概率论与数理统计JA(48,29-30).ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 数学期望数学期望 2 方差方差 3 几种重要随机变量的数学几种重要随机变量的数学 期望和方差期望和方差 4 协方差及相关系数协方差及相关系数 5 矩矩数学期望的定义数学期望的定义随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质 1 数学期望数学期望第四章 随机变量的数字特征第四章 随机变量的数字特征1 数学期望返回主目录例例1解：解：平均成绩为：平均成绩为：若用若用X表示成绩，则表示成绩，则数学期望的提出：数学期望的提出：(1)去掉最高、低分的启示去掉最高、低分的启示 算术平均数算术平均数是最常用的技巧，平均数作为

2、衡量标是最常用的技巧，平均数作为衡量标准科学合理吗？准科学合理吗？班级有班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得个学生，其中两个学生数学考试只得2分分和和10分。此外，有分。此外，有5个学生得个学生得90分，分，22个得个得80分，分，1个得个得78分。此时该班数学成绩的平均分是：分。此时该班数学成绩的平均分是：确实，确实，该结果不能反映多数人的真实状况该结果不能反映多数人的真实状况(80分左分左右合理）。去掉一个最低分，总平均约是右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分，分，去掉两个最低分，总平均则是去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较分。这似乎比较符合实际了。符合实际了

3、。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望 演员竞赛：演员表演完后，先由演员竞赛：演员表演完后，先由10个（或若干个）个（或若干个）评委亮分，裁判长总要评委亮分，裁判长总要去掉最高分和最低分去掉最高分和最低分，再用其，再用其余的余的8个数据的个数据的平均值平均值作为最后得分。作为最后得分。算术平均数算术平均数有两个缺点有两个缺点：受异常值的影响；计算：受异常值的影响；计算比较复杂（不能一眼看出）。比较复杂（不能一眼看出）。去掉最高分或最低分，有去掉最高分或最低分，有“弄虚作假弄虚作假”之嫌，不见得之嫌，不见得都合适。都合适。平均数就是中等水平平均数就是中等水平-是不合适的。是不合适的。上述上述3

4、0个学生的数学成绩中，总平均是个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。分。某某同同学学得得78分分，超超过过平平均均数数，似似乎乎该该是是“中中上上”水水平平了，其实他是倒数第三名！了，其实他是倒数第三名！第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例:在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。例如：打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90(按顺序排列按顺序排列)给分是当中两项的平均值：给分是当中两项的平均值：9.4 。这样给分规定，避免了过高分数这样给分规定，避免了过高分数9.90的影响，同时的影响，同时9.40分处于四个裁判分的分处于四个

5、裁判分的中间位数中间位数，不偏不倚，十，不偏不倚，十分公正。分公正。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望怎样刻划怎样刻划“中等水平中等水平”呢？呢？-中位数。中位数。例：例：上面的上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第个学生的数学成绩依大小排列后，第15位和位和16位都是位都是80分，所以分，所以中位数是中位数是80分分。那么。那么78分分低于此数，当然是低于此数，当然是中下水平中下水平无疑了。无疑了。众数众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据。数最多的那个数据。比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：比如，美国某厂职工的月工资

6、数统计如下：月工资数（美元）月工资数（美元）得此工资的人数得此工资的人数 10000 1（总经理）（总经理）8000 2（副总经理）（副总经理）5000 2（助理）（助理）2000 5 1000 12 900 18 800 23 700 5 500 2第四章 随机变量的数字特征1 数学期望 如何来选取该厂的月工资代表数呢？如何来选取该厂的月工资代表数呢？经计算，平均值为经计算，平均值为1387美元，中位数为美元，中位数为900美元，众美元，众数为数为800美元。美元。工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用工资来提高平均数

7、，故采用1387美元。美元。工会领导人则不同意，主张用众数工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职美元（职工中以拿每月工中以拿每月800美元的人最多）。美元的人最多）。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策。对策。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望(2)“伟大的伟大的”期望值期望值例如，例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险大但利润高（成功的概率为大但利润高（成功的概率为0.7，获利，获利2000元）；元）；如

8、经营工艺品，风险小但获利小（如经营工艺品，风险小但获利小（95会赚，但会赚，但利润为利润为1000元）。元）。究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西瓜，期望值瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品元。而经营工艺品为为E2=0.95*l000=950元。元。所以权衡下来，情愿所以权衡下来，情愿“搏一记搏一记”，去经营西瓜，去经营西瓜，因它的期望值高。因它的期望值高。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望再举一个用期望值进行再举一个用期望值进行决策决策的例子。的例子。某投资者有某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股万元，有两种投

9、资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势：形势好买股票的收益取决于经济形势：形势好(获利获利40000元元)、形势中等、形势中等(获利获利10000元元)、形势不好、形势不好(损失损失20000元元)。如果是存入银行如果是存入银行(年利率为年利率为8)，即可得利息，即可得利息8000元。元。又设经济形势好、中、差的概率分别为又设经济形势好、中、差的概率分别为30、50和和20。试问应选择哪一种方案？试问应选择哪一种方案？第四章 随机变量的数字特征1 数学期望下面给出采用期望标准的解法。下面给出采用期望标准的解法。（“获利获利”看成随机变量

10、）看成随机变量）买股票和存银行的期望值分别为买股票和存银行的期望值分别为第四章 随机变量的数字特征1 数学期望按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。所以应采用购买股票的方案。一、数学期望定义一、数学期望定义1）离散型离散型第四章 随机变量的数字特征1 数学期望设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为：的分布律为：若级数若级数 绝对收敛，则称随机变量绝对收敛，则称随机变量 X 的数的数学期望存在，记作学期望存在，记作 EX，且且数学期望也称为数学期望也称为均值均值。2）连续型）连续型第四章

11、 随机变量的数字特征1 数学期望设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，若积分若积分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分的值为的值为X的数学期望。的数学期望。记为记为第四章 随机变量的数字特征1 数学期望说说 明明第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例2例例 3第四章 随机变量的数字特征1 数学期望此例说明了数学期望更完整地刻化了此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。的均值状态。设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为：的分布律为：X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为：的分布律为：X 0 1 2 P

12、 0.7 0.2 0.1第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例 4第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例 5第四章 随机变量的数字特征按规定，火车站每天按规定，火车站每天8:009:00,9:0010:00都恰都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：两者到站的时间相互独立，其规律为：到站时间到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6(1)旅客旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。到站，求他侯车时间的数学期望。(2)旅客旅客8:20到站，求他侯车时

13、间的数学期望。到站，求他侯车时间的数学期望。1 数学期望第四章 随机变量的数字特征1 数学期望解：解：X 10 30 50P 1/6 3/6 2/6(1)旅客旅客8：00到达到达（2）旅客）旅客8：20到达到达 X 的分布率为的分布率为X 的分布率为的分布率为X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6)设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X（以分记）以分记）二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望定理定理 1：第四章 随机变量的数字特征1 数学期望设设 Y=g(X),g(x)是连续函数，是连续函数，(2)若若 X

14、 的概率密度为的概率密度为 f(x)，（1）若）若 X 的分布率为的分布率为定理定理 2：第四章 随机变量的数字特征若若(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(1)若若(X,Y)的分布律为的分布律为(2)若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 f(x,y)，且且 g(x,y)是二元连续函数，是二元连续函数，1 数学期望第四章 随机变量的数字特征解：解：例例 6 设设(X,Y)在区域在区域A上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中A为为x轴轴,y 轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。1 数学期望第四章 随机变量的数字特征例例7 国际

15、市场上每年对我国某种出口商品的需求量国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量是随机变量 X（吨），吨），X U2000,4000，每售出这每售出这种商品种商品一吨一吨，可为国家挣得外汇，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出万元，但销售不出而囤积在仓库，则而囤积在仓库，则每吨每吨需浪费保养费需浪费保养费1万元。万元。问需要问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。组织多少货源，才能使国家收益最大。设设 y 为预备出口的该商品的数量，则为预备出口的该商品的数量，则用用 Z 表示国家的收益（万元）表示国家的收益（万元）解：解：1 数学期望第四章 随机变量的数字特征下面求下面求 EZ，并求并求

16、y 使使 EZ 达到达到最大最大 值，值，即，组织即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。吨此种商品是最佳的决策。例例8(续）续）1 数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例 8第四章 随机变量的数字特征对对N个人进行验血，有两种方案：个人进行验血，有两种方案：（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设个人一组混合后进行化验（设N是是k的倍数），若呈阴性反应，则认为的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都个人的血都是阴性反应，这时是阴性反应，这时k个人的血只

17、要化验一次；如个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份个人的另一份血液逐一进行化验，这时血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验个人的血要化验k+1次次;（1）对每人的血液逐个化验，共需）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验；次化验；假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各且各次化验结果是相互独立的。次化验结果是相互独立的。试说明适当选取试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。可使第二个方案减少化验次数。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望解：解：设设 X 表示第二个方案下的总化验次数，表示

18、第二个方案下的总化验次数，表示第表示第 i 个组的化验次数，则个组的化验次数，则例例 8 （续）（续）第四章 随机变量的数字特征1 数学期望只要选只要选 k 使使即即就可使第二个方案减少化验次数；就可使第二个方案减少化验次数；当当q已知时，已知时，第四章 随机变量的数字特征例如：当例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明时，可证明k=4可使最小；这时，可使最小；这时，工作量将减少工作量将减少40%.1 数学期望就可使化验次数最少。就可使化验次数最少。第四章 随机变量的数字特征例例9一民航送客载有一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客位旅客自机场开出，旅客有有10个车站可以下车，如到达一个车站

19、没有旅客个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以下车就不停车。以X表示停车的次数。表示停车的次数。求求EX（设设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。客是否下车相互独立）。解：解：1 数学期望第四章 随机变量的数字特征例例10 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是抽查到废品的概率是

20、 p，试求平均需抽查的件数。试求平均需抽查的件数。解：解：设设X为停止检查时，抽样的件数，为停止检查时，抽样的件数，则则 X 的可能取值为的可能取值为1,2,n，且且1 数学期望第四章 随机变量的数字特征1 数学期望第四章 随机变量的数字特征例例11 用某台机器生产某种产品，已知正品率随着用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即该机器所用次数的增加而指数下降，即假设每次生产假设每次生产100件产品，试求这台机器前件产品，试求这台机器前10次生次生产中平均生产的正品总数。产中平均生产的正品总数。解：解：设设X是前是前10次生产的产品中的正品数，并设次生产的产品中的

21、正品数，并设第四章 随机变量的数字特征1 数学期望所以所以第四章 随机变量的数字特征1 数学期望某工厂的自动生产线加工的某零件的内径某工厂的自动生产线加工的某零件的内径 X（单位：单位：mm）服从服从 规定该零件的内径小于规定该零件的内径小于10 mm或或大于大于12 mm时为时为不合格品，其余的情形为合格品。不合格品，其余的情形为合格品。又已知该零件的销售利润又已知该零件的销售利润 Y 与与 X 有如下关系：有如下关系：思考题：思考题：问问零件的平均内径零件的平均内径 取什么值时，销售一个零取什么值时，销售一个零件的平均利润最大？件的平均利润最大？第四章 随机变量的数字特征1 数学期望本节小结：本节小结：1）数学期望的定义。）数学期望的定义。2）随机变量函数的数学期望。）随机变量函数的数学期望。3）数学期望的性质。）数学期望的性质。