概率论与数理统计 (14).ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 从第二章和第三章可知从第二章和第三章可知,只要知道了随机变量的概率分就只要知道了随机变量的概率分就能完整地刻画随机变量的性质然而在许多实际问题中一方能完整地刻画随机变量的性质然而在许多实际问题中一方面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机变量的某种特征就可以了用来描述随机变量某种特征的量变量的某种特征就可以了用来描述随机变量某种特征的量称之为随机变量的数字特征称之为随机变量的数

2、字特征.本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念4.1 数学期望数学期望 一、数学期望的概念一、数学期望的概念 某射手在每次射击中命中的环数服从如下布：某射手在每次射击中命中的环数服从如下布：可以看出可以看出:该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机变量变量X的可能取值与其对应的概率乘积之和一般地，

3、为刻的可能取值与其对应的概率乘积之和一般地，为刻画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义 二、离散型随机变量的数学期望二、离散型随机变量的数学期望 定义定义4.1 设设X为离散型随机变量，其分布列为为离散型随机变量，其分布列为若级数若级数 绝对收敛绝对收敛,即即 ,则称级数则称级数 的和的和为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望(Expectitiong),记为记为 ,即即 （41）若级数若级数 不绝对收敛，则称不绝对收敛，则称X的数学期望不存在的数学期望不存在 在定义中，要求在定义中，要求 绝对收敛是必须的，因为绝对收敛是必须的，因为X的数学的数学

4、期望是一个确定的量，应不受期望是一个确定的量，应不受 在级数中的排列次序的影在级数中的排列次序的影响，这在数学上就是要求级数绝对收敛响，这在数学上就是要求级数绝对收敛 由（由（41）知，）知，X的数学期望实际上是其所有取值的数学期望实际上是其所有取值 关于关于其相应概率其相应概率 为权重的加权平均当为权重的加权平均当X的取值为有限个，的取值为有限个，一一定存在，但当定存在，但当X的取值为无限多个时，就必须要求级数的取值为无限多个时，就必须要求级数 绝对收效，绝对收效，才存在才存在 设设X是一维随机变量，是一维随机变量，是是X的函数，则的函数，则 的数学期望的数学期望可由（可由（41）求出，但此

5、时需要知道）求出，但此时需要知道 的概率分布律不过的概率分布律不过,由由于于 是是X的函数，还可以通过的函数，还可以通过X的概率分布律间接求出的概率分布律间接求出 的数学的数学期望，这就是下面的公式：期望，这就是下面的公式：若若 绝对收敛，则绝对收敛，则 （42）（证略）（证略）类似地，我们还有类似地，我们还有 若若 的联合分布律为的联合分布律为 是二元连续函数，则是二元连续函数，则 的数学期望的数学期望 为为 （43）（证略）（证略）当然当然,我们也可以先求出我们也可以先求出 的分布律的分布律,再计算再计算 的的数学期望数学期望三、连续型随机变量的数学期望三、连续型随机变量的数学期望 定义定

6、义4.2 设设X为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为 ,若若积分积分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分 的值为随机变量的值为随机变量X的数学期望，记为的数学期望，记为 ，即，即 （44）否则否则X称的数学期望不存在称的数学期望不存在 类似地，设类似地，设X是连续型随机变量，其概率密度函数为是连续型随机变量，其概率密度函数为 ，是一元已知函数，若是一元已知函数，若 绝对收敛，则绝对收敛，则 的数学期望为的数学期望为 （45）设设 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 是二元已知函数，是二元已知函数，若若 绝对绝对

7、收敛，则收敛，则 的数学期望为的数学期望为 （46）四、数学期望的性质四、数学期望的性质 性质性质1.设设c是常数，则是常数，则 ；（47）性质性质2.若若X和和Y相互独立，则相互独立，则 ；（48）性质性质3.；（49）性质性质4.;(410)性质性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形上，即情形上，即 若若 ，,相互独立，则相互独立，则 （411）上式简记为上式简记为 =证明证明 只给出性质只给出性质3和性质和性质4在连续型情形下的证明在连续型情形下的证明.设设 是连续型随机变量，概率密度函数为是连续型随机变量，概率密度函数为 ，边，边缘概率密度函数为缘概率密度函数为 ，于是，于是 又若又若X和和Y相互独立，相互独立，则则 =,于是，于是，