工程数学复习-概率统计.ppt
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1、集合常用公式事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系:包含、相等、对立、互不相容;四种运算:和、积、差、逆;四个运算法则:交换律、结合律、分配律、对偶律。例1:袋中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任取一张,设事件为“抽得一张标号不大于的卡片”,事件为“抽得一张标号为偶数的卡片”,事件为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:,-,-,()解:将,表示集合形式为,所以 ,(),;-,-,例例2:2:A,B,C,D四个事件,用运算关系表示:(1)A,B,C,D至少有一个发生;(2)都不发生;(3)都发生;(4)A,B,C,D恰有一个发生;(5)至多一个发
2、生。解:(1)ABCD或(2)或(3)ABCD或(4)(5)古典概率 若A为试验E的一事件,试验E的样本空间为,且A含有k个样本点则事件A的概率就是二、古典概率二、古典概率例2:取球问题 一袋中共有10个球,6白,4红,采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出3个球,试求两种方式下这3个球中 1)全为白球;2)恰含1个白2个红的概率。将古典概率的方法引申一下,便得到确定概率的“几何方法”。满足下列条件的试验,称为“几何概型”:(1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域;(2)样本点在其上是均匀分布的。定义定义:在几何概型中,若样本空间所对应区域的度量为L()(),且事件A的度
3、量为L(A),则A的概率为这里L(),可代表图形的长度,面积或体积等。三、几何概型三、几何概型 例4:在0,2区间内任取两个数x和y,问“x+y1的概率为多少?解:由题意知 0 x20 x2,0y20y2,设x+y1为事件A,样本空间和事件A分别可表示为:=(x,yx,y)|0 x2,0y2|0 x2,0y2 A=(x,y)|x+y1,(x,y)A=(x,y)|x+y1,(x,y)P(A)=红色区域面积红色区域面积/正方形面积正方形面积 =3.5/4=0.875yx22x+y=10四四.概率的性质概率的性质(1)P()=0,P()=1,(3)(4)若A B,则P(B-A)=P(B)-P(A),
4、P(B)P(A).(2)(5)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).例6:设P(A)=1/3,P(B)=1/2,(1)若事件A,B互不相容,求P(BA);(2)若A真包含于B,求P(BA);(3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。解:(1)若A,B互不相容,则 P(BA)=P(B)=1/2;(2)若A真包含于B,则因为BA=B-A,从而 P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6;(3)利用BA=B-A=B-AB,得:P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/8=3/8.1 1定义定义:设A,B是某一试验的两事件,且P(B)(B)0,称为在
5、事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.一、条件概率一、条件概率1.1.乘法公式乘法公式 由条件概率定义,若P(B)0,则P(AB)=P(A|B)P(B)若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A)上述公式可推广到任意有限多个事件时的情形,例如,设A,B,C为事件,且P(AB)(AB)0,则 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)这里,注意到由假设P(AB)0可推得P(A)P(AB)0.一般,设A1,A2,An为n个事件,n2,且P(A1A2An-1)0,则有:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1)二、关于条件概
6、率的三个公式二、关于条件概率的三个公式例1.盒中5个白球,2个黑球,连续不放回地取3次球,求第三次才取得黑球的概率。解:设Ai表示第 i 次取到黑球 设试验E的样本空间为,A为E的事件,B1,B2,Bn为的一个划分,且P(Bi)0(i=1,2,n)则 P(A)=P(A|BP(A)=P(A|B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A|B)+P(A|B2 2)P(B)P(B2 2)+P(A|B)+P(A|Bn n)P(B)P(Bn n)称为全概率公式。2.2.全概率公式全概率公式定理:设试验E的样本空间为,A为E的事件,B1,B2,Bn为的一个划分,且P(A)0,P(Bi i)0(i=1,2,n),
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- 工程 数学 复习 概率 统计
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