系统 L 的寿命 X 的 d.f.解解Ch3-141(1)Ch3-142(2)Ch3-143(3)n=2 时，txx=tCh3-144可证,X 1+X 2 与 X 3 也相互独立,故Ch3-145归纳地可以证明，Ch3-146(4)Ch3-147Ch3-148Ch3-149第第8 8周周 问问 题题设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立，且相互独立，且求随机变量求随机变量 的概率密度的概率密度 函数函数 每周一题9