本科概率论与数理统计课件第四章新.ppt

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1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第四章第四章随机变量的数字特征 一、数学期望一、数学期望 二、方差二、方差 三、协方差和相关系数三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵四、矩和协方差矩阵CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY数学期望 第四章 第一节第一节二、二、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 一一、数学期望的概念、数学期望的概念 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、数学期望的概念一、数学期望的概念引例

2、：引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数获得(元)1点12,3点24,5,6点4求：一次游戏平均得多少钱？解：解：假设做了n次游戏，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY每次平均得：当n很大时，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY引例引例 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？(射击相同次，哪个总环数多)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解:设射击设射击N N枪枪因此，甲的射击水平要比乙的好。甲：乙：CHINA UNIV

3、ERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY若级数绝对收敛，设离散型随机变量X 的分布律为 简称期望或均值期望或均值，记为 E(X).则称此级数的和为X 的数学期望数学期望。即1 1、定义、定义1 1注：E(X)是一个常数，表示的是随机变量取值的平均，与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY设连续型随机变量X 的概率密度为为X 的数学期望。2 2、定义、定义2 2如果绝对收敛，则称简称期望或均值，记为 E(X).即注：注：并不是任何随机变量都存在期望。（要满足绝对收敛的条件）反例：CHINA

4、UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n 把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门.若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去，求求打打开开门门时时试开次数的数学期望试开次数的数学期望.例例1 1CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3、几种常用离散型分布的期望、几种常用离散型分布的期望(1)（01）分布(2)二项分布(3)泊松分布

5、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4、几种常用连续型分布的期望、几种常用连续型分布的期望(1)均匀分布(2)指数分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(3)正态分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2、有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个指数分布，参数为(1)若将这5个电子串联工作组成整机，求整机寿命N的 数学期望。(2)并联成整机，求整机寿命M的数学期望。解：解：(1)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TEC

6、HNOLOGY(2)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3.3.某项任务完成所需时间 T该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若在100天至115天内完成，则得奖金1000 元,115 天,罚款5000,求完成任务获得的平均奖金数解解:由得,规定：若超过设Y 是完成该任务所获奖金数，则 Y的可能取值为10000,1000,-5000CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY从而Y 的分布律为 0.5100000.0013-5000 0.4987 1000CHINA UNIVERSITY OF

7、MINING AND TECHNOLOGY二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 那么应该如何计算呢？设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望.按照期望的定义把E g(X)想法：因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，g(X)的分布可以由已知的X 的分布求出来.知道了g(X)的分布，计算出来.CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解:已知X 的分布律为求 的数学期望。1/4 1/8 1/4 3/8 -1 0 1 2Eg:Eg:1/4 1/8 1/4 3/8 1 0 1 41/2 1/8

8、3/8 1 0 4事实上不必求分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定理定理1 设(g为连续函数)设X为离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛,则g(X)的数学期望为 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),若绝对收敛,则g(X)的数学期望为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY这给求随机变量函数的期望带来很大方便。该公式的重要性在于:知道g(X)的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。当我们求Eg(X)时,不必CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定理

9、定理2 设(X,Y)是二维随机变量,g(X,Y)是二元连续函数 设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则Z 的数学期望为 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z 的数学期望为绝对收敛绝对收敛CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY设随机变量X 的概率密度为例例1 1求 E(1/X)。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2 2 已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为 求求解解CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3.3.设某公共汽

10、车站于每小时的10分,50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。设T 为乘客到达车站的时刻(分)，解:则其概率密度为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY设Y 为乘客等车时间，则 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY已知 的概率密度 例例4 4、求解解同理CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1.设C 是常数，则E(C)=C;2.若C 是常数，则E(CX)=CE(X);3.三、数学期望的性质三、数学期望的性质证明:设C

11、HINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4.设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);证明:设（当Xi 独立时）推广：推广：注：该性质不是充要条件CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY证明：证明：6、5、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1、任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和,求E(X).解：解：1 2 3 4 5 6CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2 2、二项分布解：解：则而，则所以,，求E

12、(X)。X表示n重伯努利试验中成功的次数.注意：注意：分割随机变量的原则。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3、将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，用X表示装对信件的个数，求EX。解：解：则01CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例4 4一民航送客载有20 位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，就不停车。以 X 表示停车的次数。求E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。如到达一个车站没有旅客下车第i 站无人下车,第i 站有人下车.解解：设则CH

13、INA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY注注:不是相互独立的。不是相互独立的。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY已知已知例例5 5求求服从参数为服从参数为 3 的指数分布，的指数分布，X,Y相互独立，相互独立，解解 由随机变量的性质可知由随机变量的性质可知CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例如例如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果 中心中心其落点距目标的位置如图，又如又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，

14、身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪个合唱队演出效果好？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY用什么衡量用什么衡量X 与与E(X)的偏离程度呢的偏离程度呢?1 1、合理合理,但是存在正负相消，不可行但是存在正负相消，不可行;2 2、带绝对值的运算，不利于分析带绝对值的运算，不利于分析;3 3、在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY方 差

15、第四章 第二节第二节二、二、方差的性质方差的性质 一一、方差的定义、方差的定义 三三、几种重要分布的方差几种重要分布的方差 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 方差的算术平方根为X 的方差。记为D(X)或Var(X)。定义定义 设X 是一个随机变量，若 则称称为均方差或标准差。存在，记为注：注：方差实际上就是X的函数 g(X)=X-E(X)2 的期望。方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。一、方差的定义一、方差的定义离散型离散型连续型连续型CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY证明：证明：推论：推

16、论：常用计算公式：常用计算公式：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为 例例1 1X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数甲击中的环数 Y：乙击中的环数乙击中的环数 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 9.2(环环)乙的平均环数为乙的平均环数为9.2(环环)CHINA UNIVERSITY OF MI

17、NING AND TECHNOLOGY从平均环数上看，从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：但两人射击环数的方差分别为：这表明这表明乙的射击水平比甲稳定。乙的射击水平比甲稳定。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY设随机变量X 的概率密度为求D(X)。例例2 2解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则 D(CX)=C 2D(X);3.若X与Y 独立，则二二、方差的性质方差的性质证注：注：这条性质同样

18、不是一个充要条件。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY推广推广 若X1,X2,Xn 相互独立,则4、D(X)=0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1 1（0-10-1）分布）分布 参数为p 0 1三三、几种常见分布的方差几种常见分布的方差2 2二项分布二项分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY已知X b(n,p)，求D(X)则所以,解：解：，则=np(1-p).注：注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。CHINA UNIVERSITY OF MIN

19、ING AND TECHNOLOGY3 3泊松分布泊松分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4 4均匀分布均匀分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 指数分布指数分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY正态分布正态分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差所决定。特别，当CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY已知例例1

20、求的次数，对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察值大于解 由题意可知CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2 2设 X 的可能取值为且，求 X 的分布律。解解 设 X 的分布律为所以CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故例例3 3设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？Z N(-7,5)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 求求 X 和和 Y

21、 的联合分布律的联合分布律;求求 X+Y 的方差。的方差。解解 X,Y 的取值都为的取值都为-1和和1，则，则例例4设设，且，且CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY X+Y 的分布律为的分布律为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY若若X,Y相互独立，相互独立，这项为零这项为零若这项不为零，则不相互独立，那么X与Y之间存在什么关系？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY协方差和相关系数 第四章 第三节第三节一、协方差和相关系数的定义一、协方差和相关系数的定义二、

22、协方差的性质二、协方差的性质三、相关系数的性质三、相关系数的性质CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1、定义、定义 设二维随机变量 则称它为X与Y的协方差，即称为随机变量X与Y的相关系数。若存在，一、协方差和相关系数的定义一、协方差和相关系数的定义记为显然CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2、常用计算公式、常用计算公式证证:1、为常数2、二、协方差的性质二、协方差的性质CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3、证：证：4、5、若X或Y中任何一个为常数，则CH

23、INA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、相关系数的性质三、相关系数的性质1)2)的充要条件是X与Y以概率1成线性关系即其中为常数定理定理1 设随机变量X和Y 的相关系数存在，则引理引理等号成立当且仅当存在常数CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY证明：证明：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY说明：说明：，X 与Y 的线性关系越显著；，X 与Y 的线性关系越不显著；2）3）4）定义定义、相关系数则称与不相关;相关系数之间线性关系的一种度量.是X与Y下列命题等价：下

24、列命题等价：1）独立独立不相关不相关注：注：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：X N(0,1),证明X与Y不相关。证：证：=0X与Y不相关。但是，显然，X与Y 不是相互独立的。不相关：不相关：X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之间没有其他关系。独立：独立：X 与Y 之间没有任何关系。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1 1设随机变量的概率密度为问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？解解 先求关于X 和Y 的边缘概率密度 CHINA UNIVERSITY OF MINING AN

25、D TECHNOLOGY因为所以X 和 Y 不相互独立。求X 和Y 的相关系数 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY所以故X 和 Y 不相关。=0.若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关特例特例113页定理2n维CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY推广（推广（n维正态分布的几条重要性质）维正态分布的几条重要性质）1.X=(X1,X2,Xn)服从n元正态分布a1X1+a2 X2+an Xn均服从正态分布。对一切不全为0的实数a1,a2,an，2.若 X=(X1,X2,Xn)服从n元正态分布

26、，Y1,Y2,，Yk是 Xj（j=1,2,n）的线性函数，则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正态分布。3.设(X1,X2,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2,Xn相互独立”“X1,X2,Xn两两不相关”CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2 2设随机变量相互独立，且解解CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3 3 将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示正面向上和反面向上的次数，求的相关系数。解解:满足故Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=2CHINA UNIVERSITY OF MI

27、NING AND TECHNOLOGY例例4 4 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布律为的联合分布律为求求 0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 11 -2 0 1 Y X解解 边缘分布律为边缘分布律为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY的协方差为的协方差为:0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 11 -2 0 1 Y X下面求下面求 的方差的方差:CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY的相关系数为的相关系数为:CHINA UNIVERSITY OF

28、MINING AND TECHNOLOGY矩和协方差矩阵 第四章 第四节第四节矩和协方差的定义矩和协方差的定义CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩。若存在，称它为 的阶中心矩。阶混合矩。若存在，称它为和的若存在，和的称它为阶混合中心矩。和是随机变量，设矩：矩：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY协方差阵：协方差阵：二维随机变量(X,Y)记为随机变量(X,Y)的协方差阵。n维随机变量维随机变量CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY说明：说明：所以C是一个对称矩阵。2、对角线上元素就是