概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第六章 2012.ppt

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1、第六章样本及抽样分布二二、抽样分布、抽样分布一一、随机样本、随机样本1100100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：1、估计这批合金材料的强度均值是多少、估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）参数的点估计问题）2、强度均值在什么范围内？、强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）参数的区间估计问题）3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？批材料是否合格？(参数的假设检验问题）参数的假设检验问题）例如例如 某厂生产一型号的合金材料，某厂生产一型号的合金材料，用随机

2、的方法选取用随机的方法选取我们依次讨论参数的我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。点估计、区间估计、假设检验。下面首先引入一些数理统计中的基础知识。下面首先引入一些数理统计中的基础知识。2随 机 样 本 第六章 第一节一一、总、总体体二二、样、样本本3一一、总体、总体研究对象的某项数量指标值的全体称为研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。总体。总体中每个研究对象总体中每个研究对象(元素元素)称为称为个体个体(样品样品)。一个统计问题总有它明确的研究对象。一个统计问题总有它明确的研究对象。例如例如：测试矿大全体男生的身高；：测试矿大全体男生的身高；总体总体有限总体有限总体无限总体无限总

3、体4 总体可以用一个随机变量总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。及其分布来描述。此总体就可以用随机变量此总体就可以用随机变量X 或其分布函数或其分布函数例如例如，研究某批灯泡的寿命时，研究某批灯泡的寿命时，这批灯泡中每个这批灯泡中每个灯泡的灯泡的寿命寿命是我们所关心的指标是我们所关心的指标.表示表示.5二二、样本、样本样本样本：在总体中抽取的部分个体。：在总体中抽取的部分个体。样本容量样本容量：样本中所含个体的数目：样本中所含个体的数目n。定义定义为了准确地进行判断，对抽样有所要求：为了准确地进行判断，对抽样有所要求：代表性代表性：样本的每个分量：样本的每个分量与总体与总体X 有相同的

4、有相同的分布函数；分布函数；独立性独立性：为相互独立的随机变量，为相互独立的随机变量，满足以上条件的样本满足以上条件的样本称为来自总体称为来自总体X 的容量为的容量为n 的一个的一个简单随机样本（简称样本）简单随机样本（简称样本）。6样本的一次具体实现样本的一次具体实现称为称为样本值样本值。联合分布函数为联合分布函数为联合概率密度为联合概率密度为联合分布律为联合分布律为 7例例1设总体设总体，求样本，求样本的联合分布律。的联合分布律。总体总体解解:其分布律为其分布律为于是于是的联合分布律为的联合分布律为8例例2设总体设总体,求样本求样本的联合密度函数。的联合密度函数。解解:由已知由已知,总体总

5、体X的密度函数为的密度函数为于是于是的联合分布律为的联合分布律为9例例3设总体设总体X的密度函数为的密度函数为解解:样本样本的联合密度函数为的联合密度函数为求样本求样本的联合密度函数的联合密度函数.10抽 样 分 布 第六章 第二节一一、统计量的定义及常用的统计量、统计量的定义及常用的统计量二二、几种常用的分布、几种常用的分布三三、正态总体统计量的分布、正态总体统计量的分布11的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为不含任何未知参数的样本的函数称为统统由样本值去推断总体情况，由样本值去推断总体情况，需要对样本值进需

6、要对样本值进行行“加工加工”，这就要构造一些合适的依赖于样本这就要构造一些合适的依赖于样本计量计量。它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.息集中起来。息集中起来。一、统计量的定义及常用的统计量一、统计量的定义及常用的统计量12定义定义1 设设 是来自总体是来自总体X 的一个样本，的一个样本，为一实值连续函数，为一实值连续函数，其不包含任何其不包含任何未知参数，则称未知参数，则称为一个为一个统计量统计量。为为的的观测值观测值。注：注：仍为随机变量。仍为随机变量。是一个数。是一个数。例如例如总体总体是一个样本，是一个样本，则则均为统计量。均为统计量。13当当未知未知时，时，均不是统计量。均

7、不是统计量。当当已知已知时，其为统计量。时，其为统计量。下面介绍几种常用的统计量下面介绍几种常用的统计量1 1、样本均值、样本均值2 2、样本方差、样本方差设设是来自总体是来自总体X 的一个样本，的一个样本，它反映了总体它反映了总体X 取值的平均值的信息，取值的平均值的信息，常用来估计常用来估计EX143、样本标准差、样本标准差4 4、样本、样本k 阶原点矩阶原点矩5 5、样本、样本k 阶中心矩阶中心矩它反映了总体它反映了总体 k 阶矩的信息。阶矩的信息。可见可见它们的观察值分别为：它们的观察值分别为：15 统计量是样本的函数，它是一个随机变量统计量是样本的函数，它是一个随机变量.16证 1、

8、由于是独立同分布的随机变量，是独立同分布的随机变量，且且例例1 设总体设总体X 的数学期望为的数学期望为其样本为其样本为1718下面介绍几种常用的统计量的分布下面介绍几种常用的统计量的分布统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。19记为记为1.定义定义设设相互独立相互独立,都服从正态都服从正态分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的分布分布.分布分布(一一)二、几种常用的分布二、几种常用的分布20分布的分布的密度函数密度函数为为来定义。来定义。通过积分通过积分其中伽玛函数其中伽玛函数21分布的密度函数分布的密度函数单击可播

9、单击可播放电影放电影22由由分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：相互独立相互独立,都服从都服从则则(1)设设2.性质性质正态分布正态分布证明证明因为因为所以所以又又X1,X2,Xn 相互独立，相互独立，23且且X1,X2相相这个性质叫这个性质叫分布的可加性分布的可加性。(2)设设互独立，则互独立，则也是相互独立的。也是相互独立的。由由的定义可知的定义可知24则则可以求得，可以求得，E(X)=n,D(X)=2n(3)若若证明证明，则，则所以所以应用中心极限定理可得，应用中心极限定理可得，则当，则当n充分大时，充分大时，若若的分布近似正态分布的分布近似正态分布N(0,1)。25(4)c c

10、 2 2 分布的分位点分布的分位点称满足条件称满足条件定义定义：对于给定的正数：对于给定的正数的点的点为为的上的上分位点。分位点。231231页查表页查表26记为记为 Tt(n)。所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为n 的的t 分布分布.1.定义定义:设设XN(0,1),Y则称变量则称变量,且且X与与Y相互独立，相互独立，（二）（二）t 分布分布T 的密度函数为：的密度函数为：27t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称对称当当n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密度充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。函数的图形。28（1）具有自由度为具有自由度为n的的t分布

11、的随机变量分布的随机变量T的的（2）t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称对称2.性质性质E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对对n2数学期望和方差为数学期望和方差为:当当n 充分大时，其图形类似于标准正态分布充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。密度函数的图形。（138页）页）但对于较小的但对于较小的n，t 分布与分布与N(0,1)分布相差分布相差很大。很大。29（3）t分布的分位点分布的分位点称满足条件定义：对于给定的正数的点 为 分布的上 分位点。性质：性质：例、300因为因为由图可知由图可知所以查表可得所以查表可得故故则称点则称点为为标准正态分布的上标准正态

12、分布的上分位点分位点。定义定义设设，若，若满足条件满足条件311.定义定义:设设X与与Y相互相互独立，则称统计量独立，则称统计量服从自由度为服从自由度为（三）（三）F 分布分布n1及及n2的的F分布，分布，记作记作F F(n1,n2)。32即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.(2)X的数学期望为的数学期望为:若若n22(1)由定义可见，由定义可见，F(n2,n1)2.性质性质若若n2433(3)F分布的分位点分布的分位点对于给定的正数对于给定的正数称满足条件称满足条件分位点分位点.分布的上分布的上的点的点为为34证明证明:设设由定义由定义35又因为又因为故

13、故36统计三大分布的定义、基本性质统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢在后面的学习中经常用到，要牢记！记！37例例1 设总体设总体X,Y 相互独立相互独立其样本为其样本为试求统计量试求统计量服从什么分布？服从什么分布？解解由已知得由已知得所以所以38例例2 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布，其样本为，其样本为解解由已知得由已知得所以所以故故39例例3 已知总体已知总体X 服从自由度为服从自由度为n 的的t 分布，求证：分布，求证：解解由已知得由已知得其中其中故故所以所以还能得还能得401、单个正态总体的统计量的分布、单个正态总体的统计量的分布定理定理1设设X1,X2

14、,Xn 是取自正态总体是取自正态总体的样本，的样本，分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有相互独立相互独立三、正态总体统计量的分布三、正态总体统计量的分布41定理定理2 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布是是X 的样本，的样本，分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有证明：证明：因为因为是样本是样本的线性组的线性组合，故合，故，标准化后可得，标准化后可得42又因为又因为相互独立，所以相互独立，所以也相互独立，则由也相互独立，则由t 分布的定义得分布的定义得432、两个正态总体的统计量的分布、两个正态总体的统计量的分布定理定理3 设设X1,X2,X

15、n1 与与Y1,Y2,Yn2分别是来自分别是来自正态总体正态总体的样本，并且这两个样的样本，并且这两个样本相互独立，记本相互独立，记则有则有 44当当时时其中其中45例例4 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布，其样本为，其样本为解解由已知得由已知得，得，得46例例5 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布，其样本为，其样本为解解由已知得由已知得查表查表47例例6 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布，其样本为，其样本为解解因为因为48例例7 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布，其样本为，其样本为解解由已知得由已知得所以所以标准化得标准化得49又因为又因为故故50例例8 设总体设总体X,Y 相互独立相互独立其样本为其样本为试求以下概率试求以下概率解解由已知得由已知得则则所以所以51总体总体样样本本统计量统计量描述描述作出推断作出推断随机抽样随机抽样这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念.熟记内容，灵活应用！熟记内容，灵活应用！52作作业业P140 P140 习题习题6.3 16.3 1，3 3，4 4P147 P147 习题习题6.4 16.4 1，4 453