概率论与数理统计课件第1章.ppt

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1、信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔1第第1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件1.4 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性1.2 随机事件的概率随机事件的概率信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔1.1 随机事件随机事件一、随机试验一、随机试验二、二、样本空间样本空间三、三、随机随机事件及其发生事件及其发生四、事件之间的关系和运算四、事件之间的关系和运算信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔3在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,(

2、1)确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔4在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.(2)随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果

3、信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔5结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5 或或 6.实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔6实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色

4、的交通指挥灯指挥灯.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔7实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴,也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔8(2)随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的有一定的统计统计规律性规律性,概率论就是研究随机现象概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科规律性的一门数学

5、学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明(1)随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔9一、随机试验一、随机试验 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特征的试验称为随机随机试验试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个,并且能事

6、先明确试并且能事先明确试验的所有可能结果；验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔10说明说明 (1)随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的也包括对客观事物进行的“调查调查”、“观察观察”或或“测量测量”等等.(2)随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔11实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察察正面、反面正面、反面出现的情况出现的情况”

7、.分析分析(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面、反面反面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔12(1)抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(2)从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公共汽车站记录某公共汽车站某时刻的等车人数某时刻的等车人数.

8、信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔13(4)考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.(5)从一批灯泡中任从一批灯泡中任取一只取一只,测试其寿命测试其寿命.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔14 现代集合论为表述随机试验提供了一个现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具方便的工具.二、样本空间二、样本空间 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样本点样本点，记作，记作e 或或.全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间.样本空间用样本空间用表示表示.样本点样本点e.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔15实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚

9、硬币,观察正面观察正面,反面出现的情况反面出现的情况.实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔16实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.实例实例4 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔17实例实例5 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔18 2.同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样

10、则对应的样 本空本空 间也不同间也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间为则样本空间为说明说明 1.试验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔19说明说明 3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型.因此因此,一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例

11、如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它它既既可可以以作作为为抛抛掷掷硬硬币币出出现现正正面面或或出出现现反反面面的的模模型型,也也可可以以作作为为产产品品检检验验中中合合格格与与不不合合格格的的模模型型,又又能能用用于于排排队队现现象象中中有有人人排排队队与与无无人人排排队队的模型等的模型等.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔20 在在具具体体问问题题的的研研究究中中,描描述述随随机机现现象象的的第第一一步步就就是是建立样本空间建立样本空间.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔21随机事件：随机事件：三、三、随机随机事件及其发生事件及其发生通俗地讲通俗地讲随机事件是指随机

12、试验中可能发生也随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的可能不发生的结果结果。根据这个说法不难发现根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！子集有一一对应关系！信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔22 它们分别可以对应了样本空间它们分别可以对应了样本空间=1,2,3,4,5,6 的的子集子集1,2,3,4和和2,4,6 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.“点数不大于点数不大于4 4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.反过来，反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随的每个子集都对应了该试验的一个随机事件

13、机事件信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔23随机事件的定义随机事件的定义 当且仅当子集当且仅当子集中某个样本点出现时，中某个样本点出现时，称事件称事件发生发生 随机试验随机试验 E E 的样本空间的样本空间 的子集的子集称为称为 E E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔24实例实例 上述试验中上述试验中“点数不大于点数不大于6”就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然发生的事件随机试验中必然发生的事件不可能事件不可能事件 随机试验中不可能发生的事件随机试验中不可能发生的事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数大于点数大于6”就是不可

14、能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”.基本事件基本事件由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集特别地：特别地：实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔25几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.可设可设 A=“点数不大于点数不大于4”,B=“点数为奇数点数为奇数”等等等等.1)随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件,并以大写英文字母并以大写英文字母 A,B,C,来表示事件来表示事件信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔26空集不含任何

15、样本点表示空集不含任何样本点表示不可能事件不可能事件2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.样本空间样本空间作为自身最大的子集包含所有的样作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示本点（基本事件），表示必然事件必然事件信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔271事件的包含事件的包含事件发生事件发生事件发生事件发生设、设、为两个事件，如果中的基本事件都是为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称的基本事件，则称包含于，记为，或包包

16、含于，记为，或包含，记为含，记为 .四、事件之间的关系和运算四、事件之间的关系和运算实例实例 A=“长度不合格长度不合格”必然导致必然导致 B=“产品不合格产品不合格”所以所以事件事件之间之间的关系的关系信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔282.事件的相等事件的相等=若两个事件和相互包若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等，含，则称这两个事件相等，记为记为 .和同时发生或者同时不发生和同时发生或者同时不发生信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔293.事件的和（并）事件的和（并）将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为一个新事件，称为

17、和的和事件，记为，可和的和事件，记为，可读成并或加读成并或加.有时也可记为有时也可记为 .实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,因此因此 C=“产品不合格产品不合格”是是A=“长度不长度不合格合格”与与B=“直径不合格直径不合格”的并，的并，即即信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔304.事件的积（交）事件的积（交）将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘交或乘.有时也可记为有时也可记为.实例实例

18、某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,设设“产品合格产品合格”,“长度合长度合格格”,“直径合格直径合格”信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔31信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔32和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔335.事件的差（减）事件的差（减）从事件中将属于事件的基本事件除去从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件事件组成的新事件称为和的差事件,记为记为 .事件发生而事件不发生事件发生而事件不发生实例实例 设设“长度合格但直

19、长度合格但直径不合格径不合格”,“长度合格长度合格”,“直径合格直径合格”.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔34事件、事件、不可能同时发生不可能同时发生6.事件的互斥（互不相容）事件的互斥（互不相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为也称互不相容，记为 .注意注意 基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔357.事件的逆（对立事件）事件的逆（对立事件）称必然事件和事件的差为的逆事件，记称必然事件和事件的差为的逆事件，记为为 ，如果和互逆，则也可称和互为对立事件如果和互逆，则也可称和互为对立事件

20、事件不发生事件不发生实例实例 “骰子出现骰子出现1点点”“骰子不出现骰子不出现1点点”对立对立信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔36事件的运算规律事件的运算规律由集合的运算律，由集合的运算律，易给出事件间的运算律易给出事件间的运算律.设设为同一随机试验为同一随机试验中的事件，中的事件，则有则有(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔37(4)自反律自反律(5)对偶律对偶律注：注：上述各运算律可推广到上述各运算律可推广到件的情形件的情形.有限个或可数个事有限个或可数个事信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔38(6)吸收律吸收律(7)替换律替换律信息管

21、理学院信息管理学院 徐晔徐晔39例例1甲甲,乙乙,丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶,记记 “甲中靶甲中靶”,“乙中靶乙中靶”,“丙中靶丙中靶”,则可用上述三则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”或或信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔40(10)(9)(8)“三人中至少有两人中靶三人中至少有两人中靶”“三人中均未中靶三人中均未中靶”“三人中至多一

22、人中靶三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”或或(6)(7)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”或或信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔41注注:用其它事件的运算来表示一个事件用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往方法往往不唯一不唯一,如本例中的如本例中的(6)(6)和和(11)(11)实际上是同一事件实际上是同一事件,大家应学会大家应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时,往往要更具需要往往要更具需要方法方法.用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件,选择一种恰当的表示选择一种恰当的表示(6)“三人中

23、至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔42作业作业P19 练习1.1 3 4 5信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔43一、概率的统计意义一、概率的统计意义三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义二、概率的古典定义二、概率的古典定义1.2 随机事件的概率随机事件的概率四、概率的性质四、概率的性质信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔44 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率的可能性大小，也

24、就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔45一、概率的统计意义一、概率的统计意义定义定义显然显然次数为次数为频率频率.若在相同条件下进行若在相同条件下进行 次试验，次试验，其中其中 发生的发生的则称则称为事件为事件 发生的发生的信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔46试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440

25、.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.随随n的增大的增大,频率频率 fn(H)呈现出稳定性呈现出稳定性信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔47从上述数据可得从上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率fn(A)的随机波动的随机波动幅度较大幅度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率fn(A)呈现出稳定呈现出稳定性性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐

26、渐增大时频率fn(A)总是在总是在 0.5 附近附近摆动摆动,且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得所得的的fn(A)不一定相同不一定相同;信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔48实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔49重要结论重要结论当实验次数当实验次数 n 较小时较小时,事件事件发生的频发生的频率波动幅度比较大率波动幅度比较大,当当 n 逐渐增大时逐渐增大时,频率趋频率趋于

27、稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概概率率信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔50概率的统计定义概率的统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验,若事件若事件A发生的频率发生的频率 随着试验次数随着试验次数n的增大而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概概率，率，记为记为P(A).信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔51 我我们们首首先先引引入入的的计计算算概概率率的的数数学学模模型型，是是在在概概率率

28、论论的的发发展展过过程程中中最最早早出出现现的的研研究究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型二、概率的古典定义二、概率的古典定义信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔52 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如 ei，比任一其它结果比任一其它结果ej,更有优势，则我更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.e1,e2,

29、，eN,信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔532 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔54 因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得.也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10.1324 5 6 7

30、 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔55 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球，i=1,2,10.称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同.=1,2,10 则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i=2信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔56 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有

31、有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.称这种试验模型为称这种试验模型为等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔57称此概率为称此概率为古典概率古典概率,这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题本事件的计数问题.古典概型中事件概率的计算古典概型中事件概率的计算设古典型随机试验设古典型随机试验E E的样本空间为的样本空间为则定义则定义对任意事件对任意事件 ,若若事件事件 发生的概率发生的概率信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔

32、58基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔59基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设

33、完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔60 加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔61k=n时称全排列时称全排列3.排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简

34、单公式1、排列、排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k 个个()的不同排列总数为：的不同排列总数为：信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔624.组合组合:从从n个不同元素取个不同元素取k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：有时记作有时记作,称为称为组合系数组合系数.排列和组合的区别排列和组合的区别:顺序不同的排列视为不同的排列顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺而组合与顺序无关序无关.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔63例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3 3个黑球个黑球,7 7 个白球个白球,求求:(1 1)从袋子

35、中任取一球从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率这个球是黑球的概率;(2 2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率(1 1)解解10 10 个球中任取一个个球中任取一个,共有共有种种.从从而根据古典概率计算而根据古典概率计算,事件事件“取到的球为黑球取到的球为黑球”的概率为的概率为以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔64例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3 3个黑球个黑球,7 7 个白球个白球,求求:(2 2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚

36、好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率解解以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.(2 2)10 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有种种,其中其中刚好一个白球刚好一个白球,一个黑球的取法有一个黑球的取法有种取法种取法,两个球均是黑球的取法有两个球均是黑球的取法有种种,记记为为好取到一个白球一个黑球好取到一个白球一个黑球”,为为为黑球为黑球”,则则事件事件“刚刚事件事件“两个球均两个球均信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔65例例2 (抽签原理抽签原理)袋中有袋中有 只白球和只白球和 只黑球，只黑球，它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在它们除颜色不同外其他方

37、面没有差别，现在将球随机地一只只摸出来，求第将球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的次摸出的一只球为白球的概率一只球为白球的概率.其中其中信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔66解法解法1:且每种排列机会相同且每种排列机会相同:古典概型古典概型信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔67解法解法2:且每种方法机会相同且每种方法机会相同:古典概型古典概型因此因此信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔68两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：选取的样本空间不同选取的样本空间不同第一种方法把球看作第一种方法把球看作“有个性有个性”的，要顾及各白球的，要顾及

38、各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法和各黑球间的顺序因而采用排列的方法而第二种方法则同色球不加区别而第二种方法则同色球不加区别,不需要注意顺序而不需要注意顺序而采用组合的方法采用组合的方法不管采用什么样的样本空间不管采用什么样的样本空间,必须注意以下两点必须注意以下两点:(1)同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等;(2)在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同一个样本空间中进行一个样本空间中进行信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔69解法解法3：解法解法4：只考虑前只考虑前k个球的情形个球的情形,用排

39、列的方法用排列的方法:只考虑第只考虑第k次取球的情形次取球的情形信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔70例例3 某城市有某城市有N部轿车，车牌号从部轿车，车牌号从1到到N,有一个外地人有一个外地人到该城市去，把遇到的到该城市去，把遇到的n部轿车的牌号抄下（可能重部轿车的牌号抄下（可能重复抄到某些车牌号复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码恰好为问抄到的最大号码恰好为k的概的概率率.解解:假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的任意地方任意地方(这是合理的这是合理的,因为外地人到该城市也是因为外地人到该城市也是随机的随机的),每部轿车被遇到的可能性可以认为

40、相同每部轿车被遇到的可能性可以认为相同符合古典概型的要求符合古典概型的要求外地人抄车牌号相当于从外地人抄车牌号相当于从N个个元素中元素中有放回有放回地抽取地抽取n个元素个元素信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔71有利场合要求抄到的最大车牌号恰好为有利场合要求抄到的最大车牌号恰好为k，相当于抄相当于抄到的车牌号必须不超过到的车牌号必须不超过k,且必须至少抄到一次且必须至少抄到一次“k”有利场合数有利场合数=车牌号不大于车牌号不大于k的取法总数的取法总数车牌号不大于车牌号不大于(k-1)的取法总数的取法总数因此因此,抄到的最大号码恰好为抄到的最大号码恰好为k的概率为的概率为 信息管理学院信息管理学

41、院 徐晔徐晔72 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础.数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容.三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔73 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率

42、的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔74定义定义:设设E E是随机试验是随机试验,是它的样本空间是它的样本空间,对于对于E E的每一件事件的每一件事件A 赋予一个实数赋予一个实数,记为记为P(A),若若P(A)满满足下列三个条件足下列三个条件:1.1.非负性非负性:对每一个事件对每一个事件A,有有2.2.完备性完备性:3.3.完全完全可加性可加性:对任意可数个两两互不相容的对任意可数个两两互不相

43、容的事件事件有有则称则称 P P(A)为事件为事件A的概率的概率.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔75 这就是概率的公理化定义这就是概率的公理化定义,由于其定义用由于其定义用到较多的现代数学理论和方法到较多的现代数学理论和方法,我们只作上面的我们只作上面的简单介绍简单介绍.由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质:四、概率的性质四、概率的性质信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔76性质性质1证明证明令令则则由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得由概率的非负性知由概率的非负性知,故由上式可得故由上式可得注：注：不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,0,

44、但反之不然但反之不然.证毕证毕信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔77性质性质2(有限可加性有限可加性)设设是两两互不相是两两互不相容的事件容的事件,则有则有证明证明令令既有既有由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证毕证毕.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔78性质性质3 3证明证明因因且且由性质由性质2,2,得得证毕证毕.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔79性质性质4 4证明证明 因因且且再由概率的有限可加性再由概率的有限可加性,即得即得所以所以又由概率的非负性知又由概率的非负性知,则有则有证毕证毕若若则有则有信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔80性质性质5 5对任一事件对任一事件A,A

45、,证明证明因因由性质由性质4,4,得得证毕证毕.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔81性质性质6 6注：注：性质性质6 6可推广到任意有限个事件的并的情形可推广到任意有限个事件的并的情形.例如例如,(加法公式加法公式)信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔82例例 4 已知已知求求(1)(2)(3)解解(1)因为因为且且与与是不是不相容的相容的,故有故有于是于是(2)(4)信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔83例例 4 已知已知求求(3 3)(4 4)解解(3 3)(4)(4)信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔84例例 5 某城市中发行某城市中发行2 种报纸种报纸经调查经调查,在这在这2 种报纸的

46、订户中种报纸的订户中,订阅订阅报的有报的有45%,订阅订阅报的有报的有35%,同时订阅同时订阅 2 种报纸种报纸的有的有 10%,求只订一种报纸的概率求只订一种报纸的概率解解记事件记事件则则 只订一种报只订一种报 又这两件事是互不相容的又这两件事是互不相容的,由概率性质由概率性质 ,有有信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔85例例6 已知在已知在100100件产品中有件产品中有9595件正品和件正品和5 5件次品件次品,购买者从中任取一半检查，如果发现次品不多购买者从中任取一半检查，如果发现次品不多于一个于一个,则认为这批产品合格，求这批产品被购则认为这批产品合格，求这批产品被购买者认为合格的概

47、率买者认为合格的概率.解解=0.1811信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔86例例7 在甲袋中有在甲袋中有3 3只白球只白球,7,7只红球，只红球，1515只黑球只黑球,乙袋中有乙袋中有1010只白球只白球,6,6只红球只红球,9,9只黑球只黑球,现从两袋现从两袋中各取一球中各取一球,求两球颜色相同的概率求两球颜色相同的概率.解解信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔87例例7 7 在甲袋中有在甲袋中有3 3只白球只白球,7,7只红球，只红球，1515只黑球只黑球,乙袋中有乙袋中有1010只白球只白球,6,6只红球只红球,9,9只黑球只黑球,现从两袋现从两袋中各取一球中各取一球,求两球颜色相同的概

48、率求两球颜色相同的概率.信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔88例例8 一袋中装有一袋中装有9 9只黑球和只黑球和1 1只白球只白球,每次从袋中每次从袋中随机地摸出一球随机地摸出一球,并换入并换入1 1只黑球只黑球,求第求第k k次摸出黑次摸出黑球的概率球的概率.解解在第在第k k次前若摸出白球次前若摸出白球,则要换则要换入黑球入黑球,则第则第k k次一定摸出黑球次一定摸出黑球前前k-1k-1次必须每次摸出黑球次必须每次摸出黑球,第第k k次摸白球次摸白球所以所以信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔89例例9 在在 12000 的整数中随机的取一个数的整数中随机的取一个数,问取到的整问取到的整数既

49、不能被数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是多少？整除的概率是多少？解：解：设设A为事件为事件“取到的整数能被取到的整数能被6整除整除”,B为为“取取到的整数能被到的整数能被8整除整除”,则所求的概率为：则所求的概率为：为：为：6，12，181998 共共 333 个个所以能被所以能被6整除的整数整除的整数信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔90AB 为为“既被既被6整除又被整除又被8整除整除”或或“能被能被24整除整除”于是所求的概率为：于是所求的概率为：其中其中 B=8,16,2000 AB=24,48 1992 信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔91作业作业P28练习1.2

50、8 9 10 11P27练习1.2 3 4信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔92一、条件概率一、条件概率三、独立试验及伯努利试验模型三、独立试验及伯努利试验模型二、事件的独立性二、事件的独立性1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔93 条件概率是概率论中一个重要而实用的条件概率是概率论中一个重要而实用的概念概念.它所考虑的是事件它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下已经发生的条件下事件事件 B 发生的概率，将此概率记作发生的概率，将此概率记作P(B|A).一、一、条件概率条件概率 一般一般 P(B|A)P(B)信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔9