概率论和数理统计 多维随机变量及其分布.ppt

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1、在研究某些随机现象时，仅研究在研究某些随机现象时，仅研究一个随机变量是不够的一个随机变量是不够的。如：如：天气预报，需要同时预报某地某日最高气温、最低气天气预报，需要同时预报某地某日最高气温、最低气温、风力、湿度、空气污染程度等。温、风力、湿度、空气污染程度等。因此，必须从整体上，从因此，必须从整体上，从各个分量的相依关系各个分量的相依关系上加以上加以讨论，这就是讨论，这就是多维随机变量多维随机变量。一般地，我们称。一般地，我们称n n个随机变量个随机变量的整体的整体X=(XX=(X1 1,X,X2 2,，X Xn n)为为n n维随机变量或随机向量维随机变量或随机向量.三 多维随机变量及其分

2、布1、多维随机变量及其分布函数、多维随机变量及其分布函数(1)、问题背景、问题背景(2)、定义：、定义：设设X、Y为定义在为定义在同一样本空间同一样本空间S上的随机变量，上的随机变量，则称向量（则称向量（X，Y）为）为S上的一上的一个二维随机变量。个二维随机变量。X(e)X(e)Y(eY(e)e eS S多维随机变量及其分布(X,Y)=(a,b),(X,Y)(X,Y)=(a,b),(X,Y)D D 等等 用二维用二维r.vr.v表示随机事件：表示随机事件：D D二维二维r.v(X,Y)r.v(X,Y)的取值可看的取值可看作平面上的点作平面上的点对于任意实数对于任意实数x x、y y,定义二元函

3、数定义二元函数为二维为二维r.vr.v(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数,也称为也称为r.v r.v X X和和Y Y的的联合分布函数。联合分布函数。(3)(3)、(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数(4)(4)、(X,Y)(X,Y)的边缘分布函数的边缘分布函数 二维二维r.vr.v（X X，Y Y）中的）中的X X和和Y Y分别分别都是一维都是一维r.vr.v，它们的分布函数分别，它们的分布函数分别记为记为F FX X(x x)和和F FY Y(y y)，分别称之为二维分别称之为二维r.vr.v(X,Y)(X,Y)关于关于X X、Y Y的的边缘分布函数。边缘分布函数。(x,y)(x

4、,y)2 2、二维离散型随机变量、二维离散型随机变量(1)、定义y0 x(xi,yj)则称则称(X,Y)是是二维离散型二维离散型随机变量。随机变量。PX=xi，Y=yj=pij （i，j=1,2,）pij称为称为(X,Y)的分布律，或的分布律，或X和和Y的的联合分布律联合分布律。若二维若二维r.v(X,Y)的所有可能的取值是有的所有可能的取值是有限对或无限可列对限对或无限可列对(xi,yj)(i,j=1,2,),其其相应的概率为相应的概率为:表格形式：表格形式：YXy1 y2 y3 p11 p12 p13 p21 p22 p23 xx(2)性质性质:1）pij 0 设二维离散型设二维离散型r.

5、v(X，Y）的分布律为：）的分布律为：(3)、由分布律求边缘分布律问题：问题：r.vX和和Y各自的分各自的分 布律是什么？布律是什么？X可能的取值为：可能的取值为：概概率率可可加加性性同理同理同理同理 PY=PY=y yj j Y y1 y2 y3 x p11 p12 p13 x p21 p22 p23 X关关于于X的的边边缘缘分分布布律律关于关于Y的边缘分布律的边缘分布律 Y y1 y2 y3 pi x p11 p12 p13 p1 x p21 p22 p23 p2 p.j p.p.2 p.3 X注意这两个分布正好注意这两个分布正好是表的行和与列和是表的行和与列和.对于二维对于二维r.v(X

6、,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)，如果存在，如果存在非负函数非负函数f(x,y)，使得对任意实数，使得对任意实数x、y，有，有则称则称(X,Y)是连续型二维是连续型二维r.v，f(x,y)称为二维称为二维r.v(X,Y)的的概率密度函数，概率密度函数，也称为也称为r.vX和和Y的的联合概率密度函数联合概率密度函数。这是一个广义这是一个广义的二次积分！的二次积分！3 3、二维连续型随机变量、二维连续型随机变量(1)、定义3 3）在）在f(f(x x,y y)连续点处，连续点处，xyzG1）非负；）非负；(2)、f(x,y)的性质：(X,Y)落在平面区域落在平面区域G内的内的概率概率等于以平

7、面区域等于以平面区域G为底，以空为底，以空间中的曲面间中的曲面 z=f(x,y)为顶面的为顶面的曲顶柱体体积曲顶柱体体积。z=f(x,y)例例2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度求：（求：（1）系数）系数A解解 （1）由）由 知知 可求得可求得(2)(2)（3 3）设连续型设连续型r.v(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为f(x,y).Fx(x)=P X x=PX x,Y0 即即：y 0对一切对一切x,y,均有均有：故故X,Y 独立。独立。.若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 小小 结结.作业作业：P24 28 29 30P24 28 29 30